弹性力学及有限元习题参考答案(赵均海、汪梦甫)

x 2 x 2
y 2 y 2
z 2 z 2（ 2Ax 2By C）
xy xy （
yz yz （
f （ f （x，y ) 1 x，y） 2 ） y x f （ 3 x，y） Dx） y
1 1 b b c c b c cr bs r s r s r s Et 2 2 K rs (r,s i, j, m) 2 1 1 4(1 ) br cs cr cs br bs 2 2 Et E 1 18E 2 1 1 4(1 ) 35 4(1 ) 6 2
2 2 2 S2 N =XN + YN + Z N =3069.69
SN =55.4Mpa (3) 正应力 σN =lXN +mYN +nZ N =-5.2Mpa (4) 切应力
2 2 τ2 N =SN -τ N =3042.4Mpa
τN =55.2Mpa;
习题 1.3 解： （1）应力不变量： 2 − ������ 2 − ������ 2 因为 I 1 = ������x + ������������ + ������������ ； I 2 = ������y ������������ + ������������ ������������ + ������������ ������������ − ������������������ ������������ ������������ 将已知代入上式，得：I 1 = 25 MPa ，I 2 = −3250 MPa （2）求主应力： ������x − ������ ������������������ ������ ������ 由| ������������ ������ − ������ ������������������ ������������������ 即| ������������������ ������������������ | = 0 ������������ − ������ , 将已知带入，
习
题
1．1 试由下式求出应变分量，并指出物体受力的状态。 u=f1 (x,y)+Az2 +Dyz+αy-βz+a、 2 v=f2 （x,y）+Bz -Dxz-αx-γz+b、 w=f3 （x,y）-z（2Ax+2By+C）+βx+γy+c 式中 A、B、C、D，a，b，c，α，β，γ 是常数 解： （ 1）由 P16 几何方程(1.23a)得到应变分量的表达式： ɛx =
1 ， t 1 。试按平面应力问 6
解： （1）定义单元
单元定义和有关数据列于表 1 中。在表 1 中
Hale Waihona Puke Baidu
bi y j ym , ci x j xm b j ym yi , c j xm xi bm yi y j , c m xi x j
Z
1.2
2 f3 zx z E 2 f3 E zy + x y z （ 2 1 ） x 2 （ 2 1 ） y 2
已知弹性体内的某一点的应力状态为： ������������ =-75Mpa; ������������ =0Mpa; ������������=-30Mpa;������������������ =50Mpa; ������������������==75Mpa; ������������������ =80Mpa; 试求方向余弦（2，2，√ ）的微分面上的全应力SN ,正应力σN ,以及切应力τN 。 2
55 − ������ 0 40 | = 0 ， 0 0 − ������ 0 40 0 −30 − ������
展开，得：
−σ[(������ − 55)(������ + 30) − 1600] = 0 ， 化简，整理，得：������ 3 （3）主方向： l（������������ − ������) + ������������������������ + ������������������������ = 0 ������������������������ + ������(������������ − ������) + ������������������������ = 0 ������������������������ + ������������������������ + ������(������������ − ������) = 0 ������ 2 + ������2 + ������ 2 = 1 第一主方向：将������1 = −46 MPa 及个分量代入上式，有： 101l + 40������ = 0 46������ = 0 } 40������ + 16n = 0 ������ 2 + ������2 + ������ 2 = 1 ⇒ 21l + 8n = 0 } , 46������ = 0 2 2 2 ������ + ������ + ������ = 1 }
1 1 2
解： （l,m,n）=（ ， ，√ ）
2 2 2 1 1 2
