第九章直线、平面、简单几何体介绍

第九章（A）“直线、平面、简单几何体”简介
《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学》第二册（下）的第九章（A）为《直线、平面、简单几何体》。

这一章是根据《全日制普通高级中学数学教学大纲（实验修订版）》中的“9（A）直线、平面、简单几何体”部分所规定的教学内容和教学目标而编写的。

它在原《立体几何》（必修本）的基础上作了较大的修改，精简了教学内容，减少了教学时间，在体系安排和内容的具体处理方法上也有所改革。

本章教学时间约需39课时，具体分配如下（仅供参考）：
一、空间直线和平面
9．1平面约3课时
9．2空间直线约5课时
9．3直线与平面平行的判定和性质约3课时
9．4直线与平面垂直的判定和性质约4课时
9．5两个平面平行的判定和性质约3课时
9．6两个平面垂直的判定和性质约3课时
二、简单几何体
9．7棱柱约4课时
9．8棱锥约4课时
9．9研究性课题：多面体欧拉公式的发现约3课时
9．10球约4课时
小结与复习约3课时
一、内容与要求
（一）本章主要内容是立体几何的基础知识和解决立体几何问题的基本思想方法
本章的具体知识点主要包括：平面及其基本性质，平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离，直线和平面平行的判定与性
质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理，两个平面平行的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质，棱柱，棱锥，平面图形与简单立体图形直观图的画法，多面体和正多面体，球。

（二）本章在体系编排上分为两大节：第一大节是“空间直线和平面”，第二大节是“简单几何体”
1．直线和平面是最基本的几何元素，空间直线和平面的位置关系是立体几何的基础知识。

学好这一部分内容，对于学生在已有的平面图形知识基础上，建立空间观念，实现从平面图形到立体图形的认识飞跃，是非常重要的。

第一大节包括6小节，依次按照平面、空间直线、直线和平面平行、直线和平面垂直、两个平面平行、两个平面垂直的顺序编排。

这6节之间密切联系，前面内容是后面内容的理论根据，后面内容既巩固了前面内容，又发展和推广了对前面内容的认识。

从而形成了一个关于空间直线和平面位置关系的概念、判定和性质的知识体系。

本大节无论在全章的知识系统中，还是在培养学生的辩证唯物主义观点、空间想象能力和逻辑思维能力方面，都具有重要的基础作用。

2．简单几何体，是指最基本、最常见的几何体。

按照大纲的规定，本章中关于简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球。

这些内容依次排列，构成第二大节所含的4小节。

由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体可以通过从大锥体截去小锥体而得出，为节约课时以便实现教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》（必修本）在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台和棱台等，只保留了最基本的多面体（棱柱和棱锥）、一般多面体的有关概念和球。

关于棱柱和棱锥，教学内容包括有关概念、性质、直观图的画法三部分。

其中直观图的画法仅重点讨论直棱柱和正棱锥的直观图。

为对有关体积的计算形成统一认识，本章第一个阅读材料安排了《柱体和锥体的体积》，介绍了祖氏原理，并根据这一原理对柱体和锥体的体积公式作了理论上的说明。

关于多面体，教学内容包括有关概念和欧拉公式。

本章以研究性课题的形式，安排了《多面体欧拉公式的发现》一节，对欧拉公式的发现及其推导作了讨论。

本章第二个阅读材料《欧拉公式和正多面体的种类》，运用欧拉公式说明正多面体为什么只有5种。

关于球，教学内容包括有关概念、性质、球的体积和表面积。

本章通过“分割，求近似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极限思想，对于球的体积和表面积公式进行了推导，这种处理方法与原《立体几何》（必修本）有较大变化。

教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身,而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节。

第二大节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对第一大节中空间
直线和平面位置关系相关知识的综合运用。

（三）本章的教学要求
1．掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面、两个平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们的位置关系。

2．了解空间两条直线的位置关系；掌握两条直线平行和垂直的判定定理和性质定理；掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）。

3．了解空间直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念；了解三垂线定理及其逆定理。

4．了解两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

5．进一步熟悉反证法，会用反证法证明简单的问题。

6．了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。

7．了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。

8．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。

9．了解球的概念、掌握球的性质、体积和表面积公式。

10．通过本章教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点。

二、本章的特点
（一）加强三种数学语言功能的发挥，使教材更有利于培养学生的空间想象能力
数学语言是在数学思维中产生和发展的，是数学思维不可缺少的重要工具。

通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言和图象语言。

例如，“垂直于同一平面的两条直线平行”是一个定理的文字语言形式；符号表示
是该定理的符号语言形式；用图象语言，这个定理则可表示为
图1。

几种语言各有特点，发挥着不同的功能，又互相依存，互相制约。

图1
本章编写中注意了采取以下几点措施来加强三种数学语言功能的发挥。

1．从图象语言入手，有序地建立三种数学语言的联系
当代著名数学家、数学教育家G．波利亚将一般数学问题的解决分为四个水平，即图象水平，联系水平，数学水平和探索水平。

