(通用版)2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测(四十五)抛物线理
2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测(四十四)抛物线
课时达标检测(四十四）抛物线[练基础小题——强化运算能力]1．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.答案：42．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为________．解析：由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24. 答案：243．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA ―→|＋|FB ―→ |＋|FC ―→|的值为________．解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案：34．直线l 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2)2，解得p ＝2.答案：22．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝________.解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.答案：13．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝________. 解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知直线y ＝k (x －2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4.联立直线与抛物线方程消去y ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.答案：124．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为________．解析：由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p 2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .答案：y 2＝4x 或y 2＝16x5．(2018·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于________．解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.答案：136．(2017·天津高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )． 又F (1,0)，所以AC ―→＝(－1,0)，AF ―→＝(1，－a )， 由题意得AC ―→与AF ―→的夹角为120°，故cos 120°＝－11×1＋(－a )2＝－12，解得a ＝3， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝17．(2017·全国卷Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________．解析：法一：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°， 则|MN |＝|MF |＝21－cos 60°＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 答案：2 38．(2018·邢台模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为________．解析：由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，则|AA 1|＋|BB 1|≥6，即2|MM 1|≥6，所以|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离为3－1＝2.答案：29．(2018·镇江质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是正三角形，则△AFB 的边长为________．解析：由题意可知A ，B 两点一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x 的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x －1)，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y ＝23＋4或y ＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.答案：8＋43或8－4 310．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________.解析：由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2. 答案：π2二、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43.∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －1)，y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．。
2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何9抛物线一名师课件理科
) B．2 1 D.2
1 ∴a＝4.
6．焦点为(2，3)，准线是x＋6＝0的抛物线方程为( A．(y－3)2＝16(x－2) C．(y－3)2＝16(x＋2)
答案 C 解析
)
B．(y－3)2＝8(x＋2) D．(y－3)2＝8(x－2)
设 (x ， y) 为 抛 物 线 上 一 点 ， 由 抛 物 线 定 义
(2)(2018· 上海虹口区一模) 已知点 M(20 ， 40) ，抛物线 y2 ＝ 2px(p>0)的焦点为 F.若对于抛物线上的任意一点 P，|PM|＋|PF|的 最小值为 41，则 p 的值等于________．
【解析】
过点 P 作抛物线准线的垂线，垂足为 D，则|PF|
＝|PD|.当点 M(20， 40)位于抛物线内时， 如图①， |PM|＋ |PF|＝ |PM| ＋|PD|. 当点 M，P，D 共线时，|PM|＋ |PF|的值最小． p 由最小值为 41，得 20＋2＝41，解得 p＝42. 当点 M(20，40) 位于抛物线外时，如图 ②，当点 P，M，F 共线时，|PM|＋ |PF|的值最小．
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． p (5)AB 为抛物线 y ＝2px(p>0)的过焦点 F( ， 0)的弦， 若 A(x1， 2
2
p2 y1)，B(x2，y2)，则 x1 x2＝ 4 ，y1 y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
（x－2）2＋（y－3）2 ＝|x＋6|，平方整理，得(y－3)2＝16(x＋2).
授 人 以 渔
题型一
抛物线定义的应用
(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线 x＝1 相切，则动圆圆心的轨迹是( A．直线 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
2019届高三数学课标一轮复习单元质检 九解析几何 含解
单元质检九解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线l1:mx+y-1=0与直线l2:(m-2)x+my-1=0,则“m=1”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条3.已知点P(x,y)为曲线y=x+上任一点,点A(0,4),则直线AP的斜率k的取值范围是()A.[-3,+∞)B.(3,+∞)C.[-2,+∞)D.(1,+∞)4.(2017浙江金丽衢模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB外接圆的方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=205.(2017辽宁沈阳期末)已知直线x-y+4=0与圆x2+y2=16交于A,B两点,则在x轴正方向上投影的绝对值为()A.4B.4C.2D.26.(2017江苏盐城模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.=1B.=1C.=1D.=17.(2017浙江绍兴一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点M(p,0)的直线交抛物线于A,B两点,若=2,则=()A.2B.C.D.与p有关8.如图,已知椭圆C:=1(a>0),点A,F分别为其右顶点和右焦点,过F作AF的垂线交椭圆C于P,Q两点,过P作AP的垂线交x轴于点D,若|DF|=-,则椭圆C的长轴长为()A.2B.4C.2D.49.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M,若∠F1MF2为锐角,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)10.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江联考)已知直线l1:2x-2y+1=0,直线l2:x+by-3=0,若l1⊥l2,则b=;若l1∥l2,则两直线间的距离为.12.(2017浙江镇海模拟)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则m=;|MP|=.13.(2017浙江温州期末)若△OAB的垂心H(1,0)恰好为抛物线y2=2px的焦点,O为坐标原点,点A,B在此抛物线上,则此抛物线的方程是,△OAB面积是.14.(2017浙江杭州模拟)已知抛物线y=x2和直线l:y=kx+m(m>0)交于两点A,B,当=2时,直线l 过定点;当m=时,以AB为直径的圆与直线y=相切.15.(2017浙江绍兴)已知圆O1和圆O2都经过点A(0,1),若两圆与直线4x-3y+5=0及y+1=0均相切,则|O1O2|=.16.