2024届高考数学一轮复习+第七章《立体几何与空间向量》第一节+第2课时+球及其表面积与体积+课件
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方法感悟补形求心的常用模型（1）有两个面是共直角边的三棱锥，可补形成棱柱；（2）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都可补形成正方体；（3）共顶点的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥分别可补形成长方体和正方体；（4）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体.
C
A. B. C. D.
[解析] 如图所示， ， ，则 ，则 ， ，即椭圆的长半轴长 ，而椭圆的短轴长 ，即 ， ，∴离心率 .
[解析] 圆柱的体积 ，设球的半径为 ，则 ,解得 ，则该钢球的表面积 .
考点二 球的接、切问题
角度1 定义法
例2
（1） （2022安徽宣城期末）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积是( )
D
A. B. C. D.
角度3 截面法
例4 （2020全国Ⅲ，15，5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ ___.
[解析] 圆锥内的球半径最大时的轴截面如图所示，
其中 ， 为切点，球心为 ，设其半径为 ， ， ， . ， ，又 ， ，即 ，解得 .∴该圆锥内半径最大的球的体积 .
√
2. （2022广东汕尾期末）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 设正方体外接球的半径为 ，则 ,得 ,所以球的表面积为 ,故选B.
3. （2022湖北武汉月考）如图，在圆柱 内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱 的体积为 ，球 的体积为 ，则 的值是__.
（2） 若半径为1的球的内接正三棱柱的侧面为正方形，则该正三棱柱的体积为_____，表面积为_ ______.
[解析] 如图，记正三棱柱为三棱柱 ， 为外接球的球心， 为底面 的重心，连接 ，则 底面 ，连接 ， .设正三棱柱的底面边长为 ，则由题意知， ，即 ，得 ，故正三棱柱的体积为
第一节 空间几何体及其表面积与体积
第2课时 球及其表面积与体积
必备知识·整合
〔知识梳理〕
1.球的表面积、体积公式
（1）球的表面积公式： ______；
（2）球的体积公式： _ _____.
2.与球切、接有关的几个结论
（1）设正方体的棱长为 ，则：①该正方体的外接球的半径为_ ___，内切球半径为__；②若球与该正方体的各棱相切，则球的半径为 .
（2） （2022河南安阳期末）如图，过球 的一条半径 的中点 ，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为 ，则球 的体积是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设球 的半径为 ，则 ，解得 （负值舍去），∴球 的体积 .
方法感悟计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径，要注意把握表面积公式 和体积公式 中系数的特征和半径次数的区别，必要时需逆用表面积公式和体积公式得到球的半径.
C
A. B. C. D.
[解析] 将三棱锥 补成长方体 ，如图所示.
设 ， ， ，则 ， ， ，上述三个等式相加得
，所以该长方体的体对角线长为 ，则其外接球的半径 ，因此球的体积为 ，故选C.
5. （2022江苏南通模拟）如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上、下底面相切，一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截面是椭圆，则该椭圆的离心率为( )
迁移应用
1. （2022黑龙江大庆期末）若球的最大截面圆的面积扩大为原来的2倍，则球的体积扩大为原来的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
C
[解析] 若球的最大截面圆的面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的 倍，则球的体积扩大为原来的 倍.
2. （2022湖北荆州期中）把一个底面半径为 ，高为 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损耗），则该钢球的表面积为_____ .
[解析] 设球的半径为 ,则 .
4. （2022辽宁二模）某同学在实践课上制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的面积为 ，则该球的半径是___.
6
[解析] 设球心为 ，作出过球心的截面图如图所示，则 .由截面圆的面积为 ，得 ， ，
（2）长方体的共顶点的三条棱长分别为 , , ,外接球的半径为 ,则 ______________.
（3）棱长为 的正四面体的外接球的半径为_____，内切球的半径为 ，外接球的半径与内切球的半径之比为 .
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.
