教科版高中物理总复习知识讲解 功能关系和能的转化与守恒定律(提高)--

物理总复习：功能关系和能的转化与守恒定律
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【考纲要求】
1、理解力做功与能量转化的关系；
2、理解能量守恒定律；
3、掌握用能量守恒解题的思路、步骤和方法。

【考点梳理】
考点一、功能关系
1、常见力做功与能量转化的对应关系
（1）重力做功：重力势能和其它形式能相互转化； （2）弹簧弹力做功：动能和弹性势能相互转化； （3）滑动摩擦力做功：机械能转化为内能； （4）分子力做功：动能和分子势能相互转化； （5）电场力做功：电势能和其它形式能相互转化； （6）安培力做功：电能和机械能相互转化． 2、功能关系
做功的过程就是能量转化的过程，做多少功就有多少某种形式的能转化为其它形式的能。

功是能量转化的量度，这就是功能关系的普遍意义。

要点诠释：功能关系的主要形式有以下几种：
（1）合外力做功等于物体动能的增加量（动能定理），即=k W E ∆合。

（2）重力做功对应重力势能的改变，12G p p p W E E E =-=- 重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加。

（3）弹簧弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。

（4）除重力以外的其它力做的功与物体机械能的增量相对应，即=W E ∆ ①除重力以外的其它力做多少正功，物体的机械能就增加多少； ②除重力以外的其它力做多少负功，物体的机械能就减少多少； ③除重力以外的其它力不做功，物体的机械能守恒。

（5）电场力做功与电势能的关系，=AB p W E ∆
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。

（6）安培力做正功，电能转化为其它形式的能；克服安培力做功，其它形式的能转化为电能。

另外，在应用功能关系时应注意，搞清力对“谁”做功的问题，对“谁”做功就对应“谁”的位移，引起“谁”的能量变化。

如子弹物块模型中，摩擦力对子弹的功必须用子弹的位移去解。

功引起子弹动能的变化，但不能说功就是能，也不能说“功变成能”。

功是能量转化的量度，可以说在能量转化的过程中功扮演着重要角色。

考点二、能量守恒定律
能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其它形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。

这就是能量守恒定律。

用能量守恒解题的步骤：
（1）首先分清有多少种形式的能在变化；
（2）分别列出减少的能量E ∆减和增加的能量E ∆增； （3）列恒等式=E E ∆∆减增求解； 【典型例题】
类型一、摩擦力做功与产生内能的关系 1．静摩擦力做功的特点
（1）静摩擦力可以做正功还可以做负功，也可能不做功；
（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其它形式的能量；
（3）相互摩擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和总等于零。

2．滑动摩擦力做功的特点
（1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功（如相对运动的两物体之一相对地面静止，则滑动摩擦力对该物体不做功）；
（2）在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，对物体系统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于摩擦力与相对位移的积，即Q fx =相，表示物体系统损失了机械能，克服了摩擦力做功， =E Q fx ∆=损相（摩擦生热）；
（3）一对滑动摩擦力做功的过程中能量的转化和转移的情况：一是相互摩擦的物体通过摩擦力做功将部分机械能转移到另一个物体上，二是部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量。

例如：如图所示，顶端粗糙的小车，放在光滑的水平地面上，具有一定速度的小木块由小车左端滑上小车，当木块与小车相对静止时木块相对小车的位移为d ，小车相对于地面的
位移为s ，则滑动摩擦力对木块做的功为()W f d s =-+木① 由动能定理得木块的动能增量为 ()k E f d s ∆=-+木 ② 滑动摩擦力对小车做的功为W fs =车 ③ 同理，小车动能增量为k E fs ∆=车 ④ ②④两式相加得 k k E E fd ∆+∆=-木车 ⑤
⑤式表明木块和小车所组成系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对于小车的位移的乘积，这部分能量转化为内能。

例1、如图，质量为M 、长度为l 的小车静止在光滑的水平面上。

质量为m 的小物块放在小车的最左端。

现在一水平恒力F 作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f 。

经过时间t ，小车运动的位移为s ，物块刚好滑到小车的最右端。

( )
A ．此时物块的动能为(F －f ) (s+l )
B ．这一过程中，物块对小车所做的功为f (s+l )
C ．这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs
D ．这一过程中，物块和小车产生的内能为f l ,
【思路点拨】力对研究对象做功，分析研究对象的位移，分析研究对象的动能发生的变化，位移是对地的。