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且=0,△F1PF2的内切圆半径r=2a,则双曲线的离心率e=.17.从抛物线y2=2x上的点A(x0,y0)(x0>2)向圆(x-1)2+y2=1引两条切线分别与y轴交于B,C两点,则△ABC的面积的最小值是.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2017浙江名校联考)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B 两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.19.(15分)(2017课标Ⅲ高考)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.20.(15分)已知椭圆C1:=1,直线l1:y=kx+m(m>0)与圆C2:(x-1)2+y2=1相切且与椭圆C1交于A,B 两点.(1)若线段AB的中点的横坐标为,求m的值;(2)过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C,D两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值.21(15分)已知抛物线C:x2=4y,过点P(0,m)(m>0)的动直线l与C相交于A,B两点,抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q,直线AQ,BQ与x轴分别相交于点E,F.(1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程;(2)求证:点Q在直线y=-m上;(3)判断是否存在点P,使得四边形PEQF为矩形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.22.(15分)(2017浙江四模)设x,y∈R,向量i,j分别为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量a=(x+)i+y j,b=(x-)i+y j,且|a|+|b|=4.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;(2)设椭圆E:=1,P为曲线C上一点,过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,试证:△OAB的面积为定值.答案：1.A当m=0时,两条直线方程分别化为y-1=0,2x+1=0,此时两条直线相互垂直,∴m=0.当m≠0时,若l1⊥l2,则-m--=-1,解得m=1.综上可得m=0或m=1.故“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选A.2.C过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.3.A由题意知k AP=-=1---3≥-3.4.A由题意知,O,A,B,P四点共圆,所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1).又圆的半径r=|OP|=,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.5.C因为圆x2+y2=16的圆心到直线x-y+4=0的距离为d==2,所以|AB|=2-=4,由于直线x-y+4=0的倾斜角为 ,所以在x轴正方向上投影的绝对值为||cos =4=2,故选C.6.D设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,∴M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为=1,故选D.7.B设直线方程为x=my+p,代入y2=2px,可得y2-2pmy-2p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2p2,=2,∴(p-x1,-y1)=2(x2-p,y2),∴x1=-2x2+p,y1=-2y2,可得y2=p,y1=-2p,∴x2=p,x1=2p,,故选B.8.B由题意可得A(a,0),F(c,0),即有c=-,令x=c,可得y=±-=±,可得P-,由AP⊥PD,可得k AP·k PD=-1,即-----=-1,解得x D=---,由|DF|=-,可得--x D=---,即为a2[a2-(a2-2)]=8,即a2=4,解得a=2.则椭圆C的长轴长为4.故选B.9.D由于图形的对称性,不妨联立--解得-M-,F1(-c,0),F2(c,0), -,由题意可得>0,即>0, 化简可得b2>3a2,即c2-a2>3a2,故可得c2>4a2,c>2a,可得e=>2.故选D.10.B不妨令A,B-,由=m+n可得P-,代入双曲线方程得-=1,化简得4mn=1,∵mn=,,,故双曲线的渐近线方程为y=±x,故选B.-=-1,解得b=1.11.1①∵l1⊥l2,则--②若l1∥l2,则-=-,解得b=-1.∴两条直线方程分别为x-y+=0,x-y-3=0.---则两直线间的距离为12.-13∵圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,∴直线l:x+my+1=0过圆心C(1,2),∴1+2m+1=0.解得m=-1.圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,可化为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,∵经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,∴|MP|=-=3.13.y2=4x10本题考查抛物线的标准方程与几何性质.因为焦点为H(1,0),所以抛物线的方程是y2=4x.设A(a2,2a),B(b2,2b),由抛物线的对称性可知,b=-a.又因为AH⊥OB,得=-1,解得a=(不妨取正值),从而可得△OAB面积是10-14.(0,2)设A(x1,y1),B(x2,y2),整理得x2-kx-m=0,则x1+x2=k,x1x2=-m,y1y2=(x1x2)2=m2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=k2+2m,由=2,则x1x2+y1y2=m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2,由m>0,得m=2,直线l:y=kx+2,∴直线l过定点(0,2),设以AB为直径的圆的圆心M(x,y),圆M与y=相切于点P,由x=,则P-,由题意可知=0,即--=0,整理得x 1x 2- (x 1+x 2)++y 1y 2+ (y 1+y 2)+=0,代入整理得m 2-=0,解得m=,∴当m= ,以AB 为直径的圆与直线y=相切. 15 如图,∵原点O 到直线4x-3y+5=0的距离d= - =1,到直线y=-1的距离为1,且到(0,1)的距离为1,∴圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ,不妨看作是圆O 1, 设O 2(a ,b ),则由题意得- - 解得∴|O 1O 2|=16.5 可设P 为第一象限的点,由双曲线的定义可得|PF 1|-|PF 2|=2a ,① =0,可得PF 1⊥PF 2, 由勾股定理可得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2,② 由①②可得2|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2,由三角形的面积公式可得r (|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|)=|PF 1|·|PF 2|, 即有c+2a= ,两边平方可得c 2+4a 2+4ac=c 2+b 2=c 2+c 2-a 2, 即c 2-4ac-5a 2=0,解得c=5a (c=-a 舍去), 即有e==5.17.8 设B (0,y B ),C (0,y C ),A (x 0,y 0),其中x 0>2, 所以直线AB 的方程化简得(y 0-y B )x-x 0y+x 0y B =0,直线AB 与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,两边平方化简得(x 0-2)+2y 0y B -x 0=0,同理可得(x 0-2)+2y 0y A -x 0=0,故y C ,y B 是方程(x 0-2)y 2+2y 0y-x 0=0的两个不同的实根,所以y C+y B=-,y C y B=-,所以S=|y C-y B|x0=-=(x0-2)+-+4≥8,所以当且仅当x0=4时,S取到最小值8,所以△ABC的面积的最小值为8.18.解(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),∵直线过点P,C,∴k PC=--=2,直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0;(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0,圆心C 到直线l的距离为圆的半径为3,∴弦AB的长为19.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为-=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为-,圆M的半径为,圆M的方程为-20.解(1)将l1:y=kx+m代入C1:=1得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-4)=0,Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则--所以-,①又d==1,得k=-,②联立①②得m4-m2-2=0,解得m=(2)由(1)得|x1-x2|=-,所以|AB|=-,把l2:y=kx代入C1:=1得x2=,所以|CD|=,所以λ=--=--=----,当m=k=-时,λ取最小值21.(1)解焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.(2)证明由题意,知直线l的斜率存在,故设l的方程为y=kx+m.由方程组得x2-4kx-4m=0,由题意,得Δ=16k2+16m>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以抛物线在点A处的切线方程为y-x1(x-x1),化简,得y=x1x-, ①同理,抛物线在点B处的切线方程为y=x2x-②联立方程①②,得x1x-x2x-,即(x1-x2)x=(x1-x2)(x1+x2),因为x1≠x2,所以x=(x1+x2),代入①,得y=x1x2=-m,所以点Q-,即Q(2k,-m).