从数学语言的角度说，这里的第一种水平，使用的主要是图象词汇；第二种水平，是将所考察的对象及表示它的图象词汇用文字或符号表示出来，建立几种词汇间的联系；第三种水平，是将各种数学词汇发展成以数学理论为“句法”的数学语句；第四种水平，是由数学语句发展成数学文章，即给出问题的数学解答并由此做出进一步探索。

在本章中，上述四种水平的循序发展尤为典型．立体图形是立体几何研究的对象，对它的一般描述表示是按“三维对象（几何模型）--图形--文字--符号”这种程序进行的。

其中，图形是将考察对象第一次抽象后的产物，是首先使用的数学词汇，也是形象、直观的语言。

完成了由对象到图形的飞跃，才有可能达到后面的水平。

因此，加强图形的运用十分重要。

本章编写中首先强调图象语言，适当增加插图的数量，提高插图的质量，在图形的典型性、简明性、直观性、概括性及趣味性等方面下功夫，力求充分发挥其作用。

文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象。

显然，首先建立的是图象语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，即整体认识。

有了这种整体认识，三种语言达到融汇贯通的程度，能根据需要由一种描述转化为其他描述，就能基本把握对象了。

对于对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上发展其他数学语言．本章在阐述定义、定理、公式等重要内容时，先给出图形再以文字和符号描述，注意综合运用几种数学语言，使其优势互补，以期能收到更好的效果。

2．做好由模型到图形的过渡
立体几何的一个主要难点，是要由画在二维平面上的图形想象出三维空间中的几何关系。

对此,即使学习了较长时间立体几何，遇到复杂些的图形也有一定难度。

对于初学立体几何的高中生，把平面上的图形在头脑中立体化困难就更大。

克服这些困难的一个有效办法，就是做好由模型到图形的过渡。

要增加一些由模型画图形的训练，例如画简单几何体的练习可以提前些。

通过观察实物或模型并用几何图形表示它们，熟悉空间各种线面关系的表示方法，对于看图是非常重要的。

这应作为学习立体几何的图象语言的起始内容。

为此，本章在练习和习题中安排了一些“观察图形后填空”或“用符号表示语句并画出图形”类型的题目，希望教学中能重视发挥它们的作用。

3．注意两个方向的转化
培养空间想象力，有两个不同方向的转化问题。

首先是“图形---文字---符号”的转化，即由图形出发，弄清画在平面（书页、黑板等）上的立体图形所表示的空间几何关系，以及未明确表示的隐蔽关系，然后将它们用文字语言加以描述，再以数学符号概
括表示，将“有形”的信息变为“无形”的形式。

其次是“符号---文字---图形”的转化，即理解符号或文字所表达的空间几何关系，并将它们用图形直观地表示出来，化“无形”为“有形”。

本章注意了由不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，特别在前面部分的练习题和习题中增加了插图的数量，并且加强这种转化的训练。

这样做既有利于第一种转化,同时也为实现第二种转化做了必要准备。

4.文字语言要准确简明
本章的语言叙述力求准确简明。

对一个公理和一个定义在文字叙述上作了变化。

（1）关于平面的公理2的叙述
在《立体几何》课本（必修本）中，公理2是这样叙述的：
“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条通过这个点的公共直线。

”
读了上述文字，可能初学者会问：“这两个平面的过这个点的公共直线有且仅有一条，此外还有无不过这个点的公共直线？”“这两个平面除这条公共直线外还会有别的公共点吗？”产生这样的疑问的原因是，从字面上看上述公理中“有且仅有一条”的对象单指“通过这个点的公共直线”而不包括其他公共直线。

虽然由“通过这个点的公共直线有且仅有一条”可以推出“这两个平面的公共直线有且仅有一条，它通过这个点”，但是这样的推导又需使用另外的公理（公理3），进行这样的推导并非原课本设计的本意。

实际上，由课本的上下文及插图可以明显地看出，课本中安排这个公理是要直接明确地告诉学生：“这两个平面的公共直线有且仅有一条，它通过这个点。

”
鉴于以上所述，本章虽然仍以这个公理为公理2，但是在文字叙述上改写如下：
“如果两个平面*有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条直线。

