2018-2019学年高二数学苏教版选修2-3教学案：3.1 独立性检验

_3.1独立性检验
[对应学生用书
P46]
1．2×2列联表的定义
对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A 和类B ；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.这些取值可用下面的2×2列联表表示.
Ⅱ
类1
类2合计类A
a b a ＋b Ⅰ
类B c d c ＋d 合计
a ＋c
b ＋d
a ＋
b ＋
c ＋d
2．χ2统计量的求法
公式χ2＝.n (ad －bc )2
(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )3．独立性检验的概念
用统计量χ2研究两变量是否有关的方法称为独立性检验．4．独立性检验的步骤
要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：(1)提出假设H 0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
(2)根据2×2列联表及χ2公式，计算χ2的值；(3)查对临界值，作出判断．其中临界值如表所示：
P (χ2≥x 0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001χ0
0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879
10.828
表示在H0成立的情况下，事件“χ2≥x0”发生的概率．
5．变量独立性判断的依据
(1)如果χ2>10.828时，那么有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
(2)如果χ2>6.635时，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
(3)如果χ2>2.706时，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
(4)如果χ2≤2.706时，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作
出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．
1．在2×2列联表中，通常要求a，b，c，d的值均不小于5.
2．表中|ad－bc|越小，Ⅰ与Ⅱ关系越弱；|ad－bc|越大，Ⅰ与Ⅱ关系越强．同时要记准
表中a，b，c，d四个数据是交叉相乘然后再作差取绝对值，一定不要乘错．3．表中类A与类B，以及类1与类2的关系：对于对象Ⅰ来说，类A与类B是对立的，也就是说类A发生，类B一定不发生，类A不发生，则类B一定发生；同样对于对象Ⅱ来说，类1与类2的关系也是如此．
[对应学生用书P46]
2×2列联表
[例1]　在一项有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃
甜食的列联表．
[思路点拨]　在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然
后找出相应的数据，列表即可．
[精解详析]　作列联表如下：
喜欢甜食不喜欢甜食合计
男117413530
女492178670
合计609591 1 200
[一点通]　分清类别是列联表的作表关键步骤．表中排成两行两列的数据是调查得来的结果．
1．下面是2×2列联表：
y1y2合计
x1a2173
x222527
合计b46
则表中a，b的值分别为________，________.
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝54.
答案：52　54
2．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人.作出2×2列联表．
解：作列联表如下：
性格内向性格外向合计
考前心情紧张332213545
考前心情不紧张94381475
合计426594 1 020
独立性检验的应用
[例2]　下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
得病不得病合计
干净水52466518
不干净水94218312
合计146684830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；
(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．[思路点拨]　(1)根据表中的信息计算χ2的值，并根据临界值表来分析相关性的大小，对于(2)要列出2×2列联表，方法同(1)．
[精解详析]　(1)假设H0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式，得
χ2＝
≈54.21，
146×684×518×312
因为当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，
所以我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．(2)依题意得2×2列联表：
得病
不得病合计干净水55055不干净水92231合计
14
72
86
此时，χ2＝
≈5.785.
86×(5×22－50×9)2
14×72×55×31
由于5.785＞2.706，
所以我们有90%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．
两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有90%的把握肯定．
[一点通]　解决独立性检验问题的基本步骤是：①指出相关数据，作列联表；②求χ2的值；③判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的可能性大小．
3．某保健药品，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A 疾病”．经调查发现，在不使用该药品的418人中仅有18人患A 疾病，请用所学知识分析该药品对患A 疾病是否有效？
解：依题意得2×2的列联表：
患病
不患病合计使用5100105不使用18400418合计
23
500
523
要判断该药品对患A 疾病是否有效，即进行独立性检验提出假设H 0：该药品对患A 疾病没有效．
根据列联表中的数据可以求得
χ2＝
≈0.041 45<0.455，
23×500×418×105
而查表可知P (χ2≥0.455)≈0.5，故没有充分的理由认为该保健药品对预防A 疾病有效．
4．在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．实施西部开发战略是否对应届大学毕业生的选择产生了影响？
解：依题意，得2×2列联表：
志愿者
非志愿者合计开发战略公布前80920 1 000开发战略公布后
400800 1 200合计
480
1 720
2 200
提出假设H 0：实施西部开发战略的公布对应届大学毕业生的选择没有产生影响，根据列联表中的数据，可以求得
χ2＝≈205.22.
