必修5《等差数列的前n项和》习题精选含答案

第1课时等差数列的前n项和
课后篇巩固探究
A组
1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()
A.13
B.35
C.49
D.63
解析:S7==49.
答案:C
2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()
A. B.1 C.2 D.3
解析:∵S5==5a3,
∴a3=S5=×10=2.
答案:C
3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()
A.17
B.18
C.19
D.20
解析:由≤n≤.
∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.
答案:B
4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()
A.S17
B.S18
C.S15
D.S14
解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.
答案:C
5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()
A. B. C. D.
解析:因为,
所以.
答案:C
6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.
解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.
∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,
∴
解得d=-2,a1=20,
∴S10=10a1+d=200-90=110.
答案:110
7.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.
解析:S17=17a9,S9=9a5,
于是×3=.
答案:
8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.
解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.
答案:3
9.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.
(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;
(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.
解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.
(2)S10=10×a1+d=-10.
10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.
求:(1)此等差数列的公差d;
(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;
(3)当S n是正数时,求n的最大值.
解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,
∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.
(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.
又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,
即S6=6×23+×(-4)=78.
(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.
B组
1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()
A.18
B.20
C.22
D.24
解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.
答案:B
2.(2017全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()
A.1
B.2
C.4
D.8
解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得
①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.
答案:C
3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()
A.S7
B.S8
C.S13
D.S15
解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,
∴S13==13a7为常数.
答案:C
4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列
的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66
解析:∵S n=,∴=-n,
∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.
答案:D
5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.
解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,
∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.
∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.
又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,
由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.
答案:10
6.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.
解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.
所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,
故满足S n>0的n的最大值为19.
答案:19
7.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.
解数列{a n}的公差d==3,
∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由a n<0得3n-63<0,
解得n<21.
∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,
当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;
当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1
260.
∴数列{|a n|}的前n项和
S n'=
8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.
(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;
(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存
在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
解(1)设等差数列{a n}的公差为d,
因为a5+a13=34,S3=9,
所以
整理得解得
所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,
S n=n×1+×2=n2.
(2)由(1)知b n=,
所以b1=,b2=,b m=.
若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,
则2b2=b1+b m,
所以,
即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),
整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,
因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.
又因为m≥3,m∈N,
所以m=4或5或7,
当m=4时,t=5;
当m=5时,t=3;
当m=7时,t=2.
所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.。