所以点Q在直线y=-m上.(3)解假设存在点P,使得四边形PEQF为矩形,由四边形PEQF为矩形,得EQ⊥FQ,即AQ⊥BQ,所以k AQ·k BQ=-1,即x1x2=-1.由(2),得x1x2=(-4m)=-1,解得m=1.所以P(0,1).以下只要验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可.在①中,令y=0,得E-,直线FQ的斜率同理得F所以直线EP的斜率为k EP=---,k FQ=---所以k EP=k FQ,即EP∥FQ.同理PF∥EQ.所以四边形PEQF为平行四边形.综上所述,存在点P(0,1),使得四边形PEQF为矩形.22.(1)解∵a=(x+)i+y j,b=(x-)i+y j,且|a|+|b|=4,-=4.∴点M(x,y)到两个定点F1(-,0),F2(,0)的距离之和为4.∴点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则c=,a=2,故b2=a2-c2=1.其方程为+y2=1.(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+m代入椭圆E的方程,消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内,故Δ>0,由韦达定理可得x1+x2=-,x1x2=--所以|x1-x2|=因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|=-=-=2-设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.由Δ=0,可得m2=1+4k2,即t=1,又因为S=2-=2-,故S=2为定值.。
2019届高三数学(理)一轮复习考点规范练：第九章 解析几何48 Word版含解析
考点规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固1.设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A.1B.2C.3D.42.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离3.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.4C.6D.24.(2019河南许昌、新乡、平顶山三模)经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=4D.(x+1)2+(y-1)2=45.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-6.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=.7.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.8.若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的倾斜角.10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.〚导学号37270494〛能力提升11.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.D.212.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是()A.[1-2,1+2]B.[1-,3]C.[-1,1+2]D.[1-2,3]13.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=0 〚导学号37270495〛14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.15.(2019江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.〚导学号37270496〛高考预测16.若直线=1通过点M(cos α,sin α),则()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.≤1D.≥1参考答案考点规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系1.B解析由方程(x-2)2+(y+1)2=9,得圆心坐标为(2,-1),半径r=3,则圆心到直线l的距离d=由r=,故所求点的个数为2.2.B解析圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2=2a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.3.C解析依题意,直线l经过圆C的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A的坐标为(-4,-1).又圆C的半径r=2,由△ABC为直角三角形可得|AB|=又|AC|=2,所以|AB|==6.4.A解析设圆心的坐标为(a,b),由题意可知解得故所求圆的标准方程是(x-1)2+(y+1)2=2.5.D解析如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.则圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-6解析如图,∵OA=1,AP=,又P A=PB,∴PB=∴∠APO=30°.∴∠APB=60°.=||||cos 60°=7.4π解析因为圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.8.2解析如图,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|==1,故圆的半径r==2.9.(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1);故直线l恒过定点P(1,1).因为=1<,所以点P(1,1)在已知圆C内,从而直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)解圆的半径r=,圆心C到直线l的距离为d=由点到直线的距离公式得,解得m=±,故直线的斜率为±,从而直线l的倾斜角为10.解(1)因为圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx,M(x0,y0).由得(1+m2)x2-6x+5=0,则Δ=36-20(1+m2)>0,解得-<m<,故x0=,且<x0≤3.因为m=,所以x0=,整理得所以M的轨迹C的方程为+y2=(3)存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.由(2)得M的轨迹C为一段圆弧,其两个端点为P,Q,直线L:y=k(x-4)过定点E(4,0),①k PE==-,k QE=,当-k时,直线L与曲线C只有一个交点.②当直线L与曲线C相切时,L的方程可化为kx-y-4k=0,则,解得k=±综上所述,当-k或k=±时,直线L与曲线C只有一个交点.11.C解析由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d=,故选C.12.D解析y=3-变形为(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,只需直线y=x+b在图中两直线之间(包括图中两条直线),y=x+b与下半圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离为2,即=2,解得b=1-2或b=1+2(舍去),故b的取值范围为1-2b≤3.故选D.13.A解析设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1).因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为,所以,即|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.14.解因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为±1或切线过原点.①当k=±1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于相切,则方程有两个相等的实数根,即b=3或b=-1,c=5或c=1.故所求切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.②当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.由,得k=2±所以此时切线方程为y=(2±)x.综上①②可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-)x-y=0或(2+)x-y=0. 15.解因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-55+5,解得2-2t≤2+2 因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].16.D解析因为点M(cos α,sin α)在圆x2+y2=1上,又直线=1过点M,所以直线与圆相交或相切.所以1,所以1.。
2019版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时跟踪检测56 理 新人教A版
