数学一轮(理科) 苏教版 江苏专用 配套同课异构多媒体实用课件 第七章 不等式(共3份打包)阶

阶段回扣练7 不等式(A 卷)

(建议用时：35分钟)

1．(2015·深圳调研)若实数a ，b 满足a ＞b ，给出下列不等关系：①|a |＞|b |；②a 3＞b 3；③1a ＜1

b ；④ab 2＞b 3.其中成立的是________(填序号)． 解析 在①，③中，当a ＝2，b ＝－3时，不等式不成立； ④中当a ＝2，b ＝0时，不等式不成立，②成立． 答案 ②

2．“|x |＜2”是“x 2－x －6＜0”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．

解析 不等式|x |＜2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2,3)，反之则不成立． 答案 充分不必要

3．(2014·徐州调研)设x ，y 满足⎩⎨⎧

2x ＋y ≥4，

x －y ≥－1，

x －2y ≤2，

则z ＝x ＋y 的最小值为________．

解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分所示，将z ＝x ＋y 变成截距式y ＝－x ＋z ，所以直线在y 轴上的截距的最大值即为z 的最大值，直线在y 轴上的截距的最小值即为z 的最小值，由图可知，当直线过A (2,0)时，截距最小，即z min ＝0＋2＝2.

答案 2

4．(2015·苏北四市调研)若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式

－cx 2＋2x －a ＞0的解集为________．

解析 由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫

－13，12知a ＜0，－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的

两个根，由韦达定理得－13＋12＝－2a ，－13×12＝c

a ，解得a ＝－12，c ＝2， ∴－cx 2＋2x －a ＞0，即2x 2－2x －12＜0， 其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)

5．若a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1

b 的最小值是________．

解析

由a ＞0，b ＞0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＋

b ＝1，a ＞0，

b ＞0.

故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1

⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4，

当且仅当a ＝b ＝1

2时上式取“＝”． 答案 4

6．(2015·无锡模拟)已知变量x ，y

满足条件⎩⎨⎧

x ≥0，

y ≤－x ＋3，

y ≥2x ，

则y x －2

的取值范围是________．

解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到

y x －2

可视为该平

面区域内的点(x ，y )与点A (2,0)连线的斜率，结合图形可知，y

x －2的取值范围是[－2,0]．

答案 [－2,0]

7．(2014·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2

＋bx －4

5a ＞0的解集为________．

解析

依题意得⎩⎨⎧

a ＜0，

b a ＝1

5，

即a ＝5b ＜0，不等式ax 2＋bx －4

5a ＞0，即5bx 2＋bx －4b

＞0(b ＜0)，5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45.因此，不等式ax 2＋bx －4

5a ＞0的解集是⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，45. 答案 ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，45

8．(2014·南京师大检测)设a ，b 均为正实数，则1a ＋1

b ＋2 ab 的最小值是________． 解析 1a ＋1

b ＋2ab ≥2 1a ·1b ＋2ab ＝2

⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

1ab ＋ab

≥4 1

ab ·ab ＝4，当且

仅当1a ＝1b 且 1ab ＝ab ，即a ＝b ＝1时等号成立，所以1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4.

答案 4

9．(2015·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为________．

解析 依题意，得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2

)，因此有3x 2

＋4xy x 2＋y

2≤4，当且

仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xy

x 2＋y 2，

故λ≥4，即λ的最小值是4. 答案 4

10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x

8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件． 解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x

8≥2800x ·x 8＝20，当且

仅当800x ＝x

8(x ＞0)， 即x ＝80时“＝”成立．

答案 80

11．(2014·苏州调研)已知f (x )＝⎩⎨⎧

x 2

＋x (x ≥0)，

－x 2＋x (x ＜0)，

则不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是

________．

解析 依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2.因此，不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是(－1,2)． 答案 (－1,2)

12．(2015·福州质量检测)已知x ，y 满足⎩⎨⎧

y ≥x ，

x ＋y ≤2，

x ≥a ，

且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是

最小值的8倍，则实数a 的值是________．

解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1,1)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值3；当平移到经过该平面区域内的点(a ，a )时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值3a ，于是有8×3a ＝3，a ＝1

8. 答案 18

13．(2014·南昌模拟)若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．

解析 依题意，函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的最小值是1，于是有|a －2|＜1，即－1＜a －2＜1,1＜a ＜3， 即实数a 的取值范围是(1,3)． 答案 (1,3)

14．(2015·徐州质量检测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是________．

解析 由函数f (x )是奇函数，且x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，得x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .