2012年新课标数学文科仿真模拟试卷5

2012年新课标数学文科仿真模拟试卷5
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的. 1．已知集合U={1，2，3，4}，A={1}，B={2，4}，则()U C A B =（ ）
A. {1}
B. {2，4}
C. {2，3，4}
D. {1，2，3，4}
2．复数1i z i
=
+在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左 面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努” 在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A. 定 B. 有 C. 收 D. 获 4．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举 办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1
班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分 和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时， 发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计 算无误，则数字x 应该是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,||2
A ϕ><
）的图
象如图所示为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x =的图像（ ） A. 向右平移π12
个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移
π12
个单位长度 D. 向左平移
π6
个单位长度
6. 已知函数2
()2f x x bx =+的图象在点(0,(0))A f 处的切线L 与直线30x y -+=平行，若数列1()f n ⎫
⎧⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2011S 的值为（ ）
A.
20122011
B.
20102011
C.
20132012
D.
20112012
7. 已知2
()4f x x x =-，则(sin )f x 的最小值为（ ）
A. -5
B. -4
C. -3
D. 0
8. 设O 为坐标原点，A （1，1），若点B （x,y ）满足221
0101x y x y ⎧+≥⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则OA OB ⋅ 取得最小值
时，点B 的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 无数个 9. 某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费2y 与到车站的距离成正比，如果在距离车站12公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为
3万元和12万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A. 5公里处
B. 6公里处
C. 7公里处
D. 8公里处 10. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x
f x e =-，则()f x 的零点个数是（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个 11. 设双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>
的离心率为e =，右焦点为(,0)f c ，方程
2
0ax bx c --=的两个实根分别为1x 和2x ，则点P （1x ，2x ）
（ ） A. 在圆2
2
8x y +=外 B. 在圆2
2
8x y +=上 C. 在圆2
2
8x y +=内 D. 不在圆2
2
8x y +=内
12.已知函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义域上的减函数，则函数()y f x =的图象可能是（
）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸的相应位置. 13．已知sin π 0()(-1)+1 >0
x x f x f x x ≤⎧=⎨
⎩，则5
()6
f 的值为 .
14．按右图所示的程序框图运算，则输出S 的值是
.
15. 如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在影阴部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出影阴部分的面积约为 . 16. 下列命题中：
①命题“2
R,0x x ∀∈≥”的否定是“2
,0x R x ∃∈≤”；
②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越强； ③若,//,//;n a m n m a ⊂则 ④ “25
a =
”是“直线230ax y a ++=与直线3(1)70x a y a +-+-=相互垂直”
的充要条件.其中真命题的序号是 .（请填上所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.
17. （本题满分12分）已知函数2
()22cos 1f x x x =
++
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最小值； （
Ⅱ
）设ABC 的内角,,A B C 对边分别为
,,,()3,(sin ,1)a b c c f C m A =
==-
且若与
(2,sin )n B =
垂直，求,a b 的值.
18. （本题满分12分）
为迎接建党91周年，某班开展了一次“党史知识
竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛 后，把成绩（满分为100分，分数均匀整数）进 行统计，制成如右图的频率分布表： （Ⅰ）求,,,a b c d 的值；
（Ⅱ）若得分在之间的有机会进入决赛，
已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名， 求获得一等奖的全部为女生的概率.
19. （本题满分12分）
如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且,PC PB F =是BP 的中点.
（Ⅰ）求证：CF//面APE ； （Ⅱ）求证：.PO ABCE ⊥面
20. （本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项的和22n S n n =+，数列{}n b 是正项等比数列，且满足1133112,()a b b a a b =-=.
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项的和.
21. （本题满分12分）
已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数2
3
()[2()]2
x
g x x m f x '=+
-在区间（a,3）上
有最值，求实数m 的取值范围.
请考生在第22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22. （10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E （Ⅰ）证明：ABE ADC ∆∆
（Ⅱ）若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=
2
1，求BAC ∠的大小。

23. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80()
x y x y θθθθ+--++=∈R 的圆心为(,)P x y ，求2x y -的取值范围.
24. （10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()||f x x a =-.
（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；
22题图
A B C D D
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取
值范围.
参 考 答 案
一、选择题
二、填空题 13.
12
14. 63 15.
