2020-2021学年广东省广州市天河区+越秀区九年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1．下列选项的汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．“购买1张彩票，中奖”这个事件是（ ） A ．确定事件 B ．不可能事件 C ．必然事件 D ．随机事件 3．二次函数y ＝（x ﹣4）2+5的图象的顶点坐标是（ ） A ．（4，5） B ．（﹣4，5） C ．（4，﹣5） D ．（﹣4，﹣5）． 4．点（1，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（ ） A ．（1，1） B ．（1，﹣1） C ．（﹣1，﹣1） D ．（﹣1，1）
5．方程x 2﹣4x +4＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．有一个实数根
D ．没有实数根
6．四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠ABC ＝60°，则∠ADC 的度数为（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．30°
7．在英语单词rotation （旋转）中任意选择一个字母，字母为“t ”的概率与字母为“o ”的概率之和为（ ） A ．18
B ．14
C ．38
D ．12
8．一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（ ） A ．2√2
B ．3√2
C ．4√2
D ．5√2
9．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为（ ） A ．1
2x （x ﹣1）＝380
B ．x （x ﹣1）＝380
C ．1
2
x （x +1）＝380
D ．x （x +1）＝380
10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，下列结论：①ac ＜0；②当x ≥1时，y 随x 的增大而减小；③2a +b ＝0；④b 2﹣4ac ＜0；⑤4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．方程x2﹣2x﹣3＝0的解是．
12．如图，E是正方形ABCD中CD边上的中点，AB＝4，把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，若连接EF，则EF＝．
13．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是个．
14．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝．
15．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积是（结果保留π）．
16．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17．（4分）解方程：6x2﹣2x﹣1＝2x2﹣2x．
18．（4分）如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中D，E是对应点，若∠CAD＝18°，求∠EAC的度数．
19．某商场某型号的计算机2018年销售量为2880台，2020年受疫情影响，年销售量下降为2000台，求销售量的年平均下降率．（结果保留整数）
20．经过某路口的汽车只能向左转或者向右转，如果两种可能性相同，现有两辆汽车经过这个路口，请用列举法求事件“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的概率．
21．如图，已知△ABC，∠B＝40°，AB＝AC．
（1）尺规作图：作⊙O，使它经过A，B，C三点；
（2）在（1）中所作的⊙O中，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，连接OD，OC，求∠DOC的度数．
22．如图，在正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）
̂的长和阴影部分的面积；
（1）求AC
（2）若在正方形ABCD中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不计）
23．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，1），点M是x轴上的一个动点．连接AM，过点M作y轴的平行线交线段AM的垂直平分线于点P（x，y）．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）在（1）中，若求得的函数图象是直线，请求出它与直线y＝x+1、坐标轴围成的图形面积；若是抛物线，设它与直线y＝x+1交于点B，C，顶点为Q，求△QBC的面积．
24．如图，AD ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于A ，B ，E 三点，AB 是⊙O 的直径． （1）连接OC ，OD ，若OC ＝4，OD ＝3，求CD 的长； （2）若AD ＝x ，BC ＝y ，AB ＝4，请画出y 关于x 的函数图象．
25．对于实数a 和b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ={a +b ，当a ≤b 时
a −
b ，当a ＞b 时．
（1）若（2x ﹣1）⊗（3﹣2x ）＝x 2，求实数x 的值；
（2）设函数y 1＝（2﹣x 2）⊗（4x ﹣x 2），若函数y 2＝y 1﹣m 的图象与坐标轴恰有两个交点，求实数m 的取值范围．
2020-2021学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．【解答】解：购买1张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此“购买1张彩票，中奖”这个事件是随机事件，故选：D．
3．【解答】解：
∵y＝（x﹣4）2+5，
∴其图象的顶点坐标为（4，5），
故选：A．
4．【解答】解：（1，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，1），
故选：D．
5．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：A．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
7．【解答】解：单词rotation中共8个字母，其中字母“t”有2个，字母“o”有2个，
所以任意选择一个字母，是“t”的概率与“o”的概率相等，都是2
8=1
4
，
所以1
4+1
4
=1
2
，
故选：D．
8．【解答】解：如图所示：⊙O的半径为4，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴AC＝2×4＝8，
∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴AB2+BC2＝64，
解得：AB＝4√2，
即⊙O的内接正方形的边长等于4√2．
故选：C．
9．【解答】解：设参赛队伍有x支，则
x（x﹣1）＝380．
故选：B．
10．【解答】解：∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，
