基本不等式求最值的题型及解题策略

ʏ喻 芳
利用不等式求最值的实质是
a b ɤ
a +b
2
ɤa 2
+b 2
2(a ,b >0),a b ɤ
a +
b 2
2
ɤ
a 2
+b
2
2
(a ,b ɪR )的灵活应用㊂题型一:简单的和或积为定值求最值例1 (1)已知x ,y ,
z 都是正实数,若x y z =1,则(x +y )(y +z )(z +x )的最小值为( )
㊂A.2 B .4
C .6
D .8
(2)已知0<x <1,则函数f (x )=
x 3
(1-x 3
)
的最大值为㊂
(1)由x >0,y >0
,z >0,可知x +y ȡ2x y >0(
当且仅当x =y 时等号成立),y +z ȡ2y z >0(当且仅当y =z 时等号成立),x +z ȡ2x z >0(当且仅当x =z 时等号成立)㊂以上三个不等式两边同时相乘得(x +y )(y +z )(z +x )ȡ8x 2
y 2
z 2
=8(当且仅当x =y =z =1时
等号成立)
㊂应选D ㊂(2)由基本不等式得f (x )=x 3(1-x 3
)
ɤ
x 3
+1-x
3
2
2
=
14
,当且仅当x 3=1-x 3,即x =
3
1
2
时等号成立㊂故所求的最大值为1
4
㊂
感悟:基本不等式a 2+b 2
ȡ2a b (a ,b ɪ
R ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂
题型二:配凑法构造和或积为定值求最值例2 (1)已知x <5
4
,求y =4x -2+1
4x -5的最大值㊂
(2
)若x ȡ72,则f (x )=x 2
-6x +10
x -3
有( )
㊂A .
最大值52
B .最小值5
2
C .
最大值2D .
最小值2(1)
由x <5
4
,可得5-4x >0,所以y =4x -2+1
4x -5=4x -5+
14x -5+3=-5-4x +
1
5-4x
+3ɤ-2
(5-4x )ˑ
1
5-4x
+3=1,当且仅当5-4x =1
5-4x ,即x =1时等号成立,
所以y 的最大值为1
㊂(2
)由x ȡ7
2
,可得x -3>0,所以f (x )=x 2-6x +10x -3=(x -3)2
+1
x -3
=(x -3)+
1
x -3ȡ2
(x -3)ˑ
1
x -3
=2,当且仅当x -3=
1
x -3
,即x =4时等号成立,所以
f (
x )有最小值2㊂应选D ㊂感悟:形如y =a x 2
+b x +c
k x +m
的分式函数
求最值,可化为y =m g (
x )+A
g (x
)+B (A >0,B >0),这里g (x )恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值㊂
题型三:常数代换法求最值
例3 已知p ,q 为正实数,且p +q =3
,8
1 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月
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则1p +
2+1
q +1的最小值为( )㊂A.2
3
B .
53
C .7
4
D .
9
5
由p ,q 为正实数,p +q =
3,可知p +2+q +
1=6㊂所以1p +2+1q +1=1p +2+
1
q +1 ㊃p +
26+q +16 =13+16p +2q +
1+q +1p +2 ȡ13+1
6
ˑ2p +2q +
1㊃q +1p +2=23,当且仅当p +2=q +1,即p =
1,q =
2
时 = 成立㊂应选A ㊂感悟:常数代换法适用于求解条件
最值
问题㊂
题型四:消元法求最值
例4 若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2
=
z +3x y ,
则当x y
z 取最大值时,1x +12y -1z 的最大值为
㊂
正实数x ,y ,
z 满足x 2
+4y 2
=z +3x y ,则z =x 2
-3x y
+4y 2
,所以
x y z =x y
x 2-3x y +4y
2
=1x y +4y x -3ɤ1
2x y ㊃4y x -3=1
,当且仅当x =2y 时等号成立,
所以x y
z
m a x
=1
,此时x =2y ,所以z =x 2-3x y +4y 2=2y 2
㊂所以
1x +12y -1z =12y +12y -12y 2=-121
y -1
2
+
12ɤ12,所以1x +12y -1z
的最大值为1
2㊂
感悟:解决多元最值的方法是消元后利
用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围㊂
题型五:换元法求最值
例5 若正数a ,b 满足2a +b =1
,则a 2-2a +
b
2-b
的最小值是㊂
设u =2-2a ,v =2-b ,
则a =2-u
2
,b =2-v ,所以u +v =3(u >0,v >0
)㊂所以a 2-2a +b 2-b =1-1
2u
u +2-v
v
=
1u +2v -32=13(u +v )1u +2
v
-32=13㊃3+v u +2u v
-32ȡ133+2v u ㊃2u
v
-
32=1+223-32=223-12,当且仅当v 2
=
2u 2
,u +v =3,即v =6-32,u =32-3时
等号成立,所以所求的最小值为223-12㊂
感悟:换元法求最值的关键是整体换元,
利用构造的新元求最值㊂
题型六:构建不等式求最值
例6 (1)已
知正实数x ,y 满足x y =
x +y +8,则x +y 的最小值为
㊂
(2)已知x ,y ɪR +,若x +y +x y =
8,则x y 的最大值为
㊂
(1)由正实数x ,y ,
可得(x +y )2=x 2+y 2
+2x y ȡ4x y
(当且仅当x =y 时等号成立),所以x y ɤ
(x +y )24,所以x y =x +y +8ɤ
(x +y )2
4
,
即(x +y )2
-4
(x +y )-32ȡ0,解得x +y ɤ-4
(舍去)或x +y ȡ8(当且仅当x =y =4时等号成立),所以x +y 的最小值为8
㊂(2)因为正数x ,y 满足x +y +x y =8
,所以8-x y =x +y ȡ2x y ,即x y +2x y
-8ɤ0,解得0<x y ɤ2,所以x y ɤ4,当且仅当x =y =2时取等号㊂所以x y 的最大值为4
㊂感悟:利用题设条件,借助基本不等式进
行放缩,得到关于 和 或 积 的不等式,解此不等式可得 和 或 积 的最值㊂
作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心
(责任编辑 郭正华)
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