第二章 直线的投影

如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投 影平行则可以认为直线平行。 如果两直线都平行于某投影面，则必须根据第三投 影或比例关系判断。
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线
例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB
AB 和 CD 的三面投影。 和CD的三面投影。
题解： c′〝
c
NEW
c
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并 符合点的投影规律。
二、Ｄ点不在 直线ＡＢ上。
a A d b a b
NEW
a b
D
d
B
d
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上 解法１：
NEW
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律， 故Ｍ点不在直线ＣＤ上。
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
直线 水 平 线
直观图
投影图
投影特征 1、水平投影ab 反映实长 及直线的倾角β 和γ 。 2、正面投影a b //o x轴, 侧面投影a"b "//oy w 轴，且 均短于实长。 1、正面投影e f 反映实长 及直线的倾角α 和γ 。 2、水平投影ef //o x轴,侧 面投影e"f "//oz 轴，且均 短于实长。 1、侧面投影e"f" 反映实 长及直线的倾角α 和β 。 2、水平投影e f//oy H 轴,正 面投影e f //oz 轴，且均 短于实长。
• 1． 直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。 • 2． 直线上的点，分割线段之比，在投影后保持不变。
三．直线上的点 (一) 直线上点的投影特性
点Ｃ在直线上 ＡＢ上
1.直线上的点，
其投影必在该 直线的同面投 影上。
2.直线上的点，
分割线段之比， 在投影后保持 不变。
NEW
C点在直线ＡＢ上
β
求点到直线的距离，直线与直线的距离
a’ a’ b’ c’ b’
a’
a’
a b b a’
c
a
已知正方形一边BC的α=45，完成正方形的投影
a’
b’
a
b
小结
• • • • • • 1．熟练掌握点在第一分角中的投影特性及作图方法。 2．熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系。 3．掌握两点的相对位置及重影点的可见性判别。 4．熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法。 5．掌握直线上点的投影特性。 6．熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投 影面倾角的方法，并能灵活运用直角三角形法。 • 7．掌握两直线各种相对位置的投影特性及作图方法和判别方 法。 • 8．掌握直角投NEW
点Ｍ的投影不符合直线上点定比性，故Ｍ点 不在直线ＣＤ上。
直线上点投影的特性
• ①从属性：点在直线上，点的投影在直线的 同面投影上，投影连线垂直于所夹的投影轴。
• ②定比性：点分线段之比等于点的投影分线 段的投影之比 。
在图2-9a所示直线AB上取一点K，使AK∶KB＝2∶1。求点K的两面投影。