”（教科书中加页边注：*在本章中，没有特别说明的“两个平面”，均指不重合的两个平面。

）
由于新教材在第1章专门安排了“集合”的内容，在第9章的序言中又强调了“空间图形是空间中点的集合”，所以改写后的公理2，能够结合学生已学的集合概念，简单准确清楚地说明问题。

（2）关于两点间球面距离的叙述
《立体几何》课本（必修本）对两点的球面距离叙述如下：
“在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

”
这里两次出现了“距离”一词。

细心人会问：既然“球面距离”定义出现在后，那么这段文字中前面的“最短距离”又是指什么“距离”？它相对于哪些距离而言“最短”？
鉴于以上所述，本章在对两点的球面距离下定义时，改变了用“最短距离”进行解
释的作法，代之以用“最短连线的长度”来描述，即文字叙述如下：
“在球面上，两点之间的最短连线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧。

我们把这段弧的弧长叫做两点的球面距离。

”
虽然这里仅仅是几个字的改动，但是这样改在逻辑上更合理，内容上更确切，比原课本写法更直观，从而更便于教学。

5．符号语言要合理、简洁、易用、相对规范
使用符号的目的在于带来方便，符号要合理。

例如，表示“平面α和β的交线为a”和“点p在直线a上，a在平面α内”，要根据点是基本元素，直线、平面是点的集合的道理，分别使用∩、∈、，这些符号不能随意使用，教学中有必要向学生反复交代。

符号要简洁，在不会引起混乱的前提下可适当简化．例如，用,而未用
来表示直线a,b相交于点P。

虽然从严格的角度来看，后一写法更规范，但是前一写法较简单，又不至于引起误解，所以前一写法更可取（国家标准也是这样规定的）。

采用某种写法要前后一致，不可随意变换．规范是相对的，有时某些约定俗成的不甚严格的符号更实用。

符号要易用，如果一下子出现过多符号会给使用带来不便，则不必强求符号化．例如，在逻辑中“或”和“且”分别有专门符号，但如果我们用
来表示“直线a,b,c或互相平行，或相交于一点P”，就容易稍不留意而将∩，∪，∨等弄混。

对此类问题本章采用
类型的表示，以便于初学者掌握。

符号的使用要有通用性，因而应相对规范．本章对于国家标准中已作过明确规定的符号，不折不扣地执行；对于尚未有明确规定的，则按照准确、简洁、易用的标准，结合高中生的实际，参照通常使用的情况，审慎地选择使用。

（二）简化了关于几何体的内容，用“分割，求和，逼近”法对球的两个公式进行推导，突出相应的数学思想
本章在保留原来的“直线和平面”部分主要内容的基础上，简化了几何体部分，重点讲棱柱、棱锥、正多面体和球。

1．本章关于球面积和体积公式的推导方法必须与原教材有相应变化。

其理由主要有：
（1）教学内容中删除圆台后，原教材中引出球面积公式的预备定理就不能出现了，因此球面积公式的处理不能沿用原教材方式。

（2）教学目标中未包含体积公理及柱、锥体积的理论推导，而这些内容恰恰是原教材中球体积公式之前的内容。

如果不讨论圆柱、圆锥体积的推导，而直接用它们来推出球的体积公式，就在逻辑上显得很不协调。

人们不仅要问：为什么圆柱、圆锥的体积公式不作理论上的推导，而球的体积公式却要推导呢？因此球体积公式的处理也不好照
搬原教材方式。

（3）微积分初步知识已属于现代社会新一代人应了解的科学内容之一，利用微积分的基本思想方法，适当借助几何直观，而不严格地使用微积分的有关概念及公式，可以对上述两个公式做出深入浅出的解释性推导，这种方法要比原教材的初等数学证法更具一般性。

2．新教材在处理球面积、球体积公式推导时，与原教材相比较有以下两个主要变化：
（1）先讲球体积公式，后讲球的表面积公式，讲后者时利用前者，而且推导它们的基本思想方法同出一辙。

（2）以求几何度量公式时具有一般性的数学思想为指导，用“分割，求近似和，化为精确和”的方法推导公式。

同时注意适合高中生的水平，既要使学生理解公式推导的基本思想方法，又要有别于正规地使用极限、微积分等有关概念及公式法则的严格推导。

具体处理方法是：求球体积公式时，将半球切片，用多个圆柱体的和逼近球；求球表面积公式时，将球分为多个以球心为顶点的小锥体，用它们的和逼近球，通过比较体积得出表面积公式。