2019版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时跟踪检测56 理 新人教A 版1．[2017·山西太原模拟]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解：(1)由题意，得当点P 是椭圆的上、下顶点时， △PF 1F 2面积取最大值，此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP |＝bc ，∴bc ＝43，∵e ＝12，∴b ＝23，a ＝4，∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1， 则F 1的坐标为(－2,0)， ∵AC →·BD →＝0，∴AC ⊥BD .①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14. ②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，则其方程为y ＝k (x ＋2)， 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k 23＋4k2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k2，∴|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)， 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1kx ＋，x 216＋y212＝1，可得|BD →|＝k 2＋3k 2＋4，∴|AC →|＋|BD →|＝k 2＋4k 2＋3＋k 2＋3k 2＋4＝k 2＋2k 2＋k 2＋，令t ＝k 2＋1(k ≠0)，则t >1， ∴|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t2， ∵t >1，∴0<t －1t 2≤14， ∴|AC →|＋|BD →|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14. 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.2．[2017·甘肃兰州模拟]已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝63，过C 1的左焦点F 1的直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设C 1的右焦点为F 2，在圆C 2上是否存在点P ，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，请说明理由．解：(1)∵直线l 的方程为x －y ＋2＝0， 令y ＝0，得x ＝－2，即F 1(－2,0)， ∴c ＝2，又e ＝c a ＝63， ∴a 2＝6，b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1.(2)∵圆心C 2(3,3)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|3－3＋2|2＝2，又直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为22， ∴r ＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2＋2＝2， 故圆C 2的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.设圆C 2上存在点P (x ，y )满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|，即|PF 1|＝3|PF 2|，且F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 则x ＋2＋y 2＝3x －2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝94，它表示圆心是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，半径是32的圆．∵|CC 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－522＋－2＝372， 故有2－32<|CC 2|<2＋32，故圆C 与圆C 2相交，有两个公共点．∴圆C 2上存在两个不同的点P ，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|.3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解：设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北石家庄摸底考试]平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，离心率e ＝32，过点F 且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上、下顶点分别为A ，B ，设过点M (m ，－2)(m ≠0)的直线MA ，MB 与椭圆C 分别交于点P ，Q .求证：直线PQ 必过一定点，并求该定点的坐标．解：(1)由e ＝32，可得a 2＝4b 2， 因过点F 垂直于x 轴的直线被椭圆所截得弦长为1， 所以2b2a＝1，所以b ＝1，a ＝4，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知，A (0,1)，B (0，－1)，点M 的坐标为(m ，－2)， 直线MAP 方程为y ＝－3mx ＋1，直线MBQ 方程为y ＝－1mx －1.分别与椭圆x 24＋y 2＝1联立方程组，消去x ，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 29＋4y 2－29m 2y ＋m 29－4＝0 和(m 2＋4)y 2＋2m 2y ＋m 2－4＝0， 由韦达定理，可解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫24m m 2＋36，m 2－36m 2＋36，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4. 则直线PQ 的斜率k ＝m 2－1216m，则直线方程为y －4－m 2m 2＋4＝m 2－1216m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8m m 2＋4，化简可得直线PQ 的方程为y ＝m 2－1216m x －12，恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12.所以直线PQ 必过y 轴上的一定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12.2.如图，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？并说明理由．解：(1)依题意可知，直线AB 的斜率存在， 设其方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8k24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14， 解得k ＝±12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2， 显然直线AB 不能与x 轴、y 轴垂直． 由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3. 设点D 的坐标为(x D,0)．因为DG ⊥AB ， 所以3k 4k 2＋3－4k24k 2＋3－x D×k ＝－1， 解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0.因为△GFD ∽△OED ， 所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 4k 2＋32 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3， 整理得8k 2＋9＝0. 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.3．[2017·山西太原模拟]如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上．(1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB |1＋4m2，求d 的最大值．解：(1)y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，∴1－⎝⎛⎭⎪⎫－p 2＝54，p ＝12，∴抛物线C 的方程为y 2＝x . 又点M (t,1)在抛物线C 上，∴t ＝1. (2)由(1)知，点M (1,1)， 从而n ＝m ，即点Q (m ，m )，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线AB 的斜率为k (k ≠0)． 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，故k ·2m ＝1，∴直线AB 的方程为y －m ＝12m(x －m )， 即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x 消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，∴Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2＝2＋4m 2m －m 2.∴d ＝|AB |1＋4m2＝2m－m ≤m ＋(1－m )＝1，当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时等号成立，又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0.∴d 的最大值为1.。
2019届高三数学(理科)一轮复习考点规范练 第九章 解析几何 单元质检九 含解析