2 200×(
80×800－920×400)2480×1 720×1 000×1 200因为当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以有99.9%的所握认为西部开发战略的实施对应届大学毕业生的选择产生了影响．
独立性检验的基本思想与反证法的思想比较
反证法独立性检验
要证明结论A
要确认“两个对象有关系”
在A 不成立的前提下进行推理
假设该结论不成立，即假设结论“两个对象没有关系”成立，在该假设下计算χ2
推出矛盾意味着结论A 成立由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定可信程度上说明假设不合理
没有找到矛盾，不能对A 下任何结论，即反证法不成立
根据随机变量χ2的含义，可以通过概率P (χ2≥x 0)的大小来评价该假设不合理的程度有多大，从而得出“两个对象有
关系” 这一结论成立的可信程度有多大
[对应课时跟踪训练(十八)]　
一、填空题
1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)
解析：由χ2值可判断有关．答案：有关
2．若两个研究对象X 和Y 的列联表为：
y 1
y 2x 1515x 2
40
10
则X 与Y 之间有关系的概率约为________．
解析：因为χ2＝≈18.8，查表知(5＋15＋40＋10)×(5×10－40×15)2
(5＋15)×(40＋10)×(5＋40)×(15＋10)P (χ2≥10.828)≈0.001.
答案：99.9%
3．在吸烟与患肺病这两个对象的独立性检验的计算中，下列说法正确的是________．(填序号)
①若χ2＝6.635，则我们认为有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系．那么在100个吸烟的人中必有99人患肺病．
②从独立性检验的计算中求有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们认为如果某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病．
③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
④以上三种说法都不正确．
解析：由独立性检验的意义可知，③正确．答案：③
4．调查者询问了72名男女大学生在购买食品时是否观看营养说明得到如下2×2列联表：
看营养说明
不看营养说明
总计男大学生28836女大学生162036总计
44
28
72
从表中数据分析大学生的性别与看不看营养说明之间的关系是________．(填“有关”或“无关”)
解析：提出假设H 0：大学生的性别与看不看营养说明无关，由题目中的数据可计算χ2＝
≈8.42，因为当H 0成立时，P (χ2≥7.879)≈0.005，这里的
72×(28×20－16×8)244×28×36×36
χ2≈8.42
>7.879，所以我们有99.5%的把握认为大学生的性别与看不看营养说明有关．
答案：有关
5．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠
不冷漠合计多看电视6842110少看电视203858合计
88
80
168
则由表可知大约有________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系．
解析：由公式得χ2＝
≈11.377>10.828，所以我们有
168×(68×38－42×20)2
110×58×88×80
99.9%的把握说，多看电视与人变冷漠有关．
答案：99.9%二、解答题
6．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀
成绩较差合计兴趣浓厚的643094兴趣不浓厚的
227395合计
86
103
189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
解析：提出假设H 0：学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣无关．
由公式得χ2的值为
χ2＝
≈38.459.
189×(64×73－22×30)286×103×95×94
∵当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈38.459>10.828，∴有99.9%的把握认为学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的．
7．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下列联表.
种子灭菌
种子未灭菌
合计有黑穗病26184210无黑穗病50200250合计
76
384
460
试按照原试验目的作统计推断．
解：提出假设H 0：种子是否灭菌与有无黑穗病无关．由公式得，χ2＝≈4.804.
460×(26×200－184×50)2
210×250×76×384
由于4.804>3.841，即当H 0成立时，χ2>3.841的概率约为0.05，所以我们有95%的把握认为种子是否灭菌与有无黑穗病是有关系的．
8．为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响．
解：2×2列联表如下
合格品数
次品数合计甲在生产现场9828990甲不在生产现场
49317510合计
1 475
25
1 500
提出假设H 0：质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏无明显关系．根据χ2公式得
χ2＝≈13.097.
1 500(982×17－493×8)2990×510×1 475×25因为H 0成立时，χ2>10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈13.097>10.828，所以有99.9%的把握认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系．。