本章推导这两公式时，力图进行在渗透近代数学思想方法上下功夫，在教学要求上应重在掌握公式本身和理解公式推导的基本思路，而不要过于强调掌握具体推导过程。

三、教学中应注意的几个问题
（一）抓住重点，克服难点，打好基础，注重培养学生的空间想象能力
本章教材的重点，是平面的基本性质、空间直线的位置关系、直线与平面之间及两平面之间的平行和垂直关系，即第一大节的主要内容。

这是研究立体几何问题的重要基础。

掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最根本的内容，其他部分就容易学习了。

因此，对于本章前面部分的教学，应注意讲求实效，让学生切实学好这些最基础的内容，并能在头脑中建立相应的知识体系，使知识条理化。

使学生建立正确的空间观念，对图形的认识上实现由平面到立体的过渡，是本章教学中的难点。

为克服这一难点，可注意以下几点：
1．联系实际提出问题和引入概念，合理运用教具，加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练。

由对照模型画直观图入手，逐步培养由图形想象出它所对应的模型的形状及其中各元素的空间几何位置关系的能力。

2．体会本章“从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系”的编写意图，通过适当的练习训练提高学生使用这些语言的能力。

长期的教学实践证明，由直观的图形到抽象的文字、符号，对于学习几何是极其重要的第一认识过程。

只有完成好这一过程的认识，才能升华到由抽象的文字、符号返回直观图形的第二认识过程。

教学中应研究学生的认识规律，按照“先由具体图形到抽象
文字和符号，再由抽象文字和符号返回具体图形”的顺序，让学生掌握三种数学语言的综合运用能力。

3．联系平面图形的知识，利用对比、引申、联想等方法，找出平面图形和立体图形的异同以及两者的内在联系，逐步培养学生把已有的对平面图形认识上升为对立体图形的认识，以及把立体图形分解为平面图形、利用平面几何基础解决立体几何问题的能力。

（二）结合观察分析图形能力的训练，提高学生的逻辑思维能力
本章研究的是立体图形，所涉及的问题包括画图、计算、证明等，其中证明问题占较重要的地位。

进一步发展学生的逻辑思维能力，是教学目的之一。

由于本章讨论的对象是空间的几何元素，所以有关推理证明必须建立在观察分析立体图形的基础上。

完成这样的问题既需要空间想象能力，又需要逻辑思维能力，应该说是两种能力的综合运用。

本章所用的证明方法，主要是通常的直接证法，此外还用到反证法以及同一法的思想，这些证明方法都是根据具体命题的需要而选择采用的，证法简明是选择的主要标准。

对于证明过程的表述，本章根据具体题目的特点，分情况采用了“”和“”两种主要形式，教学中可结合学生实际灵活掌握，而不应限制过死。

教学中应要求学生会用反证法证明简单的问题，至于同一法思想的应用，只限于课本的程度，主要是解决有关唯一性的问题，不要求出现同一法的名词，也不过多地训练学生用同一法证题。

本章对球的两个公式的推导，具体处理方法包含较深刻的变化思想，涉及“直与曲”、“近似与准确”、“有限与无限”等的转化，学生学习这些内容时认识上要有一个新的飞越，所以有一定难度．然而，我们认为：适当地引导学生认识公式的来龙去脉，有利于他们理解公式及其产生过程，提高对数学思想方法的认识，符合他们的认识水平和求知欲望．只要在教学中处理得当，注意深入浅出，从特殊归纳一般，对于高中学生来说克服这些障碍是完全可能的。

（三）注意知识体系的整理总结
本章第一大节以空间的“线线、线面、面面”之间的位置关系为主要线索展开，其中“平行”和“垂直”是两种重要的位置关系，这样安排可以被认为是按几何元素纵向深入研究．学习完该大节后，还可以变换一个角度，以“平行”和“垂直”为线索，对所学内容进行横向整理总结。

这种横纵结合的学习方法有利于对知识的认识更系统、更深入，运用起来更灵活。

（四）重视研究性课题的教学
本章第9.9节《多面体欧拉公式的发现》是研究性课题。

这一节设置了5个问题,逐步深入地引导学生观察多面体,发现V+F=E+2这一规律,得出猜想,探索证明公式,最后应用公式分析解决问题。

以研究性课题的形式安排这部分内容是新的尝试，目的在于为培养创新精神提供更大的空间。

教学中，应注意调动学生的积极性，充分体现学生的自主活动和合作活动，避免单纯讲授的“一言堂”教法，而把重点放在启发学生主动研究
上。