单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=02.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为()A. B.C. D.34.抛物线y2=8x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离为()A.1B.C.D.5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A. B. C. D.6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是()A.y=-x+3B.x=0或y=-x+3C.x=0或y=x+3D.x=07.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,则的值为()A.-1B.0C.1D.108.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2〚导学号37270596〛9.(2016河南洛阳二模)设双曲线=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,2)C.(1,2)D.(,+∞) 〚导学号37270597〛10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A. B. C.3 D.911.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42 〚导学号37270598〛12.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是() A. B.C. D. 〚导学号37270599〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若椭圆=1的离心率e=,则k的值为.14.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.15.(2016河南洛阳二模)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,P A,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形P ACB的最小面积是2,则k的值为.〚导学号37270600〛16.若方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A (0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.〚导学号37270601〛18.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程;(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.〚导学号37270602〛19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.〚导学号37270603〛20.(12分)(2016河南洛阳月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点.(1)若直线y=-x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:(2)若存在直线l,使得,求b的取值范围.〚导学号37270604〛21.(12分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.〚导学号37270605〛22.(12分)(2016四川,理20)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|P A|·|PB|,并求λ的值.〚导学号37270606〛参考答案单元质检九解析几何1.D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0,由=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.C解析过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.3.C解析由条件知,c,所以.所以4b2=5a2.因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e=.4.A解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1的渐近线x±y=0的距离d==1.5.D解析由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=,解得e=.6.B解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为2,圆的半径为2,所以弦心距为=1.由点到直线距离公式得=1,解得k=-.综上,所求直线方程为x=0或y=-x+3.7.B解析依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离为,从而易得cos,即=45°,所以∠ACB=90°,所以=0,故选B.8.D解析由条件知=1+=1+,当a>b时,,则,所以e1<e2.当a<b时,,则,所以e1>e2.所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.9.B解析双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x,当x=时,y=±,所以不妨令A,B.因为60°<∠AFB<90°,所以<k FB<1,即<1,即<1.所以<1,即1<e2-1<3,故<e<2.10.A解析由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).又双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),所以直线AM的斜率为.由题意得,解得a=.11.B解析因为双曲线的离心率为2,所以e2==4,即b2=3a2,所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0), 得x=p或x=0,故x A=x B=p,又因为|AF|=x A+p+=7,所以p=6.12.A解析如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.不妨设M(0,b),则,即b≥1.所以e=≤.又0<e<1,所以0<e≤.故选A.13.4或-解析若焦点在x轴上,即k+8>9,则a2=k+8,b2=9,e2=,解得k=4.若焦点在y轴上,即0<k+8<9,则a2=9,b2=k+8,e2=,解得k=-.综上,k=4或k=-.14.8解析设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1.又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以p2=36,所以p=8.15.2解析圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1.由圆的性质知:S四边形P ACB=2S△PBC,又因为四边形P ACB的最小面积是2,所以S△PBC的最小值为S=1=rd(d是切线长),所以d最小值=2.由圆心到直线的距离就是PC的最小值,可得,又因为k>0,所以k=2.16.②解析若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0且4-t≠t-1,解得1<t<4且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示为圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.17.解(1)由得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则=1,所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1≤≤2+1, 解得a的取值范围为.18.解(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为y-=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线P A方程为,整理得(y0-a)x-yx0+ax0=0.因为直线P A与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0,同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|==2,令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.19.解(1)抛物线y=x2的焦点为.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k>,解得k<.因为k>0,所以0<k<.即k的取值范围是.(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.理由如下:假设四边形ABDC为梯形.由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.同理,得x2=--1.对函数y=x2求导,得y'=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.若AB∥CD,则k=--2,即k2+2k+2=0,因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.若AC∥BD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.因此四边形ABDC不可能为梯形.20.解(1)设P(-2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为,则=0,即x+y=2.联立解得所以直线l的方程为y=0或y-0=(x+2),化为x-4y+2=0.(2)椭圆C2:+y2=1的离心率e=.设2c是椭圆C1:=1(a>b>0)的焦距,则,又a2=b2+c2,可得a=2b,c=b,椭圆C1的方程化为x2+4y2=4b2.设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,所以x3+x4=,x3x4=,|PQ|==.联立消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4b2=0,所以x1+x2=,x1x2=,|AB|==.因为,所以||=3||,即3×=.所以b2=1+∈(1,9],即b∈(1,3].所以b的取值范围是(1,3].21.解(1)双曲线=1的渐近线方程为y=±x,由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可得=1,解得a=b,因为c==2,所以a=b=.由此可得双曲线方程为=1.(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=,即m=n.①因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得n=c,m=c.将点A代入双曲线方程,得=1,化简得c2b2-c2a2=a2b2,又因为c2=a2+b2,所以上式化简整理得c4-2c2a2+a4=0,两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,解得e2=或e2=2,因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率e=(负值舍去).22.(1)解由已知, a=b,则椭圆E的方程为=1.由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为=1,点T坐标为(2,1).(2)证明由已知可设直线l'的方程为y=x+m(m≠0),由方程组可得所以点P的坐标为,|PT|2=m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),由Δ>0,解得-<m<.由②得x1+x2=-,x1x2=.所以|P A|==,同理|PB|=.所以|P A|·|PB|===m2.故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|P A|·|PB|.。
