层次分析法及其在数学建模竞赛中的实际应用
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教育教学
层次分析法及其在数学建模竞赛中的实际应用
肖郑利
（天津机电职业技术学院，天津市 300131）
［摘 要］ 通过建立系统的递阶层次结构，构造两两比较判断矩阵，并进行一致性检验，计算出各个因素的组合权重，从而构造出层次分析 法模型，并将该模型应用到数学建模竞赛的队员选拔过程中。该模型能使队员的选拔过程更加客观、准确、系统、有效。 ［关键词］ 数学建模；选拔；层次分析法；权重；矩阵
m
m
m
Σ Σ Σ 因素的组合权系数为 aiωi1， aiωi2，…， aiωin，按照从高到低的
i= 1
i= 1
i= 1
顺序一层层求下去，直到求出所有层所有因素的权系数为止。最后根据
最低层即方案层权系数的分布给出一个关于各个方案优先程度的排序。
记 Bk 为第 k 层次上所有因素相对于上一层相关因素的权向量按列 组成的矩阵，则第 k 层的组合权系数向量为 Wk= B·k Bk- 1……B·2 B1，其中 B1= （1）。
[1] T.L.Saaty.The Analytic Hierarchy Process [M].McGraw- Hill International Book Company,1980. [2] 胡运权.运筹学教程(第二版)[M].北京:清华大学出版社,2003. [3] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].高等教育出版社,2003. [4] 邹琴,方云.AHP 法在数学建模参赛队选拔中的应用[J].韶关学院学报, 2008.
最后求出组合权系数。 第一层因素 A- B1：0.54 A- B2：0.297 A- B3：0.163 第二层因素 B1- C1：0.151 B1- C2：0.091 B1- C3：0.758 B2- C4：0.125 B2- C5：0.875 B3- C6：0.333 B3- C7：0.667
［参考文献］
图 １ 数学建模队员选拔递阶层分次结构模型
（下转第 58 页）
56 TECHNOLOGY TREND
思想政治
前途和未来。所以，学校不仅承担着传道授业解惑给予他们文化知识的 重任，还担负着培养国家栋梁给予他们思想道德教育的伟大使命。学校 应该把弘扬社会主义荣辱观作为青少年学生思想道德建设的大事来抓， 使学生真正地德、智、体、美、劳全面发展。胶南市教体局结合教体系 统实际，创新教育方式，在广大师生中深入开展了“六个一” （即学校 组织一次以“八荣八耻”为主题的升国旗仪式；校长为全校师生上一次 荣辱观教育课；在每个教室张贴一张“八荣八耻”铭牌或宣传画；班级 举办一次以“八荣八耻”为内容的主题班队会和其他组织活动；在中小 学、幼儿园中编写、传唱一批“八荣八耻”新童谣，并编入社会主义新 农村校本教材；开展一次“寻找身边的荣辱— ——中小学生眼中的美与 丑”征文活动） 的“八荣八耻”宣传教育活动，营造社会主义荣辱观教 育氛围。为形成符合时代要求的新型学校文化，引导广大青少年学生崇 尚真善美，抵制假恶丑，不断追求崇高的人生境界作出了有益探索。
（上接第 56 页）
笔者依照数学建模队员的素质要求，在充分调查研究的基础上，
对建模队员应具备的基本素质结构进行认真分析，选取出其中影响竞赛
成绩的几个主要方面建立比较全面和客观的评价指标内容，建立如图 1
递阶层次分析结构。
பைடு நூலகம்
然后构造两两比较判断矩阵。
对准则层的三个方面：数学水平 B1、计算机水平 B2、论文水平
层次分析法的主要特点有： 1） 先分解后综合的系统思想。面对具有层次结构的整体问题综合 评价，采取逐层分解，变为多个单准则评价问题，在多个单准则评价的 基础上进行综合。2） 整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量 分析有机结合，实现定量化决策。3） 为解决决定性因素的处理及可比 性问题，以“重要性” （数学表现为权值） 比较作为统一的处理格式。 如果所选的因素不合理，其含义混淆不清，或因素间的关系不正 确，都会降低层次分析法的结果质量，甚至导致层次分析法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：分解简化问题时把握 主要因素，不漏不多；注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的 要素不能在同一层次比较。 三、 数学建模竞赛中的实际应用 下面利用层次分析法解决数学建模竞赛中的实际问题— ——参赛队 员的选拔。 首先给出该问题的层次结构图。
