高中数学-《方程与不等式》测试

高中数学-《方程与不等式》测试
一、选择题(每小题3分，满分30分)
1．( 兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋1
x2
＝0 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
答案 C
解析(x－1)(x＋2)＝1，是整式方程，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2次．
2．( 益阳)不等式2x＋1>－3 的解集在数轴上表示正确的是( )
答案 C
解析2x＋1>－3,2x>－4，x>－2，而A选项表示x≥－2，B 选项表示x<－2，D选项表示x>－1，故选C.
3．( 南通)关于x的方程mx－1＝2x的解为正实数，则m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
答案 C
解析mx－1＝2x，mx－2x＝1，(m－2)x＝1，x＝
1
m－2
>0，m
－2>0，m>2，故选C.
4．( 湘潭)一元二次方程(x－3)(x－5)＝0的两根分别为( )
A．3，－5 B．－3，－5 C．－3,5 D．3,5
答案 D
解析(x－3)(x－5)＝0，x－3＝0或x－5＝0，x＝3或x＝5.
5．( 泉州)已知一元二次方程x2－4x＋3＝0两根为x1、x2, 则x1·x2＝( )
A．4 B．3 C．－4 D．－3
答案 B
解析方程x2－4x＋3＝0，(x－1)(x－3)＝0，x1＝1，x2＝3，所以x1·x2＝3.
6．( 菏泽)某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打( )
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
答案 B
解析设折扣率为x,1200x－800≥800×5%，x≥0.7，最多7折 .
7．( 绵阳)灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15 人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15 包．请问这次采购派男女村民各多少人？( ) A．男村民3人，女村民12人
B．男村民5人，女村民10人
C．男村民6人，女村民9人
D．男村民7人，女村民8人
答案 B
解析 设派男村民x 人，女村民y 人，⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝15，2x ＋12y ＝15，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝10.
8．( 滨州)某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是( )
A ．289()1－x 2＝256
B ．256()1－x 2
＝289 C ．289(1－2x )＝256 D ．256(1－2x )＝289
答案 A
解析 第一次降价后售价为289－289x ＝289(1－x )元，第二
次降价后售价为289(1－x )－289(1－x )x ＝289(1－x )2元，
故选A.
9．( 潍坊)关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述
正确的是( )
A ．k 为任何实数，方程都没有实数根
B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
答案 B
解析 x 2＋2kx ＋k －1＝0，b 2－4ac ＝(2k )2－4(k －1)＝4k 2－4k ＋4＝(4k 2－4k ＋1)＋3＝(2k －1)2＋3≥3>0，方程有两个
不相等的实数根．
10．( 泰安)若关于x 的不等式⎩⎪⎨⎪⎧ x －m <0，7－2x ≤1的整数解共有4个，则m 的取值范围是( )
A ．6<m <7
B ．6≤m <7
C ．6≤m ≤7
D ．6<m ≤7
答案 D
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －m <0，7－2x ≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <m ，x ≥3，所以3≤x ＜m ，其整数的解有4个，为3、4、5、6，所以6<m ≤7.
二、填空题(每小题3分，满分30分)
11．( 泉州)已知方程|x |＝2，那么方程的解是____________. 答案 x 1＝2，x 2＝－2
解析 |x |＝2，绝对值等于2的数有两个，是±2.
12．( 宁波)请你写出一个满足不等式2x －1<6的正整数x 的值________．
答案 1,2,3，任一个即可．
解析 2x －1<6,2x <7，x <3.5，正整数x ＝1或2或3.
13．( 芜湖)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝7，x －3y ＝8的解是________．
答案
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－1 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝7，①x －3y ＝8，② ①＋②，得3x ＝15，x ＝5，把x ＝5代入①，得10＋3y ＝7，y ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－1.
14．( 株洲)孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，
正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为________．
答案 2
解析 把x ＝1代入方程，1－3＋c ＝0，c ＝2.