∴ac ＜0，结论①正确；
∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，结论②错误； ∵抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴−
b 2a
=1，
∴b ＝﹣2a ，
∴2a +b ＝0，结论③正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，结论④错误； ∵当x ＝﹣2时，y ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＞0，结论⑤正确． 故选：C ．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11．【解答】解：方程x 2﹣2x ﹣3＝0左边因式分解，得
（x ﹣3）（x +1）＝0 解得x 1＝3，x 2＝﹣1．
12．【解答】解：∵把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ，
∴AE ＝AF ，∠EAF ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CD ＝AD ＝4， ∵E 是CD 的中点， ∴DE =1
2CD ＝2，
∴AE =√AD 2+DE 2=√42+22=2√5，
∴EF =√AE 2+AF 2=√(2√5)2+(2√5)2=2√10， 故答案为：2√10．
13．【解答】解：设袋子中红球有x 个，
根据题意，得：x 20
=0.25，
解得x ＝5，
即袋子中红球的个数可能是5个， 故答案为：5．
14．【解答】解：把x ＝1代入x 2+3mx +n ＝0得：
1+3m +n ＝0， 3m +n ＝﹣1，
则6m +2n ＝2（3m +n ）＝2×（﹣1）＝﹣2； 故答案为：﹣2．
15．【解答】解：如图，过B 点作BO ⊥AC 与O 点，
∵∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4， ∴AC =√32+42=5， ∵1
2BO •AC =12
AB •BC ，
∴OB =
3×45=
125
，
∴所得几何体的全面积=12
×2π×125
×4+12
×2π×
125
×3=
845
π．
故答案为845
π．
16．【解答】解：①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图，
∵AB ＝16cm ，CD ＝12cm ， ∴AE ＝8cm ，CF ＝6cm ， ∵OA ＝OC ＝10cm ， ∴EO ＝6cm ，OF ＝8cm ， ∴EF ＝OF ﹣OE ＝2cm ；
②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图， ∵AB ＝16cm ，CD ＝12cm ， ∴AF ＝8cm ，CE ＝6cm ， ∵OA ＝OC ＝10cm ， ∴OF ＝6cm ，OE ＝8cm ， ∴EF ＝OF +OE ＝14cm ．
∴AB 与CD 之间的距离为14cm 或2cm ． 故答案为：2或14．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17．【解答】解：方程整理得：4x 2﹣1＝0，
这里a ＝4，b ＝0，c ＝﹣1， ∵b 2﹣4ac ＝16＞0， ∴x =
−b±√b 2−4ac
2a =
±48
，
即x 1=12
，x 2=−12
．
18．【解答】解：∵把△ACD 绕点A 顺时针旋转60°恰好得到△ABE ，
∴∠DAE ＝60°，
∴∠EAC ＝∠EAD ﹣∠CAD ＝42°． 19．【解答】解：设销售量的年平均下降率为x ，
依题意可列：2880（1﹣x ）2＝2000， 解得：x 1≈0.17＝17%．x 2=−11
6（舍去）．
答：销售量的年平均下降率为17%． 20．【解答】解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，其中“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的结果有2个， ∴“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的概率为2
4
=1
2．
21．【解答】解：（1）如图，⊙O 即为所求；
（2）∵AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠B ＝40°， ∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACB ＝2∠ACD ＝40°，
∴∠AOD ＝2∠ACD ＝40°，∠AOC ＝2∠B ＝80°， ∴∠DOC ＝∠AOD +∠AOC ＝120°． 答：∠DOC 的度数为120°． 22．【解答】解：（1）l AC ̂=
90×3×2180
=3；
S 树叶形图案＝2S 扇形﹣S 正方形＝2×
90×3×22
360
−22＝2；
（2）豆子落在阴影区域内的概率=24
=12
． 23．【解答】解：（1）如图，连接P A ，
∵过点M 作y 轴的平行线交线段AM 的垂直平分线于点P （x ，y ）． ∴P A ＝PM ，
∵点A 的坐标为（0，1），P （x ，y ）． ∴x 2+（y ﹣1）2＝y 2，
∴y 关于x 的函数关系式为y =1
2
x 2+1
2； （2）∵y =
12x 2+1
2
， ∴Q （0，12），
解{y =1
2x 2+1
2y =x +1得{x =1−√2y =2−√2或{x =1+√2y =2+√2，
∵直线y ＝x +1与y 轴的交点为（0，1）， ∴S △QBC =1
2
（1−1
2
）（2+√2−2+√2）=
√2
2
． 24．【解答】解：（1）∵AD ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于A ，B ，E 三点，
∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，DO 平分∠ADE ，CO 平分∠BCE ， ∴AD ∥BC ，
∴∠ADC +∠BCD ＝180°，
∵∠ODE =1
2∠ADE ，∠OCE =12
∠BCE ，
∴∠ODE +∠OCE =1
2
（∠ADE +∠BCE ）＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴CD=√OD2+OC2=√32+42=5；（2）∵∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝90°，
∵∠AOD+∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠BOC，
∴△AOD∽△BCO，
∴AD
OB =OA
BC
，即x
2
=2
y
，
∴y=4
x
（x＞0），
如图，
25．【解答】解：（1）①当2x﹣1≤3﹣2x，即x≤1时，
（2x﹣1）@（3﹣2x）＝（2x﹣1）+（3﹣2x）＝x2，
解得：x2＝2，
x＝±√2，
∵x≤1，
∴x=−√2；
②当2x﹣1＞3﹣2x，即x＞1时，
（2x﹣1）@（3﹣2x）＝（2x﹣1）﹣（3﹣2x）＝x2，
解得：x1＝x2＝2，
综上，x＝2或−√2；
（2）当（2﹣x2）≤（4x﹣x2），即x≥0.5时，
y1＝（2﹣x2）+（4x﹣x2）＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4，
当（2﹣x2）＞（4x﹣x2），即x＜0.5时，