5） 进行一致性检验。利用一致性指标进行检验，其中 C.I=
λmax- n 。为了衡量 C.I 的大小，引入具有相同秩的随机成对比较矩阵的 n- 1
一致性指标 R.I （Random Inde x）。Saaty 教授对于不同的 n 给出了与标
度值相对应的 R.I的值，如表 2 所示：
表２
定义一致性比率 C.R （Cons is te ncyRatio），C.R=C.I/R.I，当 C. R<0.1 时，认为判断矩阵具有可以接受的一致性；当 C.R≥0.1 就需要调 整合修正判断矩阵，使其满足 C.R<0.1，从而具有满意的一致性。
我们在选拔队员时，可以针对以上的各个指标对每一位参选学生 进行考核综合评分；也可以以小组为单位对每一组的总体实力进行评分 排序，从中选拔出优秀的参赛队伍。
四、 结论 运用层次分析法可以很好的解决多因素的决策问题。它能将主观 的模糊因素量化来客观反映考察对象的实际情况。这一方法在数学建模 中有着非常广泛的应用。本文构造出的层次分析法模型，能使数学建模 竞赛的队员选拔过程更加客观、准确、系统、有效。该模型还可以应用 到类似的选拔决策工作中，应结合各体系的实际情况，尽量选取科学合 理的指标及其权数。
58 TECHNOLOGY TREND
4） 好实践载体，推进全民创建活动。倡导社会主义荣辱观的最终 目的，就是要把“八荣八耻”所倡导的道德准则，变成公民的自觉行 动。要从我做起，从小事做起，从点滴做起，把社会主义荣辱观渗透到 日常工作和生活中去，融入到各种精神文明的创建活动中，让人们在实 践中领悟“八荣八耻”的精神实质，在为家庭谋幸福、为他人送温暖、 为社会作奉献的行动中，感受真情、领悟崇高、体验光荣，进而推动全 社会文明风尚的形成。在这一个过程中，我们要从实际出发，选好载 体，积极开展各种道德实践活动，引导人们明荣辱之分，做当荣之事， 拒为辱之行，使社会主义荣辱观在全社会蔚然成风。我们要把树立社会 主义荣辱观与保持共产党员先进性教育活动结合起来，突出“以服务人 民为荣、以背离人民为耻”的内容，引导广大党员践行立党为公、执政 为民的从政理念。要把树立社会主义荣辱观与精神文明创建活动结合起 来，以创建“平安青岛”、“和谐青岛”为载体，在全市上下开展友爱 互助教育，引导群众在日常社会生活中真诚相待、守望相助，促进全社 会形成融洽和谐的人际关系。要把树立社会主义荣辱观与“爱国、守 法、诚信、知礼”的现代公民教育活动结合起来，把社会主义荣辱观的 基本要求融入到“热爱祖国、建设青岛”，“学法守法、与法同行”， “共铸诚信、共创文明”，“扶正祛邪、惩恶扬善”，“知荣辱、讲正气、 树新风、促和谐”等实践活动之中，努力培育热爱祖国、遵纪守法、诚 实守信、知书达礼的现代公民。
3） 构筑长效机制，务求持久性的成效。社会主义荣辱观的形成是 一个逐步积累的过程，不可能一抓就灵、一蹴而就，要立足当前、着眼 长远，在持久性上下工夫。倡导社会主义荣辱观，不能仅仅停留在口头 宣传与文字宣传上，也不能过于强调个人自觉，而是要把加强教育与健 全机制结合起来，用政策措施褒扬和激励先进，用法律手段引导和规范 社会道德生活，使社会主义荣辱观的基本要求渗透到市民公约、乡规民 约、职业规范、学生守则等具体行为准则和各项行业管理制度中，形成 践行社会主义荣辱观的长效机制。要充分发挥规章制度的激励约束作 用，探索建立“单位考核与个人道德行为相结合的奖罚制度”，使社会 主义荣辱观更好地体现在单位的日常工作管理当中、体现在社会生活的 角角落落。
B3 在选拔队员综合素质 A中的相对重要性给予客观地评价，并量化表
示，笔者结合多位建模指导教师的意见，得到构成准则层的各因素对决
策层的判断矩阵 A，并类似地，分别列出了子准则层 C 中各因素对准则
层 B 的成对比较矩阵，如下：
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3
A= 1/2 1 2 1/3 1/2 1
的特征向量。本文介绍和运用方根法，其算法为：先计算矩阵 A 中每
n
仪 一行元素的乘积 bi= aij （i =1，2，… n）；再计算 bi 的 n 次方根ω i =n j=1
姨bi （i=1，2，…n）；对ω =[ω 1，ω 2，…，ω n]r 做归一化处理，求出特
征向量 ω=[ω1，ω2，…，ωn]r，其中：ωi=
ωi
n
（i =1，2，… n）；最后
Σω i
i= 1
n
Σ n
aijωj
Σ 求出最大特征根 λmax= i= 1
j=1
nωi
。
4） 计算当前一层因素关于总目标的排序权重，即组合权系数。假
设当前一层因素为 A1，A2，…，An，相关的上一层因素为 S1，S2，…， Sm，对每一个 Si，根据第 3 步可求出权向量 ωi= （ωi1，ωi2，…，ω）in 。对 上一层的 m 个因素均已求出权重分别为 a1，a2，…，am，则当前层每个