2019版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时跟踪检测54 理 新人教A版
2019版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时跟踪检测54 理 新人教A 版1．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0答案：D解析：由题意知，M 为PQ 的中点，设Q (x ，y )，则P 的坐标为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 答案：B解析：设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0， 又D 2＋E 2－4F ＝16>0， 所以动点P 的轨迹是圆．3．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 作垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案：D解析：由已知，得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．4．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3x C ．x 2＝2y D ．y 2＝4x答案：A解析：设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．因为QP →·QF →＝FP →·FQ →，所以(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y .5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案：D解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2， 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.6．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 答案：D解析：∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|M Q |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故点M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.7．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1答案：A解析：由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14， 又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支． ∵c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．8．直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线答案：A解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1， 所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5 ，所以点C 的轨迹是直线，故选A.9．动点P (x ，y )到定点A (3,4)的距离比P 到x 轴的距离多一个单位长度，则动点P 的轨迹方程为________．答案：x 2－6x －10y ＋24＝0(y ＞0)解析：由题意知，动点P 满足|PA |＝|y |＋1， 即x －2＋y －2＝|y |＋1，当y ＞0时，整理得x 2－6x －10y ＋24＝0； 当y ≤0时，整理得x 2－6x －6y ＋24＝0， 变形为(x －3)2＋15－6y ＝0，此方程无轨迹．10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．答案：x 22－y 22＝1(x >2)解析：以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |. ∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2， ∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．11．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．答案：x 2＋y 2＝4解析：由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ， 易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ， ∴|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |， 又O 为F 1F 2的中点，连接OD ， ∴OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．答案：y 2＝2(x －1)解析：由题意知，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )， 则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 后两式相减并将前两式代入，得 (y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)． 当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2y ＝2， 又A ，B ，M ，F 四点共线， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1， 代入上式，得y 2＝2(x －1)；当x 1＝x 2时，M (1,0)也满足这个方程，即y 2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．[冲刺名校能力提升练]1．[2017·辽宁葫芦岛调研]在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－2,0)，G ，M 为平面上的两点且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，GM →∥AB →，则顶点C 的轨迹为( )A ．焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B ．焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C ．焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D ．焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外) 答案：B解析：设C (x ，y )(y ≠0)，则由GA →＋GB →＋GC →＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y3. 又|MA →|＝|MB →|＝|MC →|， 即M 为△ABC 的外心， 所以点M 在y 轴上， 又GM →∥AB →，则有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3.所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 32＝4＋y 29，化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0.所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点)．2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A －B －C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )A BC D答案：D解析：当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y2(0≤y ≤1)，∴y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，∴y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.3．[2017·浙江杭州模拟]坐标平面上有两个定点A ，B 和动点P ，如果直线PA ，PB 的斜率之积为定值m ，则点P 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：________.答案：①②④⑤解析：设A (a,0)，B (－a,0)，P (x ，y )， 则yx －a ·yx ＋a＝m ，即y 2＝m (x 2－a 2)．①当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆； ②当m ＞0时，点P 的轨迹为双曲线； ③当m ＜0且m ≠－1时，点P 的轨迹为椭圆； ④当m ＝0时，点P 的轨迹为直线． 故选①②④⑤.4.△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 故轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53， 因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y24＝4，得x 29＋[k x －x 0＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.6．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．(1)解：由题意可得，动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等， 所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线． 所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64＞0，即|k |＞2.x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)， 所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2， 即y ＝x 22－x 21x 1＋x 2(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A1，D，B三点共线．。
