数字信号处理-第五章

系 统 函 数
：
H (z) n M 0h (n )z n Y X ( (z z ) ) b 0 b 1 z 1 b 2 z 2 b M z M
单位脉冲响应的值等于差分方程系数：
h
h(n)=bn
n=0,1,·····,M
33
FIR数字滤波器的特点：
系统函数：
N1
H(z) h(n)zn n0
有N-1个零点分布于z平面 z=0处 是N-1阶极点
h
26
还可以如下式这样进行分解： H (z)1 1 0 0..6 4z z 1 11 1 0 0..5 3z z 1 1H 3(z)H 4(z)
h
27
级联型结构的特点：
调整某一路的分子系数能单独调整滤波器的一组 零点，而不影响其它零极点； 调整某一路的分母系数能单独调整滤波器的一组 极点，而不影响其它零极点；便于调整滤波器频 率响应性能
直接型
h
38
将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 按照上式画出它的级联型结构如图所示。
级联型
h
39
5.5 线性相位网络结构
FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，0 n N 1 且满足：
偶对称： h (n ) h (N 1 n ) 或奇对称 h (n ) h (N 1 n ) ： 即对称中心在 (N-1) / 2处 则这种FIR滤波器具有严格线性相位。
bi zi
i0 N 1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
h
3
信号流图由基本支路构成
1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的 符号表示增益（缺省为1）
2.输出节点变量等于输入节点变量乘以增益
3.输出节点有多个输入支路时，输出节点变量等于所有输入节点变量之和
6
已知信号流图求系统函数
方法1.写出节点方程，联立求解。（适用于简单 的系统） 方法2.梅森公式（适用于各种系统） 参考资料
h
7
按照梅森公式, 系统函数公式为
Tk k
H (z) k
(7.2.1)
式中，Δ称为流图特Байду номын сангаас式，其计算公式如下：
1 L i L 'iL 'j L 'i 'L ''jL 'k ' ...(7.2.2)
y(n )a(n y 1 )x (n )
其单位脉冲响应为 h(n)=anu(n)。
h
13
无限长脉冲响应（IIR）网络结构的特点：
1、含有反馈支路（输出不仅与输入有关，而且与输出的反馈有关）； 2、单位脉冲响应是无限长的
M
N
差分方程： y(n) bi x(n i) ak y(n k)
i0
与k 条前向通路相接触的环路外，余下子图的特征式。
h
8
例 用梅森公式写出下面系统的系统函数H(z)
x(n)
b 0 b1
w′
z－1 w
2
2
z－1 w 1
－a1
b2
－a2
y(n)
h
9
b 0 b1
x(n)
w′
z－1 w
2
2
z－1 w 1
－a1
b2
y(n)
－a2
该流图有两个环路：
一个是 w′2→w2→w′2
试画出它的并联型结构图。
h
29
H(z)101.1z01.7z01 .3z2
解 首先将系统函数写成下式:
H(z)z2z(z0.1z0.7)0.3 H(z) z(z0.7)
(z0.6)(z0.5)
h
30
将H(z)展开成 部分分式:
H (z)
z 0.7
BC
z (z 0.6)(z 0.5) z 0.6 z 0.5
由系统函数画信号流图，注意环路增益
h
22
H(z)1854zz11
11z2 3z2
2z3 1z3
448
H (z)分 分 子 母 多 多 项 项 式 式 反 前 馈 向 回 通 路 路
h
23
直接型结构的特点
系数a k ，b k 对滤波器的性能控制作用不明显
极点对系数的变化过于灵敏（调整一个系数，多个极点 的位置都会发生变换），易出现不稳定或较大误差
h
11
FIR网络中不存在输出对输入的反馈支路，因 此差分方程用下式描述：
M
y(n) bi x(ni) i0
其单位脉冲响应h(n)是有限长的，h(n)表示为
h(n)b0n
0nM 其它 n
h
12
IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路， 信号流图中存在反馈环路。 这类网络的单位脉冲响应是无限长的。 例：一阶IIR网络的差分方程为