15．( 大理)不等式2x ＋6＜0的解集是________．
答案 x ＜－3
解析 2x ＋6<0,2x <－6，x <－3.
16．( 上海)如果关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0(m 为常数)有两
个相等实数根，那么m ＝________.
答案 1
解析 因为方程x 2－2x ＋m ＝0有两个相等的实数根，所以b
2－4ac ＝0，(－2)2－4m ＝0，m ＝1.
17．( 益阳)分式方程1x ＝3x －2
的解为________． 答案 x ＝－1
解析 1x ＝3x －2
，3x ＝x －2,2x ＝－2，x ＝－1，经检验，x ＝－1是方程的根．
18．( 鸡西)某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有________种购买方案． 答案 2
解析 设购买甲种运动服x 套，乙种运动服y 套，20x ＋35y
＝365,4x ＋7y ＝73，x ＝73－7y 4
，当y ＝3时，x ＝13；当y ＝7时，x ＝6，所以正整数的解有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝7，共两个，故有2种购买方案．
19．( 绵阳)在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大速度为_________．
答案 40千米∕时
解析 设该冲锋舟在静水中的速度是x 千米/时，2x ＋10
＝1.2x －10
，解之，得x ＝40.经检验：x ＝40是所列方程的根． 20．( 重庆)某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了___________朵．
答案 4380
解析 设甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x 、y 、z 盆，则⎩⎪⎨⎪⎧ 15x ＋10y ＋10z ＝2900，①25x ＋25z ＝3750，② ②÷5＋①，得20x ＋10y ＋15z ＝3650,4x ＋2y ＋3z ＝730.所以，黄花一共用24x ＋12y ＋18z ＝6(4x ＋2y ＋3z )＝730×6＝4380(朵)．
三、解答题(21～22题各9分，23题6分，24～25题各8分，满分40分)
21．(1)( 中山)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，x 2－xy －6＝0.
解 把①代入②，得x 2－x (x －3)－6＝0，
解得，x ＝2.
把x ＝2代入①，得y ＝－1.
所以，原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.
(2)( 无锡)解方程：x 2＋4x －2＝0.
解 (1)方法一：由原方程，得(x ＋2)2＝6，
x ＋2＝±6，
∴x ＝－2 ±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.
方法二：△＝b 2
－4ac ＝24，x ＝－4±242， ∴x ＝－2 ±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.
(3)( 潼南)解分式方程： x x ＋1－1x －1
＝1. 解 方程两边同乘(x ＋1)(x －1)，得
x (x －1)－(x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)，
化简，得－2x －1＝－1，解得 x ＝0.
检验：当x ＝0时(x ＋1)(x －1)≠0，
∴x ＝0是原分式方程的解．
22．(1)( 湘潭)解不等式：2(x －1)<x ＋1，并求它的非负整数解．
解 2x －2<x ＋1, 2x －x <1＋2, x <3.
它的非负整数解为0,1,2.
(2)( 毕节)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x －1≤5，①3x －22
<x ＋12，②并把解
集在数轴上表示出来．
解 解不等式①，得x ≥－1.
解不等式②，得x <3.
在数轴上表示如下：
∴原不等式组的解集为－1≤x <3.
(3)( 荆门)试确定实数a 的取值范围，使不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋13>0，
x ＋5a ＋43>43
x ＋1＋a 恰有两个整数解． 解 由x 2＋x ＋13＞0，两边同乘以6，得3x ＋2(x ＋1)＞0，解得x ＞－25
. 由x ＋5a ＋43＞43
(x ＋1)＋a ，两边同乘以3，得3x ＋5a ＋4＞4(x ＋1)＋3a ，解得x ＜2a .
∴原不等式组的解为－25
＜x ＜2a . 又∵原不等式组恰有2个整数解，∴x ＝0,1.
∴1＜2a ≤2，
∴12
＜a ≤1.