2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十四抛物线
课时达标检测(四十四）抛物线[练基础小题——强化运算能力]1．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.答案：42．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为________．解析：由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24. 答案：243．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA―→|＋|FB ―→ |＋|FC ―→|的值为________．解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫x2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案：34．直线l 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2)2，解得p ＝2.答案：22．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝________.解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.答案：13．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP|＋1|FQ|＝________.解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知直线y ＝k (x －2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP|＋1|FQ|＝1x1＋2＋1x2＋2＝错误!.联立直线与抛物线方程消去y ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP|＋1|FQ|＝错误!＝错误!＝错误!.答案：124．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为________．解析：由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y202p ，y0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p，4.由|MF |＝5得，8p ＋p 2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .答案：y 2＝4x 或y 2＝16x5．(2018·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF||BF|的值等于________．解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，。
近年届高考数学一轮复习第九章解析几何考点规范练47抛物线文新人教B版(2021学年)
2019届高考数学一轮复习第九章解析几何考点规范练47 抛物线文新人教B版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019届高考数学一轮复习第九章解析几何考点规范练47 抛物线文新人教B版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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考点规范练4７抛物线基础巩固１.(２017广西桂林一模）若抛物线y2=2px(ｐ>0)上的点A（x０,)到其焦点的距离是点A 到ｙ轴距离的3倍,则p等于()A。
ﻩB。
1Ｃ.Ｄ。
2２。
若抛物线y=-4x2上的一点Ｍ到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()Ａ.—B.-C.ﻩD.３。
已知过抛物线ｙ2＝4ｘ的焦点作直线ｌ交抛物线于A,B两点,若线段ＡB中点的横坐标为３,则|AB|等于()A。
2ﻩB。
4C.6 D。
8４．已知抛物线y2=8x与双曲线—ｙ２=1的一个交点为M，Ｆ为抛物线的焦点,若|MF|=５，则该双曲线的渐近线方程为（）Ａ.5x±3y＝0ﻩB.３x±５y=0D．5ｘ±4ｙ=0５．(201７河北张家口4月模拟）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AＢ｜=6,则线段ＡB的中点M的横坐标为()A.２ﻩB。
4C。
５ D.66。
(2017河南洛阳一模)已知直线y=k(x＋2）（k〉０）与抛物线C:ｙ2=8x相交于Ａ,Ｂ两点,F为抛物线C的焦点,若|ＦＡ|=2｜FB｜,则点Ａ到抛物线的准线的距离为(）A。
6ﻩB。
５Ｃ.4ﻩＤ.37。
若抛物线ｙ2＝4x上的点M到焦点的距离为１0,则点M到y轴的距离是．８.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+｜BD｜的最小值为.９。
人教B版高考数学一轮总复习课后习题 第九章 平面解析几何 课时规范练45
课时规范练45《素养分级练》P323基础巩固组1.(辽宁大连模拟)抛物线y=14x2的焦点到准线的距离为( )A.18B.14C.1D.2答案:D解析:y=14x2⇒x2=4y⇒p=2,焦点到准线的距离是p=2.2.(全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )A.2B.2√2C.3D.3√2答案:B解析:设点A(x A,y A),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=x A+1,又|AF|=|BF|,所以x A+1=2,即x A=1,所以y A2=4.所以|AB|=√(x A-3)2+y A2=2√2.3.(山东烟台一模)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2√2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=-12B.x=-1C.x=-2D.x=-4答案:B解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F p2,0. 由y2=16p,可得y=±4√p.不妨令P(8,4√p),则S△OFP=12×p2×4√p=p√p=2√2,解得p=2.则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为(2,2√2),焦点为F,则( )A.点M到焦点的距离为3B.直线MF与F与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0答案:AC解析:由题意知(2√2)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线到焦点的距离等于到准线的距离为2-(-1)=3,故A正确;由焦点F(1,0)知直线MF不与N中点为P,过M,N,P作准线的垂线,垂足为M',N',P',易知PP'=MM'+NN'2=MF+NF2=MN2,故以弦MN为直径的圆与C的准线相切,故C正确;由2-2×2√2+1≠0知点M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.故选AC.5.已知动点C到点F(0,-2)比到直线y=1的距离大1,动点C的轨迹为曲线W,点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线W上两点,若y1+y2=-8,则|AB|的最大值为( )A.10B.14C.12D.16答案:C解析:由题意可知,动点C到点F(0,-2)与到直线y=2的距离相等,曲线W 是以点F为焦点的双曲线,方程为x2=-8y.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=p-(y1+y2),又y1+y2=-8,所以|AF|+|BF|=12.因为|AF|+|BF|≥|AB|,当且仅当A,F,B三点共线时,等号成立,即|AB|≤12,所以|AB|的最大值为12.6.若三个点M(3,2√6),N(2,2√3),Q(3,-2√6)中恰有两个点在抛物线y2=2px上,则该抛物线的方程为.答案:y2=8(3,2√6)在抛物线上,则Q(3,-2√6)一定也在y2=2px上,∴点M,点Q在抛物线上,点N(2,2√3)不在抛物线上,∴6p=24,4p≠12,解得p=4,∴抛物线的方程为y2=8x.7.(河北沧州二模)已知抛物线C:y 2=4F,NF.若|MF|=√3|NF|,则直线AB 的斜率为 . 答案:√3解析:如图,由题意得|AF|=|AM|,|BF|=|BN|,所以∠AMF=∠AFM=∠MFO,∠BNF=∠BFN=∠NFO.因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π,所以∠MFO+∠NFO=π2,所以MF ⊥NF.又|MF|=√3|NF|,所以∠NMF=π6,所以∠MFO=∠AFM=π3,故∠AFx=π3,所以直线AB 的斜率为tan π3=√3.8.(新高考Ⅰ,14)已知O 为坐标原点,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 答案:x=-32解析:∵PF ⊥x 轴,∴x P =x F =p2,将x P =p2代入y 2=2px,得y=±p.不妨设点P 在x 轴的上方,则P (p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO ∽△QFP, ∴|OF ||PF |=|PF ||QF |,即p 2p=p6,解得p=3.故C 的准线方程为x=-32.综合提升组9.(新高考Ⅱ,10)已知O 为坐标原点,过抛物线C:y 2=2p(p,0),若|AF|=|AM|,则( ) A.直线AB 的斜率为2√6 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180° 答案:ACD解析:选项A,由题意知,点A 为FM 的中点,则x A =p2+p 2=34p,所以y A 2=2px A =2p·34p=32p 2(y A >0).