【答案】A D
物块对小车所做的功即摩擦力对小车做的功等于摩擦力f 乘以小车的位移s ，即f W fs =车 做正功（转化为小车的动能），B 错。

把物块和小车看着整体，恒力做功()F s l +，摩擦力做功f l -⋅（摩擦力乘以相对位移），所以物块和小车增加的机械能()E F s l f l ∆=+-⋅，C 错。

物块克服摩擦力做功()f s l +大于摩擦力对小车做功fs ，差值即为摩擦产生的内能 ()Q f s l fs f l =+-=⋅，D 对。

正确选项为A D 。

【总结升华】在应用功能关系时应注意，搞清力对“谁”做功的问题，对“谁”做功就对应“谁”的位移，引起“谁”的能量变化。

如A 选项中，用的是摩擦力做的总功，对应的位移就是s l +， B 选项中用的是摩擦力对小车做的功，就用小车的位移s 。

摩擦力乘以相对位移，是损失的能量，摩擦力做功转化为内能。

举一反三
【变式】如图所示质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度0v 沿水平射入木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动。

已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L ，子弹进入木块的深度为s 。

若木块对子弹的阻力为f ，则下面关系中正确的是 22
【答案】ACD
【解析】以木块为研究对象，木块的位移为L ,21
2
fL Mv =
，子弹对木块的作用力做的功等于木块动能的变化，A 对。

子弹相对于地面的位移为L s +，以子弹为研究对象，
22
011()22
f L s mv mv -+=-，阻力对子弹做的功等于子弹动能的变化量（动能减少），
D 对。

将两式相加得到 22
011()22
fs mv M m v =-+，这是阻力乘以子弹的相对位移，右边
是系统机械能的减少量，即转化为内能的数值，B 错C 对。

类型二、功能关系的应用
例2、如图所示，质量为m 的物体(可视为质点)以某一速度从A 点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为3
4
g ，此物体在斜面上上升的最大高度为h ，则在这个过程中物体（ ）
A ．重力势能增加了
34mgh B ．克服摩擦力做功1
4mgh C ．动能损失了2
3mgh D ．机械能损失了1
2mgh
【思路点拨】已知物体运动的加速度，根据牛顿第二定律求出阻力或动摩擦因数，再应用动能定理或功能关系。

【答案】CD
【解析】重力势能增加了mgh ，A 错。

由牛顿第二定律，sin 30cos30mg mg ma μ+= 求得
μ=
克服摩擦力做功1
cos302
f W m
g mg
h μ==，B 错。

D 对。

摩擦力（阻力）做了多少功，机械能就损失了多少，D 对。

损失的动能等于增加的重力势能与损失的机械能之和，13
22
k E mgh mgh mgh ∆=+
= C 对。

正确选项为CD 。

【总结升华】本题给的是加速度，只能通过牛顿第二定律求阻力（或相关量），再求阻力做功。

举一反三
【变式】如图，质量m=60kg 的高山滑雪运动员，从A 点由静止开始沿滑道滑下，从B 点水平飞出后又落在与水平面成倾角θ=370的斜坡上C 点．已知AB 两点间的高度差为h=25m ，
B 、
C 两点间的距离为S=75m ，(g 取10m/s 2 sin370
=0.6)，求：
(1)运动员从B 点飞出时的速度B v 的大小． (2)运动员从A 到B 过程中克服摩擦力所做的功．
【答案】(1) 20/B v m s = (2) 3000f W J = 【解析】(1)滑雪运动员从B 点水平飞出后做平抛运动 cos37B S v t = 2
1sin 372
S gt =
解得 20/B v m s = (2) A 到B 机械能不守恒，根据动能定理,重力做正功，阻力做负功f W
212f B mgh W mv -=
所以 2130002
f B W mgh mv J =-= 或根据能量守恒定律：克服阻力做的功等于机械能的减少量（初态的机械能mgh 减去末态的机械能
2
12
B mv ）。

【功能关系和能的转化和守恒定律例2】
例3、如图所示，物体以100J 的初动能从斜面底端向上滑行，第一次经过P 点时，它的动能比最初减少了60J ，势能比最初增加了45J ，可以推测如果物体从斜面返回底端出发点，末动能为（ ）
A ．60J
B ．50J
C ．48J
D ．20J
【思路点拨】分析第一次经过P 点时机械能损失了多少，滑到最高点还要损失多少，即求出从开始到最高点损失的机械能，乘以2，就是总共损失的机械能，最初的动能减去损失的机械能就是题目所求。

【答案】B
【解析】由题意物体从斜面底端滑到P 点，动能减少了60J ，势能比最初增加了45J ，即机械能损失了15J ，剩下的40J 的动能要滑到最高点还要损失x 的机械能。

列出比例式
604015x
= 10x J = 由底端到最高点损失了25J 的机械能，再返回到底端还要损失25J 的机械能，总共损失50J 的机械能，所以剩余的动能（机械能）为100J-50J=50J 。

【总结升华】理解比例式的意义，就能算的又快又对。

动能减少60J ，机械能损失了15J ；剩下的40J 动能减少到零，还要损失多少x J 机械能。

举一反三
【变式】将物体以60J 的初动能竖直向上抛出，当它上升到某点P 时，动能减为10J ，机械能损失10J ，若空气阻力大小不变，则物体落回到抛出点时的动能为 ( )
A ．36J
B ．40J
C ．48J
D ．50J 【答案】A
【解析】损失了50J 的动能，上升到最高点还要损失x J 的动能，
5010
10x
= 2x J = 从抛出到最高点损失的机械能为10J+2J=12J,落回到抛出点还要损失12J,即一共损失24J 的机械能，所以剩下的动能为602436J J J -=。

故选A 。

【功能关系和能的转化和守恒定律例3】
例4、如图所示，电动机带动绷紧的传送皮带，始终保持v 0=2m/s 的速度运行。

传送带与水平面的夹角为300。

先把质量为m =10㎏的工件轻放在皮带的底端，经一段时间后，工件被传送到高h =2m 的平台上。

则在传送过程中产生的内能是______J ，电动机增加消耗的电能是_____J 。

（已知工件与传送带之间的动摩擦因数μ=2
3
，不计其他损耗，取g =10m/s 2）
【思路点拨】在传送过程中产生的内能就是克服摩擦力做的功，求摩擦力做的功要用相对位移。

电动机增加消耗的电能：传送带对工件做的功（工件动能的增加量和重力势能的增加量之和）加上克服摩擦力做的功。

【答案】60J ；280J ；
【解析】在传送过程中产生的内能就是摩擦力做的功，一开始，工件要加速运动，速度达到传送带速度以后，与传送带相对静止。

加速运动时： c o s 30s i n 30m g m g m a μ-= 2
2.5/a m s =
工件加速运动的位移： 2
10.82v x m a
== 加速的时间： 2
112
x a t =
（或v at =） 0.8t s = 传送带的位移： 2 1.6x vt m ==
摩擦力做功的相对位移： 210.8x x x m ∆=-= 摩擦力做功： c o s 3060f W m g x J
μ=∆= 传送带对工件做的功等于工件动能的增加量和重力势能的增加量之和。

2
012202
W mv mgh J =
+= 电动机增加消耗的电能等于以上两部分功之和 280f W W W J ∆=+=
【总结升华】注重运动分析，求摩擦力做的功要用相对位移。

电动机增加消耗的电能：根据能量守恒定律，一是要克服摩擦力做功，二是使物体获得动能，这里由于传送带倾斜，还有物体增加的重力势能。

举一反三
【变式】如图所示，由电动机带动的水平传送带以速度为v =2.0m/s 匀速运行，A 端上方靠近传送带料斗中装有煤，打开阀门，煤以流量为Q =50kg/s 落到传送带上，煤与传送带达共同速度后被运至B 端，在运送煤的过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．电动机应增加的功率为100W
B ．电动机应增加的功率为200W
C ．在一分钟内因煤与传送带摩擦产生的热为6.0×103J
D ．在一分钟内因煤与传送带摩擦产生的热为1.2×104J
【答案】BC
【解析】每秒钟煤的质量为50kg ，电动机应增加的功率有两部分：一是使煤获得动能，
2211
50210022
k E mv J J ==⨯⨯=,二是克服摩擦力做功转化为内能，其大小
22
1=22
v Q f x mg mv a μ=⋅⋅=相 （都是每秒钟增加的能量）所以电动机应增加的功率为
200W 。