i
i,j
i,j,k
L i 表示流图中出现的所有环路的环路增益
i
L
' i
L
'
j
表示流图中两两互不接触的环路的环路增益之乘积
i, j
L'i' L''j L'k' 表示流图中三个互不接触的环路的环路增益之乘积
i, j,k
Tk
表示流图中从输入节点到输出节点的第k条前向通路的增益
k 表示流图中与第k条前向通路不接触的流图特征式，它是除去
5.4.1 FIR直接型网络结构
假设单位脉冲响应h(n)的长度是N，它的系统函数和差分方
程用下式表示：
N 1
H (z) h(n)zn
n0
N 1
y(n) h(m)x(n m)
m0
h
35
转置定理：
原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出 y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。
h
(为了保持系统稳定，所有极点应在单位圆内)
运算的累积误差较大(误差通过反馈进行积累)
h
24
5.3.2 级联型（串联型）网络结构
将系统函数分子分母分别因式分解，分解成简单的一阶或者 二阶的形式，这些简单分式用直接型结构实现，然后级联形 成级联型结构的系统
H(z)1100.7 .1zz 11 00..13zz2 2 2
36
N1
差分方程: y(n) h(m)x(nm) m0
h
37
5.4.2 FIR级联型网络结构 将系统函数因式分解，如果有虚根可以将共轭成对的根放在 一起，形成具有实系数的二阶网络。
例 设FIR网络系统函数如下式： H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3
画出它的直接型结构和级联型结构图。
k 0
1）系统的单位冲击响应h(n)无限长
2）系统函数H(z)在有限z平面（ 0 z ）上有极点存在
3）存在输出到输入的反馈（流图中有环路），递归型结构
基本网络结构有三种：直接型，级h联型（串联型），并联型.
15
5.3 无限长脉冲响应（IIR）的基本网络结构
5.3.1 直接型网络结构
将N阶差分方程重写如下：
k 1
M
bizi
系统函数：H(z)
i0 N
h(n)zn
1 akzk n0
k1
h
14
IIR数字滤波器的特点：
M
系统函数：H(z)Y(z) X(z)
bkzk
k0 N 1 akzk
k1
N
M
差 分 方 程 ： y ( n ) a k y ( n k ) b k x ( n k )
k 1
第三条是x(n)→w′2→w2→w1→y(n)，它的增益是T3=b2z-2。
流图中的两个环路均与所有的前向通路相接触，因此对应于三条
前向通路的Δ1=1，Δ2=1，Δ3=1。 h
10
数字系统根据其单位脉冲响应h(n)的长度分成两类： FIR ( Finite Impulse Response有限脉冲响应) IIR (Infinite Impulse Response无限脉冲响应)
10.3z1 10.4z1 H(z) 10.6z1 10.5z1
1100..63zz11 1100..45zz11 H1(z)H2(z)
h
25
10.3z1 10.4z1 H(z) 10.6z1 10.5z1
1100..63zz11 1100..45zz11 H1(z)H2(z)
Z变换
w1(n) =x(n)+aw3(n)
W1(z)=X(z)+aW3(z)
w2(n) =w1(n)
W2(z)=W1(z)
w3(n) =w2(n-1)
W3(z)=z-1W2(z)
w4(n) =b0w2(n)+b1w3(n)
W4(z)=b0W2(z)+b1W3(z)
y(n)=w4(n)
Y(zh )=W4(z)
B
H (z) (z z
0.6 ) |z0.6
z z
0.7 0.5
|z 0.6
13 11
C
H (z) (z z
0 .5) |z 0.5
z z
0.7 0.6
|z 0.5
2 11
13
2
H
(z)
1
11 0.6
z 1
1
11 0.5 z 1
h
31
并联型结构的特点：
调整某一路的分母系数可单独调整一对极点位置， 但不能单独调整零点位置（调整零点位置不如级联 型方便）
1）系统的单位脉冲响应 h(n)有限长，设N点
2）系统函数H(z)在 z 0 处收敛，有限z平面只有零点
，全部极点在 z = 0 处（因果系统）
3）无输出到输入的反馈（流图中无环路），一般为非递归 型结构
基本网络结构有三种：直接型，级联型（串联型），频率采样型
h
34
5.4 有限长脉冲响应（FIR）的基本网络结构
H1(z)W X1'((zz))
2
i0
bizi
第二部分是输出信号经过不同延时的加权和，传输函数用H2(z)表示：
H2(z)W Y2((zz))1a1z1 1a2z2
H1(z)和H2(z)成级联关系，因此
H(z) = H1(z) H2(z)=Y(z)/X(z)
h
17
将H1(z)和H2(z)交换次序， H(z)=H2(z)H1(z) 节点变量w1等于节点变量w2，即w1=w2。 前后两部分经过 延时, 对应的节点变量也相等。可将前后两部分的延时支路 合并成一个延时支路。
环路增益为-a1z-1
另一个是w′2→ w2 →w1→w′2
环路增益为-a2z-2
没有互不接触的环路，这样流图特征式为
Δ=1-(-a1z-1-a2z-2 )=1+a1z-1+a2z-2 流图中有三条前向通路：
第一条是x(n)→w′2→y(n)，
它的增益是T1=b0；
第二条是x(n)→w′2→w2→y(n)， 它的增益是T2=b1z-1；
h
4
例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1 ) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
方框图结构
流图结构
h
5
输入x(n) 称为输入节点变量，y(n)表示输出节点变量， w1(n), w2(n), w3(n)和w4(n)也是节点变量。这些节点 变量和其他节点变量之间的关系用下式表示：
第五章 时域离散系统的网络结构
h
1
1、同一系统函数H(z)，存在几种不同的实现网络结构。
2、不同的网络结构实现的滤波器的性能不同 （运算误差、稳定性等）
h
2
如果系统输入和输出服从N阶差分方程：
M
N
y(n)bix(ni)aky(nk)
i0
k1
则系统函数H(z)用下式表示：
M
H(z)
Y(z) X (z)
各并联基本节的误差互相不影响，无误差积累，故运算 误差最小
可同时对输入信号进行并行运算，故运算速度最高
h
32
5.4 有限长脉冲响应（FIR）网络结构的特点：
1、没有反馈支路（输出只与输入有关）； 2、单位脉冲响应是有限长的
差分方程：
M
y(n) b0x(n) b1x(n 1) b2x(n 2) bM x(n M ) h(k) x(n k) k 0
故称典范型。（ NM）
h
20
H (z)分 分 子 母 多 多 项 项 式 式 反 前 馈 向 回 通 路 路
各种网络结构中使用的二阶基本单元 都是直接Ⅱ型结构（典范型）
h
21
例 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
84z111z2 2z3 H(z)15z13z2 1z3
448
试画出该滤波器的直接型网络结构。 解： 根据系统函数表达式可见，流图含有四个前 向通路和三个反馈环路（相互有接触），前向通 路和反馈环路公用延时支路
（c）形式的信号流图称为IIR直接型（典范型）网络结构。
M
bi z i
H (z)
i0 N
1
ak zk
k h1
18
1、直接Ⅰ型
N
M
差分方程: y(n) aky(nk) bkx(nk)
k 1
k0
需N+M个 延时单元
h
19
2、直接Ⅱ型（典范型）
只需实现N阶滤波器所需的最少的N个延时单元，
M
N
y(n)bix(ni)aky(nk)
i0
k1
为简单起见, 假设M=N=2，差分方程为
2
2
y(n)bix(ni)aky(nk)
i0
k1
h
16
2
2
y(n)bix(ni)aky(nk)
i0
k1
等式右边第一部分是经过不同延时的输入信号再加权之和，即
b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)，这部分的传输函数用H1(z)表示：
由于在级联结构中，后面的网络的输出不会流到 前面，因此运算的累积误差比直接型小。
h
28
5.3.3 并联型网络结构
将系统函数展成部分分式，每个部分分式一般是一阶 或二阶的形式，每个部分用直接型结构实现，将这些 直接型结构并联，形成并联型结构的系统
例 设系统函数如下式： H(z)101.1z01.7z01 .3z2