y1＝（2﹣x2）﹣（4x﹣x2）＝﹣4x+2，
由y2＝y1﹣m的图象与坐标轴恰好有两个交点，
可得，函数y1上下平移后一定距离后与坐标轴恰好有两个交点，
如图（1），即为函数y1的图象，此时，图象与坐标轴只有两个交点，如果图象向上平移，图象与坐标轴始终只有两个交点，∴m≤0，
如图（2），当直线经过原点的时候，y2的图象与坐标轴只有两个交点，
∴﹣4×0+2﹣m＝0，
解得：m＝2，
如图（3），当抛物线顶点在x轴上时，y2的图象与坐标轴有三个交点，
∴﹣2×（1﹣1）2+4﹣m＝0，
解得：m＝4，
图象继续向下平移，与坐标轴一直只有两个交点．
综上，m＞4或m＝2或m≤0．
2020-2021学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷,
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．把抛物线y＝x2向右平移2个单位后得到的抛物线是（）
A．y＝（x+2）2B．y＝（x﹣2）2C．y＝x2+2D．y＝x2﹣2
3．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
4．用配方法解方程x2+4x+1＝0，经过配方，得到（）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
5．下列说法正确的是（）
A．“平分弦的直径垂直于弦”是必然事件
B．“垂直于弦的直径平分弦”是必然事件
C．可能性是0.1%的事件在一次试验中一定不会发生
D．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝40°，则∠BAD的大小是（）
A．30°B．45°C．50°D．60°
7．关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（）
A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小
8．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞1B．k≥1且k≠2C．k≤1D．k≥1且k≠2
9．如图，P是平行四边形ABCD的边AD上一点，E、F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB的面积分别是S，S1，S2，若S＝2，则S1+S2＝（）
A．4B．6C．8D．不能确定
10．根据下列条件，不能判定△ABC和△DEF相似的是（）
A．∠A＝40°，∠B＝∠E＝58°，∠D＝82°B．∠A＝∠D＝40°，
C．∠A＝∠D＝120°，D．∠A＝∠D＝40°，
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分.
11．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是．
12．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2）．以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，得到△E'F'O．则点E的对应点E'的坐标是．
13．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C′恰好落在边AB上，连接BB'，则∠C′B'B的度数是．
14．一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，若将该圆锥侧面沿着母线剪开得到一个扇形，则该扇形的圆心角的度数是．
15．假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）满足函数关系式y＝50t﹣t2，则经过后，飞机停止滑行．
16．如图，⊙O的直径AB＝10，点C为上半圆上一点，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，点E为△ABC的内心，下列说法正确的是．
①；②AB＝DE；③当点C在上半圆上运动时，点E的运动路径长是；
④当点C在上半圆上运动时，线段CE相过的图形面积是25．
三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解方程：x（x+5）＝x﹣4．
18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（4，3），请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并分别写出A1，B1，C1的坐标．
19．现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B 袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
20．如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高AB，设法使三角板的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面距离AC＝1.5m，人与树的距离CD＝8m，求树高AB的值．
21．2020年疫情期间，某网店以每袋8元的成本价购进了一批口罩，四月份以每袋14元销售了400袋，为回馈客户，该网店决定五月份降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋．
（1）若五月份口罩售价为每袋10元，试求五月份的口罩销售量；
（2）当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
22．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接BC．（1）求点C的坐标；
（2）已知点P为线段OB上一点（点P与点B不重合），过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点M，N，且PN＝2PM，求点P的坐标．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB，E是垂足．
（1）动手操作：在上作一点D，使∠CDB＝∠CBD．连BD交CE于点F（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①求证：CF＝BF；
②连接CD，若CD＝3，AC＝4，求线段EF的长．
24．已知抛物线G：y＝ax2+bx+c过点A（1，1+b+c），B（﹣1，1+b）．
（1）用含b的式子表示c；
（2）设抛物线G的顶点坐标是（h，k），经过探究发现，随着b的值的变化，抛物线G的顶点的纵坐标k与横坐标h之间存在一个函数关系，求这个函数关系式；
（3）若0＜b＜8，当﹣6≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最大值与最小值之差是25，求b的值．
25．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD、CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF．
（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；
（2）当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长；
（3）求△ADE的周长的最大值．。