(1) 先计算沿坐标轴方向的三个应力XN ,YN ,Z N 。 XN =lσx + mτyz + nτzx =44.06Mpa YN = lτxy + mσy + nτyz=-28Mpa Z N = l τzx + m τzx + nσz =-18.71Mpa (2) 计算斜面上的全应力
Y
yx y yz x y z
2 f1 2 f2 E （ ) （ 2 1 ） xy x 2
+
2 f2 2 f1 E（1 ） E （ 2B) （1 ）（1 2） y 2 （1 ）（1 2） xy
表 1 单元定义与有关数据
i
j
m
△
bi
bj
ci
cj
bm
单 ① 元 ② 号 ③ ④ 1 (0,1) 2 (1,1) 2 (1,1) 2 (1,1) 2 (1,1) 4 (0,0) 5 (1,0) 3 (2,1) 4 (0,0) 5 (1,0) 6 (2,0) 6 (2,0)
cm
-1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 -1 -1 0 1 -1 0 1
zy 2f3 E y （ 2 1 ） y 2
X
xy x xz x y z
2 f1 2 f2 E（1 ） E （ 2A) （1 ）（1 2） x 2 （1 ）（1 2） xy
+
2f 2 f2 E （ 21 ) （ 2 1 ） x xy
xy
yz zx
（ 2 ）由 P77 物理方程(5.3a)（广义胡克定律: 应变分量与应力分量之间成线性关系） ɵ= ɛx + ɛy +ɛz =
f1(x ,y ) f2(x ,y ) 2Ax 2By C + y x f1(x ,y ) x
f2(x ,y ) y
z z
0
xy 2f 2f2 E （ 21 ) y （ 2 1 ） x xy
xz 0 ， yz 0 z z
xy 2f1 2f2 E （ ) x （ 2 1 ） xy x2 xz 2f3 E x （ 2 1 ） x2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 0 0 1 0 1 1 0
(2)求各单元的刚度矩阵 从表 1 中可看出，单元①的刚度矩阵为：
K11 K K 21 K31
1
K12 K 22 K32
K13 K 23 (i 1, j 2, m 3) K33
其中子阵表达式为：
8
− 25������ 2 − 3250σ = 0 ，解得 ������1 ∶= −46 MPa , ������2 = 0 MPa ,
������3 ∶= 71 MPa
解得：{ ������ = 0 21 ������ = ± √505
l = ∓ √505
8 21 即(l1 ,������1 ,������1 ) = (∓ √505 ，0， ± √505)
同理可得， 第二主方向：(l2 ,������2 ,������2 ) = (， ，) ； ( ) ( 第三主方向： l3 ,������3 ,������3 = ， ，) . （4）主切应力： （������1 ≠ ������2 ≠ ������3 ） 习题 8.6 图 8.20 为一受集中力 P 作用的结构，设 E 为常量， v 题计算，采用三角形单元，求出节点位移。
5 17 17 1 18E 12 18 E 12 12 K K Kii K11 ij 12 5 35 17 17 35 1 12 12 12 6
1 0 18E K jj K 22 5 35 0 12 K mm 5 0 18E K33 12 35 0 1
xy xy
yz yz
E xy （ 2 1 ） E yz （ 2 1 ） E xz （ 2 1 ）
xz xz
由空间问题的平衡微分方程 P76(5.1a)（联系应力分量和体力分量的方程）
xy x xz X 0 x y z yx y yz Y 0 x y z zx z zy Z 0 x y z
已知：
x 2f1 2f2 E（1 ） E （ 2A) x （1 ）（1 2）x2 （1 ）（1 2） xy
y 2f2 2f1 E（1 ） E （ 2B) y （1 ）（1 2） y 2 （1 ）（1 2） xy
zx zx （
f （ 3 x，y） Dy ） y
由第五章空间问题 Lame 弹性常数与杨氏弹性模量 E、泊松比 、剪切弹性模量 G 的关系 P77(5.4)得到：
E E ， G （1 ）（1 2） （ 2 1 ）
f1(x ,y ) f1(x ,y ) E E = + x （1 ）（1 2） （1 ） x
f1(x ,y ) u ， x x
f2(x ,y ) v ， y y
ɛy =
ɛz =
w 2Ax 2By C ， z
f （ f （x，y ) v u 1 x，y） 2 x y y x f （ w v 3 x，y） Dx y z y f （ w u 3 x，y） Dy x z y
其中 E 为杨氏弹性模量， 为泊松比，G 为剪切弹性模量。
x 2 x 2
y 2 y =
f2(x ,y ) E E + （1 ）（1 2） （1 ） y
E E （ 2Ax 2By C） + z 2 z = （1 ）（1 2） （1 ）