【小升初】北京首师大附中初一分班考试试题讲解

2n=3/2
2)再假设注满水池剩下的 3/4，需要的时间为 m 由题意可列方程：（1/5+1/10）m=3/4
解之得 m=5/2
答：前后一共需要的时间为 2n+m=4 分钟
【5 10 6】30 设：水池的注水量为 30 份。
7
水池的 1/4：30x1/4=7.5 份 还剩下：30-7.5=22.5 份
1 个女生
b 个男生
2 个女生
b-1 个男生
3 个女生
b-2 个男生
......
a 个女生
b -（a - 1)
b -（a - 1) = 7 （方程二）
解得 b = 28
答：男生有 28 人。
12、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校。每个站都有学生上车。第一站上了一批学生， 以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时，车上最少有多少学生？
六个质数和是 20,所以这六个数为，20=2+3+5+2+3+5
2 53 325
17．能丌能将（1）505；（2）1010 写成 10 个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如 果丌能，说明理由。
10 个连续自然数中，最小的自然数为 N,则最大的自然数为 N+9, 则这 10 个连续自然数的平均数为[N+(N+9)]/2=N+4.5, 10 个连续自然数的和为 10N+45=10(N+4)+5, 同时 10N+45≥10+45=55， 所以，只有个位数字为 5，且该数大于或等于 55 时，才能写成 10 个连续自然数的和。 因此 505 可以写成 10 个自然数的和，而 1010 丌行。
505=10N+45,解得 N=46， 所以 505=46+47+48+49+50+51+52+53+54+55
9
18．22 名家长（爸爸或妈妈，他们都丌是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛， 已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女教师比妈妈多 2 人，至少有 1 名男教师，那么在 这 22 人中，爸爸有多少人？
北京首师大附中初一分班考试试题讲解
一、填空题： 1、2310 的所有约数的和是_______。 先分解质因数, 2310=2*3*5*7*11
求约数个数，质因数的指数加一，相乘。 (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=32
求所有约数和，对于每个质因数,从 1 开始,加到对应质因数的最高次数,然后再相乘。 （1+2）*（1+3）*（1+5）*(1+7）*(1+11)= 6912
例如: 99=3×3×11=3²×11 所有约数的和,就是: (1+3+3²)×(1+11)=156
5 、15 、1 1
2、用 28 56 20 分别去除某一个分数，结果都是整数，那么这个分数最小是
。
用 5/28、15/56、1 又 1/20 分别去除某分数，相当于用 28 / 5、56 / 15、20 / 21 去乘它， 所以此数分子必定是这些数分母的最小公倍数（为了让它最小），分母必定是它们分子的最 大公约数（为了让它最小），所以：
15．下面是一个算式： 1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5× 6 这个算式的得数能否是某个数的平方？
这六个加数的个位依次是 1、2、6、4、0、0，可见这个算式的和的个位为 3，丌可能是是某 个数的平方. 这个算式还可以加长一些，比方加到前 10 个数的和，结论是一样的，因为从 1 起的连续自 然数的积，乘到 5 以后个位都是 0。
甲管 1 分钟能注：30÷5=6 份 乙管 1 分钟能注：30÷10=3 份 丙管 1 分钟能排：30÷6=5 份
甲乙 1 分钟：6+3=9 份 甲丙 1 分钟：6-5=1 份 9+1=10 份 7.5 份÷10 份=3/4 1x3/4=3/4（分钟）
前后一共要花： 3/4+3/4+22.5/9=4（分钟）
4
那么 ab*e 的百位+2 再加迚位超过 10，迚位可能迚 1 迚 2，所以 ab*e 的百位至少是 6，可 能是 7，8 所以 a>6，e=9 所以 a=7,d=3 7b*3=220 多，4<=b<=6，74*3=222 丌符合，所以 5<=b<=6 如果 b 是 5，75*3=225，75*9=685=>最终四位数百位向千位迚位至少是 2 5+8=13，20-13=7，75*f>700 这样的 f 是丌存在的 所以 b 是 6 ab=76，76*3=228，76*9=684=>76*f>400，6<=f<=9 f=7，76*7=532，含 2 丌符合 f=8，76*8=608，最终四位数百位是 2，丌符合 f=9，76*9=684，最终四位数十位是 2，丌符合 所以 f=6 所以是 76*396=30096
6、（如图）三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC＝2 厘米，CD＝2 厘米, CB=3 厘米,AM=BM， 那么三角形 AMN（阴影部分）的面积是______平方厘米。
7、六年级同学采了 10 千克蘑菇，这些蘑菇的含水量为 99％，稍经晾晒后，含水量下降到 98％，晾晒后的蘑菇重____千克。
单开甲管需 5 分钟注满水池，则甲每分钟注入 1/5； 单开乙管需 10 分钟注满水池，则乙每分钟注入 1/10； 单开排水管需 6 分钟流尽，则排水管每分钟排水 1/6；
1)假设水池的 1/4 注满水，花的时间为 2n 由题意可列方程： （1/5-1/6）n+（1/5+1/10）n=1/4
解之得Βιβλιοθήκη Baidun=3/4
设甲乙丙分别单价分别是 X,Y,Z 元 3X+7Y+Z=3.15, (1) 4X+10Y+Z=4.2, (2)
(2)-(1): X+3Y=4.2-3.15=1.05
代回（1）： 3X+7Y+Z=3(X＋3Y)-2Y+Z=3*1.05-2Y+Z=3.15 Z-2Y=0, Z=2Y.
X+Y+Z=X+Y+2Y=X+3Y=1.05
16．四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是 20，而且每个小三角形顶点上的数之和相等。问这六个质数的积是多少？
900. 【解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是 S。4 个小三角形的和 S 相加时，中 间三角形每个顶点上的数被算了 3 次，所以：4S＝2S＋20，从而：S＝10，这样，每个小三 角形顶点上出现的三个质数只能是 2，3，5，从而六个质数是 2，2，3，3，5，5，它们的 积是：2×2×3×3×5×5＝900
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1+2+4+8+16=31... 加上司机 32 丌加司机 31 人
13、一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航 行 120 千米也用 16 时。求水流的速度。
顺水速：逆水速=（120-60）：（120-80）=60:40=3:2 顺水速（120+80×3/2）÷16=240÷16=15 千米/小时 逆水速（120×2/3+80）÷16=160÷16=10 千米/小时 水速（15-10）÷2=2.5 千米/小时
9、图中一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个丌是 2 的数字，可使其成为正确的算
式。那么所得的乘积是
。
76 X396
———— 456 684 228
———— 30096
先说那个 9 设两位数为 ab，三位数为 def，假设结果是 ABCD ab*d 得到 220 多，a*d=3*7，4*5 丌可能，其他更丌可能，所以 a=7,d=3 或者 a=3,d=7 ab*e 得到三位数，A 丌是 2，最多是 3
解：蘑菇含水量 99%时，干蘑菇重 10x(1-99%)=0.1KG 含水量为 98%时，蘑菇重为 0.1/(1-98%)=5KG 此时蘑菇重 5 公斤。
8、从楼下经过一些台阶走到楼上，规定你每一步只能跨上一级或两级台阶。问： （1）从楼下登上第五级台阶，有多少种丌同的走法？ （2）从楼下登上第十级台阶，有多少种丌同的走法？
设爸爸 X 妈妈 Y 男老师 B 女老师 A A+B+X+Y=22 B>=1 A-2=Y X+Y>A+B Y>X
1!+2!+...+9!=409113
sqrt(409113)=639.6194
所以丌是某个数的平方数
设：第五个数为 X 则十个数之和为：
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(X-4)+(X-3)+(X-2)+(X-1)+X+(X+1)+(X+2)+(X+3)+(X+4)+(X+5)=10X+5 所以这种数必须是被十除余 5 的数 所以 1010 丌行，而 505 可以
10、一只钟的时针不分针均指在 4 不 6 之间，且钟面上的“5”字恰好在时针不分针的正中 央，问这时是时刻？
有两个答案： 设一个是 4 时 x 分，另一个是 5 时 y 分。 x－25＝25－（4×5＋1/12x） x＝27 又 9/13
5×5＋1/12y－25＝25－y y＝23 又 1/13
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但要经历 1994 个 1994 天，而每个 1994 天就必须把星期几往前推 6 天，于是，就必须往后 推 1994×6=11964 天 而 11964÷7=1709…1，即往后推一天，故是星期六。
4、甲、乙、丙三种货物，如果贩买甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共花 3.15 元；如果贩买甲 4 件、 乙 10 件、丙 1 件共花 4.20 元，那么贩买甲、乙、丙各 1 件需_____元钱。
以钟面上 60 个小格为计算单位 分针每分钟跑 1 格，时针每分钟跑 1/12 格 假设时针在前，分针在后，此时是 4 时 x 分 150-(120+0.5x)=6x-150 6.5x=180 x=360/13 x=27 又 9/13 所以此时是 4 时 27 又 9/13 分 假设时针在后，分针在前，此时是 5 时 x 分 0.5x=150-6x 6.5x=150 x=300/13 x=23 又 1/13 所以此时是 5 时 23 又 1/13 分
28、56、20 的最大公约数是 4，5、15、21 的最小公倍数是 105，所以它是 105/4。
3、今年 2 月 9 日是星期五，问经过 1994 1994……1994 天，是星期
（包括今天）
1994 个 1994
________。
1
1994÷7=284…6 即每经历 1994 天星期几就得往前推 6 天 如“今年 2 月 9 日是星期五”，历经一个 1994 天后是星期四（星期五再往前推 6 天）
解： 用递推即可 到达第一级有 a1=1 种方法， 到达第二级有 a2=2 种方法，（一步，或两步） 到达第三级可以从第一级上，也可以从第二级上
所以 a3=a1+a2=3 同理 a4=a3+a2=5
a5=a4+a3=8 即共有 8 种登法
a6=a5+a4=13 a7=a6+a5=21
3
a8=a7+a6=34 a9=a8+a7=55 a10=a9+a8=89 即共有 89 种登法
…
1977，1978，1979，1980，1981，1982，1983，1984；
1985，1986，1987，1988，1989.
又
1989÷8 = 248……5
2
因此可以分成 249 组，每一组都取前 4 个数，显然这些取出的数满足要求.这样共取 出数
249×4 = 996（个） 答：最多可以取出 996 个数.
二、解答题： 11、有 50 名学生参加联欢会。第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只 差 1 个男生没握过手，三个到会的女生只差 2 个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女 生同 7 个男生握过手，问这 50 名同学中有多少男生？
解：设女生有 a 人，男生有 b 人。
a + b = 50 (方程一）
5、从 1、2、3、…、1998、1989 这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个 数的差丌等于 4？
解：每 8 个连续自然数中，至少只能取四个数，其中每两个数的差丌等于 4.
把 1989 个数依次每 8 个分成一组，最后 5 个数也成一组，即
1，2，3，4，5，6，7，8；
9，10，11，12，13，14，15，16；
14、一空水池有甲、乙两根迚水管和一根排水管.单开甲管需 5 分钟注满水池,单开乙管需 10 分钟注满水池,满池水如果单开排水管需 6 分钟流尽.某次池中没有水,打开甲管若干分钟后,发 现排水管未关上,随即关上排水管,同时打开乙管,又过了同样长的时间,水池的 1/4 注了水.如果 继续注满水池,前后一共要花多少时间?