152
16. ②④
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）π()2cos 222sin(2)26
f x x x x =
++=++ ……………………2分
令πππππ2π22π,ππ2
6
2
3
6
k x k k x k -
+≤+
≤+-
+≤≤+得，
∴函数()f x 的单调递增区间为ππ
[π,π],z,3
6
k k k -
++∈………………………4分
（Ⅱ）由题意可知，ππ1
()2sin(2)23,sin(2),662
f C C C =++=∴+=
πππ5π0π,2C+2C+,06666C C <<∴=== 或即（舍）或π
3
C =………………6分
(sin ,1)(2,sin )m A n B =-=
与垂直，2sin sin 0,A B a b ∴-==即2…………8分 2
2
2
22
π2cos
3
3
c a b ab a b ab =+-=+-=
②……………………………10分
由①②解得，1, 2.a b ==………………………………………………………………12分 18.（Ⅰ）25500.15,0.5,5,0.150
a b c d =⨯==
===…………………………………4分
（Ⅱ）把得分在之间的五名学生分别计为“男甲，男乙，女甲，女乙，女丙”，则事
件“一等奖只有两名”包含的所有事件为（男甲，男乙），（男甲，女甲），（男甲，
女
乙），（男甲，女丙），（男乙，女甲），（男乙，女乙），（男乙，女丙），（女甲，女
乙），
（女甲，女丙），（女乙，女丙），共10个基本事件，…………………………8分 事件“获得一等奖的全部为女生”包含的所有事件为（女甲，女乙），（女甲，女
丙），
（女乙，女丙），共3个基本事件，……………………………………………10分
获得一等奖的全部为女生的概率310
P =
………………………………………12分
19.解：（Ⅰ）取AB 中点G ，连接GF ，GC ，
//,,EC AB EC AB =∴ 四边形AECG 为平行四边形，
//,AE GC ∴………………………………………………………………………2分 在ABP 中，GF//AP…………………3分 又,GF GC G AE AP A == 所以平面APE//平面FGC………………5分 又FC FGC ⊂平面
所以，CF//面APE……………………6分 （Ⅱ）,PA PE OA OE PO AE ==∴⊥ 取BC 的中点H ，连OH ，PH ， //,OH AB OH BC ∴∴⊥
因为,PB PC BC PH =∴⊥所以BC POH ⊥面
从而BC PO ⊥………………………………………………………………………10分 又BC 与PO 相交，可得PO ABCE ⊥面…………………………………………12分 20. 解（1）数列{}n a 前n 项的和22n S n n =+
121(N,2)n n n a S S n n n -∴=-=+∈≥……………………………………2分
又13,n a S ==
所以数列{}n a 的通项公式为*21()n a n n N =+∈………………………………3分 因为数列{}n b 是正项等比数列，
311311
31
1311,4,,22
4
b b a a a b a a =
=-=∴
=
=
-……………………………………4分
公比为12
，……………………………………………………………………………5分
数列{}n b 的通项公式为*
1
3
1
13()(N )22
2
n n n b n -=
⋅
=⋅∈……………………………6分
（2）所以1
3(21)(),2
n n c n =+设数列{}n c 的前n 项的和为n T
21
13[35()22Tn =⋅
+⋅+…1(21)()]2
n
n ++⋅ 231113[3()5()222n T =⋅+⋅+…+1
11(21)()(21)()]22
n n n n +-⋅-+⋅ 231111(1)3{32[()()2222n T -=⋅+++…+1
11()](21)()}22
n n n +-+⋅
21
1
11()(1())
111223{32[](21)()}122212
n n n T n -+-=⋅+-+⋅-
115(615)()2
n
n T n ∴=-+⋅…………………………………………………………12分
21. （Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且1
()f x a x
'=-，……………………2分
当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1
(,)a
+∞；
当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；…………………………6分
（Ⅱ）2
3
3
2
()[2()](
),2
2
x
m g x x m f x x a x x '=+
-=++-
2
()3(2)1,g x x m a x '∴=++-
()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，
又()0(0)1(3)0
g a g g '<⎧'=-∴⎨
'>⎩ …………………………………………………………9分
由题意知：对任意22
[1,2],()3(2)1510a g a a m a a a ma '∈=++⋅-=+-<恒成立，
2
1515,a m a a
a
-∴<=
-因为[1,2]a ∈，所以192
m ∴<-
，
对任意恒成立，323
m ∴>-
32193
2
m ∴-
<<-
………………………………12分
22. 解：证明：（Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠
因为AEB ACB ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠=，
故ABE ADC ∆∆ .
（Ⅱ）因为ABE ADC ∆∆ ，所以
AB AD AE
AC
=
，即.AB AC AD AE ⋅=
⋅ 又
1sin ,
2
S AB AC BAC =
⋅∠，
且
12
S A D A E
=
⋅，故
s i n .A B A C B A C A D A E
⋅∠=
⋅ 则sin 1BAC ∠=又BAC ∠为三角形内角，所以90BAC ∠=︒
23. 由题设得4cos ,(3sin x y θθ
θ
=⎧⎨
=⎩为参数，)θ∈R .
于是28cos 3sin ),x y θθθϕ-=-=+
所以≤2x y -
24. 本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力.
解析:（Ⅰ）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得3 3.a x a -≤≤+
又已知不等式
()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，所以31,
35,a a -=-⎧⎨
+=⎩
解得2a =. （Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是
()=|-2||3|
g x x x ++=
21,<3,
5,
32,21,>2.x x x x x ---⎧⎪
-≤≤⎨⎪+⎩
所以当3x <-时，g()>5x ；当32x -≤≤时，
g()=5x ；当>2x 时，g()>5x .
综上可得，()g x 的最小值为5.
从而，若()(5)f x f x m ++≥，即()g x m ≥对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为
(],5-∞.。