所以y A =√62p,故k AB =√62p 34p -p2=2√6,故选项A 正确;选项B,由斜率为2√6可得直线AB 的方程为x=2√6y+p2,联立抛物线方程得y 2-√6py-p 2=0,设B(x B ,y B ),则√62p+y B =√66p,则y B =-√6p3,代入抛物线方程得(-√6p3)2=2p·x B ,解得x B =p3.所以|OB|=x B2+y B 2=p 29+2p 23=7p 29≠p 24,故选项B 错误;选项C,|AB|=34p+p 3+p=2512p>2p=4|OF|,故选项C 正确; 选项D,由选项A,B 知,A34p,√62p ,Bp 3,-√63p ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34p,√62p ·p 3,-√63p =p 24-p 2=-34p 2<0,所以∠AOB 为钝角.又MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-p 4,√62p ·-2p3,-√63p =p 26-p 2=-56p 2<0,所以∠AMB 为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°. 故选项D 正确.故选ACD.10.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点为F,O 为坐标原点,A(t,1)是抛物线第一象限上的点,|AF|=5,直线AF 与抛物线的另一个交点为B,则S △AOB= .答案:40解析:∵|AF|=1+p2=5,则p=8,∴抛物线方程为x 2=16y.把A(t,1)代入抛物线方程得t 2=16且t>0,则t=4. ∵A(4,1),F(0,4),则直线AF 的斜率k=1-44-0=-34,∴直线AF 的方程为y=-34x+4,即3x+4y-16=0.联立{3x +4y -16=0,x 2=16y ,解得{x =4,y =1或{x =-16,y =16,即B(-16,16).则|AB|=√(-16-4)2+(16-1)2=25,点O 到直线AF:3x+4y-16=0的距离d=|-16|√32+42=165,∴S △AOB =12|AB|×d=40.11.已知抛物线y=14x 2的焦点为F,P 为抛物线上一动点,点Q(1,1),当△PQF的周长最小时,点P 的坐标为 . 答案:1,14解析:如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过点P 作PH ⊥l 于点H,过点Q 作QN ⊥l 于点N,则|PF|=|PH|,F(0,1),|FQ|=1,|PF|+|PQ|=|PQ|+|PH|,易知当Q,P,H 三点共线时,|PQ|+|PH|最小,且最小值为1+1=2,所以△PQF 周长的最小值为3,此时P 1,14.创新应用组12.用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥,则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分,如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB,CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,过CD 作平行于PA 的平面α,交母线PB 于点E,则平面α与圆锥侧面的交线为抛物线,其焦点到准线的距离为( )A.12B.√2C.√22D.1答案:B解析:由题意OB=OP=OC=2,E 是母线PB 的中点,所以OE=√2.在平面CDE 内建立平面直角坐标系,如图所示,可得C(-√2,2).设抛物线的方程为y 2=mx,将C 点坐标代入可得4=-√2m,所以m=-2√2,所以抛物线的方程为y 2=-2√2x.所以焦点坐标为-√22,0,准线方程为x=√22, 所以焦点到其准线的距离为√2.。
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课时达标检测（四十五） 抛 物 线[小题对点练——点点落实]对点练(一) 抛物线的定义及其应用1．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．3B ．4C ．7D ．13解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.3．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 解析：选A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22.4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8，x ＝4.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为12×8×8＝32.5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2 C.17－1D.17－2解析：选C 由抛物线定义可知，点P 到准线的距离可转化为其到焦点F 的距离，即求|PQ |＋|PF |的最小值．设圆的圆心为点C ，因为|PQ |≥|PC |－1，所以|PQ |＋|PF |≥|PC |－1＋|PF |≥|FC |－1＝17－1，故选C.6．抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为p 2，则p2＝1，解得p＝2.答案：27．(2018·河南三门峡模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线交抛物线于A ，B 两点，||FB |－|FA ||＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线为x ＝－1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，可得x 2－6x ＋1＝0，解得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，由抛物线的定义可得|FA |＝x 1＋1＝4＋22，|FB |＝x 2＋1＝4－22，则||FB |－|FA ||＝4 2.答案：4 2对点练(二) 抛物线的标准方程及性质1．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2)2，解得p＝2.2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA ―→与x 轴正方向的夹角为60°，则△OAF 的面积为( )A.32B ．2C. 3 D ．1解析：选C 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m,2＋m ＝2m ，m ＝2，所以|AD |＝23，所以S △OAF ＝12×1×23＝ 3.3．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点M 的坐标为(3,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝2x 或y 2＝4x B ．y 2＝4x 或y 2＝8x C ．y 2＝6x 或y 2＝8xD ．y 2＝2x 或y 2＝8x解析：选B 由题可得直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程C ：y 2＝2px (p >0)联立，得k 2x 2－k 2px －2px ＋k 2p24＝0.∵AB 的中点为M (3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋p k 2＝3，2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得k ＝1或k ＝2，∴p ＝2或p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝8x .4．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选B 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则点M (2，±2p )，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.∵点M到该抛物线焦点的距离为3，∴2＋p2＝3，解得p ＝2.∴|OM |＝4＋8＝2 3.5．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意知，点P (10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p ×(－4)，2p ＝25，即抛物线方程为x 2＝－25y . ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6、－2、2、6.由图知，AB 是最长的支柱之一，点B 的坐标为(2，y B )，代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425，∴|AB |＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．答案：3.846．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6. 答案：67．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，则F 1(－2a,0)，F 2(2a,0)．抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax ，得x ＝3a (x ＝－a3舍去)，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案：x ＝－2[大题综合练——迁移贯通]1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43.∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －，y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.2．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 故λ的值为0或2.3.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p2y 1y 3y 1＋y3y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．。