A 错B 对。

在一分钟内因煤与传送带摩擦产生的热为 2211
6050260600022
Q mv J J J =⨯=⨯⨯⨯=, C 对D 错。

故选BC 。

例5、“翻滚过山车”的物理原理可以用如图所示装置演示。

光滑斜槽轨道AD 与半径为R = 0.1 m 的竖直圆轨道（圆心为O ）相连，AD 与圆O 相切于D 点，B 为轨道的最低点，
37DOB ∠=。

质量为m = 0.1 kg 的小球从距D 点L=1.3 m 处由静止开始下滑，然后冲上
光滑的圆形轨道（sin370.6=，cos370.8=，2
10/g m s =）。

求： （1）小球在光滑斜槽轨道上运动的加速度的大小；
（2）小球通过B 点时对轨道的压力的大小；
（3）试分析小球能否通过竖直圆轨道的最高点C ，并说明理由。

【思路点拨】物理过程分析：A 到D 匀加速运动，应用牛顿第二定律求出加速度；A 到B 轨道光滑，应用机械能守恒定律求出B 点的速度，再求对轨道的压力；小球能否通过竖直圆轨道的最高点C ，与临界速度比较即可知。

【答案】（1）2
6/a m s = （2）压力大小为17 N （3
）/1/C v s m s =>
小球能过最高点C
【解析】分析小球在斜槽轨道上和在B 点的受力情况，运用牛顿第二定律求解。

通过分析 过C 点的速度大小判断能否过C 点。

（1）在光滑斜槽上由牛顿第二定律得：sin 37mg ma = 故 2
sin 376/a g m s ==
（2）小球由A 至B ，机械能守恒，则 21(s i n 37)2
D B B
m g L h m v += (1cos37)DB h R =-
又小球在B 点，由牛顿第二定律得：2
B B
N v F mg m R
-=
联立上述各式得：2sin37(1cos37)17B N g L R F mg m
N R
⎡⎤+-⎣⎦=+=
由牛顿第三定律得：小球过B 点时对轨道的压力大小为17 N
（3）小球要过最高点，需要的最小速度为0v ，则20
v mg m R
=
即
01/v m s =
=
又小球从A 到C 机械能守恒：所以 2
1s i n 37(1c o s 37)2C m g L R m
v ⎡⎤-+=⎣⎦ 解之
/1/C v s m s
=> 故小球能过最高点C 。

【总结升华】（1）解题时一定要注意重力势能的参考平面，一般取最低点，实际上是几何关系，本题D 到B 的高度既不能丢也不能错，(1cos37)DB h R =-。

（2）小球能否通过竖直
圆轨道的最高点C
的条件是v =
举一反三
【变式】如图所示，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，甲的速度为v 0.小工件离开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上，工件与乙之间的动摩擦因数为μ.乙的宽度足够大，重力加速度为g
.
(1)若乙的速度为v 0，求工件在乙上侧向(垂直于乙的运动方向)滑过的距离s; (2)若乙的速度为2v 0，求工件在乙上刚停止侧向滑动时的速度大小v;
(3)保持乙的速度2v 0不变，当工件在乙上刚停止滑动时，下一只工件恰好传到乙上，如此反复．若每个工件的质量均为m ，除工件与传送带之间的摩擦外，其他能量损耗均不计，求驱动乙的电动机的平均输出功率.
【答案】 (1)
2
2g
μ (2) 2v 0 (3)
05mgv
【解析】 (1)摩擦力与侧向的夹角为45°，侧向加速度大小a x ＝μg cos 45°。