表１
记 A= （a）ij n×n，则 A 为因素 A1，A2，…An 相应于上一层因素的 判断矩阵。记 A 的最大特征根为 λmax，属于的标准化特征向量为 W= （W1，W2，…W）n r，则 W1，W2，…Wn 即为因素 A1，A2，…An 相应于 上一层因素的按重要程度的排序权重。
一般用方根法和和积法来近似计算判断矩阵的最大特征根和相应
12 B1= 1/2 1
67
1/6 1/7 1
，
B2=
1 7
1/7 1
，
B1=
1 2
1/2 1
下面用方根法求出各矩阵的权值 W，最大特征根 λmax，C.I 和 C.R 以及一致性检验结果。计算结果在表 3 中给出。
表３
合成权系数 C1：0.082 C2：0.049 C3：0.409 C4： 0.037
一、 研究的缘起 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，就可以用数学 的符号和语言来描述该问题，将它变成一个数学问题，再利用数学工具 来加以解决，这就是数学建模的过程。1985 年美国最早举办了大学生 数学建模竞赛，1989 年我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，经 过了短短十年，数学建模竞赛已经在全国各高校广泛开展起来。近几 年，一些高职院校也踊跃地加入到数学建模的队伍当中来，但是要完成 数学建模竞赛的题目对高职学生有相当大的难度，这就要求在选拔队员 上更加严格与合理。层次分析法是一种多因素决策方法，它能紧密地和 决策者的主观判断及推理联系起来，对决策者的定性推理过程进行量化 的描述。 二、 层次分析法 层次分析方法 （Analytic Hie rarchyProce s s，AHP），是由美国运 筹学家 T.L.Saaty 在 20 世纪 70 年代提出的。它的基本思想是：先根据 问题的性质和要求，提出一个总的目标；然后将问题按层次分解，对同 一层次内的诸因素通过两两比较确定出对于上一层目标的权系数；层层 分析下去，最后给出所有因素相对于总目标按重要性程度的排序。 运用层次分析法进行决策时，需要经历以下几个步骤： 1） 分析问题，提出总目标。2） 建立系统的递阶层次结构。第一 层为总目标；中间层则根据问题的性质与要求分成若干层；最低层为方 案层。经过讨论和分析，画出相应的分层结构图。3） 构造两两比较判 断矩阵，计算每一层因素在各层的权重。针对上一层因素，对所有因素 A1，A2，…，An 进行两两比较，得到数值 aij，其定义见表 1：
C5：0.260 C6：0.054 C7：0.109 现假设对某位参选学生各指标评分 （五分制） 如表 4 所示：
表４
则他的综合得分为：0.0 8 2×3 + 0.0 4 9×4 + 0.4 0 9×4 + 0.0 3 7× 2 + 0.2 6 0×2 + 0.0 5 4×4 + 0.1 0 9×3 = 3.2 1 5
层次分析法及其在数学建模竞赛中的实际应用
肖郑利
（天津机电职业技术学院，天津市 300131）
［摘 要］ 通过建立系统的递阶层次结构，构造两两比较判断矩阵，并进行一致性检验，计算出各个因素的组合权重，从而构造出层次分析 法模型，并将该模型应用到数学建模竞赛的队员选拔过程中。该模型能使队员的选拔过程更加客观、准确、系统、有效。 ［关键词］ 数学建模；选拔；层次分析法；权重；矩阵
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Σ Σ Σ 因素的组合权系数为 aiωi1， aiωi2，…， aiωin，按照从高到低的
i= 1
i= 1
i= 1
顺序一层层求下去，直到求出所有层所有因素的权系数为止。最后根据
最低层即方案层权系数的分布给出一个关于各个方案优先程度的排序。
记 Bk 为第 k 层次上所有因素相对于上一层相关因素的权向量按列 组成的矩阵，则第 k 层的组合权系数向量为 Wk= B·k Bk- 1……B·2 B1，其中 B1= （1）。
[1] T.L.Saaty.The Analytic Hierarchy Process [M].McGraw- Hill International Book Company,1980. [2] 胡运权.运筹学教程(第二版)[M].北京:清华大学出版社,2003. [3] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].高等教育出版社,2003. [4] 邹琴,方云.AHP 法在数学建模参赛队选拔中的应用[J].韶关学院学报, 2008.
