数列求通项公式及求和种方法

数列专题 1：根据递推关系求数列的通项公式
根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型
一、 S n 是数列 { a n } 的前 n 项的和
型一：
a n
S 1
(n 1 )
S n
S
n 1
(n 2 )
【方法】：
“ S n S n 1 ”代入消元消 a n 。

【注意】 漏检验 n 的值 (如 n
1
的情况
【例 1】 .（1）已知正数数列 { a n } 的前 n 项的和为 S n ，且对任
意的正整数 n 满足 2 S n a n 1，求数列 { a n } 的通项公式。

（ 2 ）数 列 { a n } 中 ， a 1 1 对 所有 的 正整数 n 都 有 a a a a 2 n { a } 的通项公式
1 2 3 n ，求数列
n 【作业一】
a
3a
2
n 1
a
n
*
1－ 1.数列
a
n
满足
2 3 a
3
( n
N )
1
3
n
3
，求数
列 a n 的通项公式．
（二） . 累加、累乘
型如 a n
a
n 1
f (n) ,
a n
f (n)
a
n 1
型一： a n a n 1 f (n) ，用累加法求通项公式（推导等差
数列通项公式的方法）
【方法】
a n
a
n 1
f (n) ，
a n 1
a
n 2
f (n 1)，
⋯⋯，
a 2 a 1 f (2) n 2 ，
从而 a n
a 1 f (n) f (n 1)
f (2) ，检验 n
1的情况
型二： a n
f (n) ，用累乘法求通项公式（推导等比数列通
a
n 1
项公式的方法）
a n
a
n 1
a 2 f (n) f (n 1)
f (2)
【方法】 n 2 ， a
n 1
a
a
n 2
1
即 a n
f (n) f (n 1)
f (2) ，检验 n 1的情况
a
1
【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有 n 1 个等式相加（相乘） .
【例 2】. (1) 已知 a 1
1 a n
a
n 1
1 (n 2)
a
2
，
n n 2 1 ，求 n
.
（2）已知数列
a
n
满足
a
n 1
a n ，且 a
1
2
，求 a n .
n 2
3
【 例 3】 . （ 2009
广 东 高 考 文 数 ） 在 数 列 { a n }
中 ，
a 1 1,a n 1 (1
1
)a n n
1 b n
a n
{ b }
n n ，求数列
的通项
公式
n 2
.设
n
（三） . 待定系数法 ?
a
ca
p
（ c , 为p 非零常数 ,
c1 , p 1
n 1
n
）
【 方 法
】 构 造 a
n 1 x c(a n x) ， 即 a
n 1
ca n (c 1)x ，故 (c 1)x p ， 即 { a n p } 为等比数
c 1
列
【例 4】. a 1 1， a n 1 2a n 3 ，求数列 { a n } 的通项公式。

( 四). 倒数法
ka n a n 1
ca n
p
( k, p,c 为非零常数 )
1 p 1 c
【方法】两边取倒数，得a k a k
, 转化为待定系
n 1 n
数法求解
【例 5】. 已知数列{ a }
的首项为
a1 3
，
a
n 1
3a n
1
，
5 2a n
n
n 1,2, ，求{ a
n
}
的通项公式
数列专题2：数列求和
题组一分组转化求和
1.数列 a1＋2，⋯，a k＋2k，⋯，a10＋20 共有十项，且其和
为240，则a1＋⋯＋ a k＋⋯＋ a10 之值为( )
A．31 B．120 C．130 D．185
练习 1．已知数列 { a n} 的通项公式是 a n＝2n－1
n ，其前 n 2
321
项和 S n＝64，则项数 n 等于( )
A．13 B．10 C．9 D．6
题组二裂项相消求和
2.设函数 f(x)＝x m＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则数列
1 *
{ f(n)}( n∈N )的前 n 项和是( ) n n＋2 n n＋1
A.
n＋1 B.
n＋1
C.
n－1 D. n
练习 2. 数列 a ＝ 1 ，其前 n 项之和为9
，则在平面
n n(n＋1) 10
直角坐标系中，直线 (n＋1)x＋y＋n＝0 在 y 轴上的截距为 ( )
A．－10 B．－ 9 C．10 D．9
题组三错位相减法求和
1 2 3 n
＝＋ 2 3 n
3.求和： S n a a ＋a＋⋯＋a .
练习3(2010·昌平模拟 )设数列 { a n} 满足 a1＋ 3a2＋ 32a3
＋⋯＋ 3n－1a n＝n
3，n∈N* .
(1)求数列 { a n} 的通项公式；
n
(2)设 b n＝a n，求数列{ b
n} 的前 n 项和 S n.。