匀变速直线运动－2a x s ＝0－v 02，解得
20
2s g
μ=
(2)设t ＝0时刻摩擦力与侧向的夹角为θ，侧向、纵向加速度的大小分别为a x 、a y 则
tan y x
a a θ=
很小的Δt 时间内，侧向、纵向的速度增量Δv x ＝a x Δt ，Δv y ＝a y Δt ，解得
t a n y x
v v θ∆=∆
且由题意知tan y x
v v θ=
，则
tan y y y x x x
v v v v v v θ'-∆=
='
-∆
∴ 摩擦力方向保持不变
则当v x ′＝0时，v y ′＝0，即v ＝2v 0.
(3)工件在乙上滑动时侧向位移为x ，沿乙方向的位移为y ，由题意知
a x ＝μg cos θ，a y ＝μg sin θ
在侧向上－2a x x ＝0－v 02，在纵向上2a y y ＝(2v 0)2－0，工件滑动时间0
2y
v t a =，乙前进的距离y 1＝2v 0t ，
工件相对乙的位移L =
Q ＝μmgl 电动机做功
22
0011(2)22
W m v mv Q =-+
由W
P t
=
，解得05mgv P =.
类型三、功能关系和能量守恒定律的综合应用 例6、（2016 全国新课标Ⅱ卷）轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l ，现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接．AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图所示，物块P 与AB 间的动摩擦因数0.5μ=．用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度l ，然后放开，P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为g ．
（1）若P 的质量为m ，求P 到达B 点时的速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离；
（2）若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 的质量的取值范围．
【答案】
(2) 55
32
m m m '≤≤ 【解析】（1）地面上，P E 重
转化为
P E 弹
，
E 机
守恒
∴P P E E ∆=∆重弹
5P mgl E =，此时弹簧长度为l A B →：能量守恒：P KB E E Q =+
即2
1542μ=+⋅⇒=B B mgl mv mg l v B D →
：动能定理：22
11222
-⋅=
-⇒=D B D mg l mv mv v 此后，物体做平抛运动：
2122y l gt t ==⇒=
D x v t ==
∴B 点速度B v =B 点距离为
（2）假设物块质量为'm
则A B →：能量守恒：'
'p KB E E Q =+ '215''42
B mgl m v m g l μ=+⋅ 解得：'252'
B mgl v gl m =- 若要滑上圆弧，则'0B v ≥，即'20B v ≥，解得5'2
m m ≤ 若要滑上圆弧还能沿圆弧滑下，则最高不能超过C 点
此时 假设恰好到达C 点，则根据能量守恒：'p pc E Q E =+
5'4'mgl m g l m gl μ=⋅+ 解得：5'3
m m = 故若使物块不超过C 点，5'3m m ≥ 综上：55'32
m m m ≤≤。

举一反三
【变式】某地强风的风速v =20 m ／s,设空气密度ρ =1.3 kg ／m 3，如果把通过横截面积为S =20m 2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式应为P = ．大小约为 W ．(取一位有效数字) 【答案】32
1sv ρ， 1×105W 【解析】这类问题通常可以看着管道模型，面积为S ，“长度”为 v t ∆，空气（流体）的质量为 m V Sv t ρρ∆=∆=∆ 动能 231122k E mv Sv t ρ=
∆=∆ 功率 312P Sv ρ=。

功率大小3511102
P Sv W ρ==⨯ 例7、在检测某电动车性能的实验中，质量为2810kg ⨯的电动车由静止开始沿平直公
路行驶，达到的最大速度为15m/s ，测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F 与对应的速度v ，并描绘出1F v
-图象（图中AB 、BO 均为直线）。

假设电动车行驶中阻力恒定, 求此过程中：（1）电动车的额定功率；
（2）电动车的由静止开始运动，经过多长时间，速度达到2/m s 。

C
【思路点拨】读懂图像的物理意义，横坐标表示的速度的倒数，向左速度增大。

分析各段的运动情况，各点的物理意义。

【答案】（1）6000P W =（2）1t s =
【解析】（1） 横坐标是速度的倒数，右边速度小，左边速度大，要从右边往左边看图像。

A 到B 速度越来越大，牵引力不变，做匀加速运动，到B 点达到额定功率，B 到C 功率保持不变，牵引力减小，做加速度减小的加速运动，到C 点速度达到最大为m v =15m/s ，此时牵引力等于阻力，等于f =400N ，做匀速运动。

电动车的额定功率 400156000m P fv W W ==⨯=
（2）匀加速运动的末速度为60003/2000
P v m s F === 加速度22/F f a m s m -== 速度达到2/v m s '=的时间 212
v t s s a '=== 【总结升华】要看懂横坐标表示的速度的倒数，向左速度增大。

题目中给出达到的最大速度为15m/s ，到达C 点。

举一反三
【变式】上题中当电动车的速度为10/m s 时，电动车的加速度多大？
【答案】20.25/a m s =
【解析】F f ma -= P F v =
P f m a v
-= 代入数据解得20.25/a m s =。