23．( 舟山)目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了
4.5小时；返回时平均速度提高了10千米/小时，比去时少用了半小时回到舟山． (1)
求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；
(2)两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：
大桥名舟山跨海杭州湾跨海
)的计算方法为：y＝ax＋b＋5，其中a(元/千米)为高速公路里程费，x(千米)为高速公路里程(不包括跨海大桥长)，b(元)为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费a.
解(1)设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s千米，由
题意得s
4
－
s
4.5
＝10.解得s＝360.
答：舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为360千米．
(2)将x＝360－48－36＝276，b＝100＋80＝180，y＝295.4，代入y＝ax＋b＋5，得295.4＝276a＋180＋5，
解得a＝0.4，
答：轿车的高速公路里程费是0.4元/千米．
24．( 永州)某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．
(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？
解(1)因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，所以，可以依次设它们的单价分别为8x,3x,2x元，于是，得8x＋3x＋2x＝130，解得x＝10.
所以，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为80元、30元
和20元．
(2)设购买篮球的数量为y 个，则购买羽毛球拍的数量为4y 副，购买乒乓球拍的数量为(80－y －4y )副，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 80y ＋30×4y ＋2080－y －4y ≤3000，①80－y －4y ≤15， ②
由不等式①，得y ≤14；由不等式②，得y ≥13， ∴不等式组的解集为13≤y ≤14.
因为y 取整数，所以y 只能取13或14.因此，一共有两个方案：
方案一，当y ＝13时，篮球购买13个，羽毛球拍购买52副，乒乓球拍购买15副；
方案二，当y ＝14时，篮球购买14个，羽毛球拍购买56副，乒乓球拍购买10副．
25．( 湖州)我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表： 养殖种类 成本(万元/
亩)
销售额(万元/亩) 甲鱼
2.4 3 桂鱼 2 2.5
(1)2010这一年共收益多少万元？ (收益＝销售额－成本)
(2)2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2010年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？
(3)已知甲鱼每亩需要饲料500kg ，桂鱼每亩需要饲料700kg.根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次载装饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结
果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg? 解 (1)2011年王大爷的收益为：20×(3－2.4)＋10×(2.5－2)＝17(万元)．
(2)设养殖甲鱼x 亩，则养殖桂鱼(30－x )亩．
由题意得2.4x ＋2(30－x )≤70，解得x ≤25.
设王大爷可获得收益为y 万元，则y ＝0.6x ＋0.5(30－x )，
即y ＝110
x ＋15. ∵函数值y 随x 的增大而增大，∴当x ＝25，可获得最大收益，30－x ＝5.
答：要获得最大收益，应养殖甲鱼25亩，养殖桂鱼5亩．
(3)设王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a (kg)，由(2)得，共需饲料为500×25＋700×5＝16000(kg)，根据题意，得16000a －160002a
＝2，解得a ＝4000(kg)． 答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4000 kg.
四、选做题
26．( 乐山)已知关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋a 2－7a －4＝
0的两根为x 1、x 2，且满足x 1x 2－3x 1－3x 2－2＝0.求(1＋4a 2－4)·a ＋2a
的值． 解 ∵关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋a 2
－7a －4＝0有两根x 1、x 2， ∴⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝21－a ，
x 1·x 2＝a 2－7a －4，
△＝4()1－a 2－4()a 2－7a －4≥0，即：a ≥－1.
∵x 1x 2－3x 1－3x 2－2＝0，即x 1x 2－3()x 1＋x 2－2＝0，
∴(a 2－7a －4)－3()2－2a －2＝0，a 2
－a －12＝0. 解得a 1＝－3，a 2＝4.
∵a ≥－1，舍去a ＝－3，∴a ＝4.
化简⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1＋4a 2－4·a ＋2a ＝a ＋2a ＋4a a －2 ＝a 2－4a a －2＋4a a －2＝a 2a a －2＝a a －2
. 当a ＝4时，原式＝4a －2＝42＝2.。