（1） 直径为1的球的表面积是 . ( )
×
（2） 两个球的半径之比为 ，则其体积之比为 .( )
×
（3） 球心与不经过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面.( )
√
（4） 球的表面积是它的最大截面圆面积的4倍.( )
[解析] 在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，则 ，所以 ，由 平面 ，得 ，又 ，所以 平面 ，所以 ，所以 为直角三
角形，又 为直角三角形，所以 是外接球的直径，取 为 的中点，即为球心，又 ， ，所以 ，所以外接球的半径为 ，所以球 的表面积 .
，表面积为 .
方法感悟由几何体外接球的定义可知，球心到几何体的各顶点的距离相等.常见的两种情况：（1）若四面体的两个面是有公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点；（2）直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处.
角度2 补形法
例3 （2022广东梅州一模）已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，点 是 的中点，且 ，则球 的表面积为_ ___.
[解析] 由 ， ，可得 ，所以 ，连接 ，由点 是 的中点，且 ，可得 ，又 ， ，所以 ，所以 ，又 且 ， 平面 ，所以 平面 ，以 为底面， 为侧棱将三棱锥补成一个直三棱柱，
如图所示，则三棱锥 的外接球即为该三棱柱的外接球，球心 到底面 的距离 ，由正弦定理，可得 的外接圆的半径 ，所以球 的半径 ，所以球 的表面积 .
Bห้องสมุดไป่ตู้
A. B. C. D.
[解析] 设球的半径为 ，直角圆锥的底面半径为 ，母线为 ，如图，则 ，所以直角圆锥的侧面积为 ，
可得 ， ，圆锥的高 ，由 ，得 ，所以球 的体积为 .
4. （2021福建漳州名校联考）在三棱锥 中， ， ， ，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( )
球的半径 .
关键能力·突破
考点一 球的表面积与体积
例1
（1） （2022河北保定一模）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 设球的半径为 ，依题意圆柱的底面半径也是 ，高是 ，则圆柱的侧面积为 ，球的表面积为 ，其比为 .
方法感悟通过作截面，解决与球有关的切、接问题,即将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思路如下:
迁移应用
3. （2022山东聊城三模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 ，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如图所示， ， ，则 ，则 ， ，即椭圆的长半轴长 ，而椭圆的短轴长 ，即 ， ，∴离心率 .
[解析] 圆柱的体积 ，设球的半径为 ，则 ,解得 ，则该钢球的表面积 .
考点二 球的接、切问题
角度1 定义法
例2
（1） （2022安徽宣城期末）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积是( )
D
A. B. C. D.
角度3 截面法
例4 （2020全国Ⅲ，15，5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ ___.
[解析] 圆锥内的球半径最大时的轴截面如图所示，
其中 ， 为切点，球心为 ，设其半径为 ， ， ， . ， ，又 ， ，即 ，解得 .∴该圆锥内半径最大的球的体积 .
√
2. （2022广东汕尾期末）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 设正方体外接球的半径为 ，则 ,得 ,所以球的表面积为 ,故选B.
3. （2022湖北武汉月考）如图，在圆柱 内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱 的体积为 ，球 的体积为 ，则 的值是__.
（2） 若半径为1的球的内接正三棱柱的侧面为正方形，则该正三棱柱的体积为_____，表面积为_ ______.
[解析] 如图，记正三棱柱为三棱柱 ， 为外接球的球心， 为底面 的重心，连接 ，则 底面 ，连接 ， .设正三棱柱的底面边长为 ，则由题意知， ，即 ，得 ，故正三棱柱的体积为
第一节 空间几何体及其表面积与体积
第2课时 球及其表面积与体积
必备知识·整合
〔知识梳理〕
1.球的表面积、体积公式
（1）球的表面积公式： ______；
（2）球的体积公式： _ _____.
2.与球切、接有关的几个结论
（1）设正方体的棱长为 ，则：①该正方体的外接球的半径为_ ___，内切球半径为__；②若球与该正方体的各棱相切，则球的半径为 .