YW




YH
Y
正 平 线


YW
H
Y
YH
侧 平 线

YW
YH
总结:投影面平行线的投影特性 在所平行的投影面上的投影反映实长；且 反映直线对另外两个投影面的倾角； 其它两投影平行于相应的投影轴，且小于 实长。 “一斜两平行“ ”
二、投影面垂直线的投影种类及
y 坐 标 差
实长
β 正面投影长·
x 坐 标 差
实长
γ 侧面投影长
直角三角形的应用：
直角三角形法中有四个参数，即线段的实长、线段投影 长度、坐标差及直线对投影面的倾角，只要知道其中任 两个参数即可作出直角三角形而求出其它两个参数。也 就是说，用直角形法不仅可由直线段两投影求实长及倾 角，还可以已知一投影长(或倾角或实长)，完成线段的 另一投影。
第二章 直线的投影 • 2.1直线的投影
2.2 各种位置直线的投影
• 投影面平行线
– 平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面
• 投影面垂直线
– 垂直于一个投影，平行于另二个投影面
• 一般位置直线
– 倾斜于三个投影面的直线。
一、投影面平行线的投影种类
及投影特性 • 投影面平行线种类
– 正平线：∥V，对H、W面倾斜。 – 水平线：∥H，对V、W倾斜。 – 侧平线：∥W．对H、V倾斜。
水平投影重影点
4、垂直两直线投影特性
相交成直角的两直线，只要其中有一条直
线平行于某投影面，则它们在该投影面上的 投影仍反映直角。
Ｂ
水平线
Ａ b a
Ｃ c
两直线垂直关系归纳： • 空间两直线垂直，无一投影面的平行线，则投影不反应
•
•
• • •
•
垂直关系。 空间两直线垂直，有一投影面的平行线，则该面投影反 应垂直关系。 空间两直线垂直，有两投影面的平行线，则该面投影反 应垂直关系。 反之： 两直线投影垂直，无一投影面的平行线，则空间两直线 不垂直。 两直线投影垂直，有一投影面的平行线，则空间两直线 垂直。 两直线投影垂直，有两投影面的平行线，则空间两直线 垂直。
A
NEW
B
例：求一般位置直线ＡＢ对Ｗ面 的倾角。
b
x
a
x
NEW
例：直角三角形法应用
例：直角三角形法应用
例：作出三棱锥的第三投影，并判断各直线 的空间位置。
• 完成直线的水平投影
（1）L=25cm （2）β=30° （3）α=30°
b’ a’ a’
b’
a’
b’
a
a
a
三．直线上的点
例：相交两直线投影特性
a’
b’
c’ d’
a
b c’ d’
3、交叉两直线投影特性
既不符合平行两直线的投影特性，又不 符合相交两直线的投影特性 交叉直线的同面投影若相交，其交点并 非一个点的投影，而是两条直线上的两 个点的重影。其重影点的可见性应根据 两个点的相对位置来判别。
两交叉直线
正面投影重影点
试在图所示直线AB上取一点C， 使AC=L，求点C的两面投影。
(二) 直线的迹点
空间两直线的相对位置
平行
空间两直线 的相对位置 同面直线 相交 异面直线 交叉
1、平行两直线投影特性
两直线的同面投影相互平行，且其长度之比等 于投影长度之比。
如何利用投影特性根据投影判断两直线是否平 行？
a′〝
c″〝 a″ d″〝 〝 d′〝 b′〝b″ 〝 b d
c
NEW
a
例：过C点作线段CD平行于AB.
a’
c’
b’
a
c b
a'
d'
b'
b
d
a
c
2、相交两直线投影特性
相交两直线同面投影都相交，且交点符合点的 投影规律 如何利用投影特性根据投影判断两直线是否相 交？
两条一般位置线，投影上交点连线垂直于投影轴 。 有一条投影面的平行线时，则需要第三面投影或定比性来判 别
侧 垂 线
总结：投影面垂直线的投影特性
在所垂直的投影面上积聚为一点；
其它两投影垂直于相应的投影轴。
“一点两平行”
三、一般位置直线的投影特性
• 直线的各投影均对投影轴倾斜； • 直线的各投影与投影轴的夹角 并不反映空间直线与相应投影 面的倾角。角度： Sinα1=sinα/cosβ • 当直线AB倾斜于投影面时， 它在该投影面上的投影ab长度 小于实长，缩短多少，根据对 投影面夹角大小确定。长度： ab=ABcosα,a'b'=ABcosβ,a''b'' =Abcosγ 规律：直线的三个投影都不平行 于投影轴，长度变短，倾角的 投影变大
四、用直角三角形法求直线实长 及对投影面的倾角
直角三角形法线段实长及倾角
直角三角形的构成： 以直线段在H(v、w)的投影长度为一直角，以 直线段到H(v、w)投影面的坐标差为另一直角 边，构成直角三角形，斜边为实长，斜边与 投影长度的夹角即直线对该投影面的倾角。
Z 坐 标 差 实长
α 水平投影长
投影特性
• 投影面垂直线种类
– 正垂线：⊥V面，∥H，∥W – 铅垂线：⊥H面，∥V，∥W – 侧垂线：⊥W面，∥H，∥V 。
直线
直观图
投影图
a"
投影特征 1、水平投影积聚成一点 a(b)。
铅 垂 线
正 垂 线
、正面投 ⊥ 轴 侧面投影 ⊥ 且 均反映实长。 、正面投影积聚成一 点 ）
2、水平投影cd ⊥ox 轴,侧 面投影c"d" ⊥oz ,且均反映 实长。 1、侧面投影积聚成一点 e"(f")。 2、水平投影ef oxH 正面 投影e f oz,且均反映 实长。
例:判定下列图中两直线的相对位置（平行 、相交、垂直相交、交叉） NEW
1.交叉
2.垂直相交
3.相交
例：直角投影定理
已知矩形ABCD的一边AB的两面投影，且顶点D在直线EF
上，完成该矩形的两面投影。
已知正方形ABCD的一条对角线AC的两面投影， 且知另一对角线BD对V面的倾角为30°，试完 成该正方形的两面投影