（2） （2022河南安阳期末）如图，过球 的一条半径 的中点 ，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为 ，则球 的体积是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设球 的半径为 ，则 ，解得 （负值舍去），∴球 的体积 .
方法感悟计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径，要注意把握表面积公式 和体积公式 中系数的特征和半径次数的区别，必要时需逆用表面积公式和体积公式得到球的半径.
C
A. B. C. D.
[解析] 将三棱锥 补成长方体 ，如图所示.
设 ， ， ，则 ， ， ，上述三个等式相加得
，所以该长方体的体对角线长为 ，则其外接球的半径 ，因此球的体积为 ，故选C.
5. （2022江苏南通模拟）如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上、下底面相切，一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截面是椭圆，则该椭圆的离心率为( )
迁移应用
1. （2022黑龙江大庆期末）若球的最大截面圆的面积扩大为原来的2倍，则球的体积扩大为原来的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
C
[解析] 若球的最大截面圆的面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的 倍，则球的体积扩大为原来的 倍.
2. （2022湖北荆州期中）把一个底面半径为 ，高为 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损耗），则该钢球的表面积为_____ .
[解析] 设球的半径为 ,则 .
4. （2022辽宁二模）某同学在实践课上制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的面积为 ，则该球的半径是___.
6
[解析] 设球心为 ，作出过球心的截面图如图所示，则 .由截面圆的面积为 ，得 ， ，
（2）长方体的共顶点的三条棱长分别为 , , ,外接球的半径为 ,则 ______________.
（3）棱长为 的正四面体的外接球的半径为_____，内切球的半径为 ，外接球的半径与内切球的半径之比为 .
〔课前自测〕
1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.
（1） 直径为1的球的表面积是 . ( )
×
（2） 两个球的半径之比为 ，则其体积之比为 .( )
×
（3） 球心与不经过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面.( )
√
（4） 球的表面积是它的最大截面圆面积的4倍.( )
[解析] 在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，则 ，所以 ，由 平面 ，得 ，又 ，所以 平面 ，所以 ，所以 为直角三
角形，又 为直角三角形，所以 是外接球的直径，取 为 的中点，即为球心，又 ， ，所以 ，所以外接球的半径为 ，所以球 的表面积 .
，表面积为 .
方法感悟由几何体外接球的定义可知，球心到几何体的各顶点的距离相等.常见的两种情况：（1）若四面体的两个面是有公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点；（2）直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处.
角度2 补形法
例3 （2022广东梅州一模）已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，点 是 的中点，且 ，则球 的表面积为_ ___.
[解析] 由 ， ，可得 ，所以 ，连接 ，由点 是 的中点，且 ，可得 ，又 ， ，所以 ，所以 ，又 且 ， 平面 ，所以 平面 ，以 为底面， 为侧棱将三棱锥补成一个直三棱柱，
如图所示，则三棱锥 的外接球即为该三棱柱的外接球，球心 到底面 的距离 ，由正弦定理，可得 的外接圆的半径 ，所以球 的半径 ，所以球 的表面积 .
Bห้องสมุดไป่ตู้
A. B. C. D.
[解析] 设球的半径为 ，直角圆锥的底面半径为 ，母线为 ，如图，则 ，所以直角圆锥的侧面积为 ，
可得 ， ，圆锥的高 ，由 ，得 ，所以球 的体积为 .
4. （2021福建漳州名校联考）在三棱锥 中， ， ， ，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为( )
球的半径 .
关键能力·突破
考点一 球的表面积与体积
例1
（1） （2022河北保定一模）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 设球的半径为 ，依题意圆柱的底面半径也是 ，高是 ，则圆柱的侧面积为 ，球的表面积为 ，其比为 .
方法感悟通过作截面，解决与球有关的切、接问题,即将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思路如下:
迁移应用
3. （2022山东聊城三模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 ，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为( )