最后求出组合权系数。 第一层因素 A- B1：0.54 A- B2：0.297 A- B3：0.163 第二层因素 B1- C1：0.151 B1- C2：0.091 B1- C3：0.758 B2- C4：0.125 B2- C5：0.875 B3- C6：0.333 B3- C7：0.667
［参考文献］
图 １ 数学建模队员选拔递阶层分次结构模型
（下转第 58 页）
56 TECHNOLOGY TREND
思想政治
前途和未来。所以，学校不仅承担着传道授业解惑给予他们文化知识的 重任，还担负着培养国家栋梁给予他们思想道德教育的伟大使命。学校 应该把弘扬社会主义荣辱观作为青少年学生思想道德建设的大事来抓， 使学生真正地德、智、体、美、劳全面发展。胶南市教体局结合教体系 统实际，创新教育方式，在广大师生中深入开展了“六个一” （即学校 组织一次以“八荣八耻”为主题的升国旗仪式；校长为全校师生上一次 荣辱观教育课；在每个教室张贴一张“八荣八耻”铭牌或宣传画；班级 举办一次以“八荣八耻”为内容的主题班队会和其他组织活动；在中小 学、幼儿园中编写、传唱一批“八荣八耻”新童谣，并编入社会主义新 农村校本教材；开展一次“寻找身边的荣辱— ——中小学生眼中的美与 丑”征文活动） 的“八荣八耻”宣传教育活动，营造社会主义荣辱观教 育氛围。为形成符合时代要求的新型学校文化，引导广大青少年学生崇 尚真善美，抵制假恶丑，不断追求崇高的人生境界作出了有益探索。
（上接第 56 页）
笔者依照数学建模队员的素质要求，在充分调查研究的基础上，
对建模队员应具备的基本素质结构进行认真分析，选取出其中影响竞赛
成绩的几个主要方面建立比较全面和客观的评价指标内容，建立如图 1
递阶层次分析结构。
பைடு நூலகம்
然后构造两两比较判断矩阵。
对准则层的三个方面：数学水平 B1、计算机水平 B2、论文水平
层次分析法的主要特点有： 1） 先分解后综合的系统思想。面对具有层次结构的整体问题综合 评价，采取逐层分解，变为多个单准则评价问题，在多个单准则评价的 基础上进行综合。2） 整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量 分析有机结合，实现定量化决策。3） 为解决决定性因素的处理及可比 性问题，以“重要性” （数学表现为权值） 比较作为统一的处理格式。 如果所选的因素不合理，其含义混淆不清，或因素间的关系不正 确，都会降低层次分析法的结果质量，甚至导致层次分析法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：分解简化问题时把握 主要因素，不漏不多；注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的 要素不能在同一层次比较。 三、 数学建模竞赛中的实际应用 下面利用层次分析法解决数学建模竞赛中的实际问题— ——参赛队 员的选拔。 首先给出该问题的层次结构图。
5） 进行一致性检验。利用一致性指标进行检验，其中 C.I=
λmax- n 。为了衡量 C.I 的大小，引入具有相同秩的随机成对比较矩阵的 n- 1
一致性指标 R.I （Random Inde x）。Saaty 教授对于不同的 n 给出了与标
度值相对应的 R.I的值，如表 2 所示：
表２
定义一致性比率 C.R （Cons is te ncyRatio），C.R=C.I/R.I，当 C. R<0.1 时，认为判断矩阵具有可以接受的一致性；当 C.R≥0.1 就需要调 整合修正判断矩阵，使其满足 C.R<0.1，从而具有满意的一致性。
我们在选拔队员时，可以针对以上的各个指标对每一位参选学生 进行考核综合评分；也可以以小组为单位对每一组的总体实力进行评分 排序，从中选拔出优秀的参赛队伍。
四、 结论 运用层次分析法可以很好的解决多因素的决策问题。它能将主观 的模糊因素量化来客观反映考察对象的实际情况。这一方法在数学建模 中有着非常广泛的应用。本文构造出的层次分析法模型，能使数学建模 竞赛的队员选拔过程更加客观、准确、系统、有效。该模型还可以应用 到类似的选拔决策工作中，应结合各体系的实际情况，尽量选取科学合 理的指标及其权数。
58 TECHNOLOGY TREND
4） 好实践载体，推进全民创建活动。倡导社会主义荣辱观的最终 目的，就是要把“八荣八耻”所倡导的道德准则，变成公民的自觉行 动。要从我做起，从小事做起，从点滴做起，把社会主义荣辱观渗透到 日常工作和生活中去，融入到各种精神文明的创建活动中，让人们在实 践中领悟“八荣八耻”的精神实质，在为家庭谋幸福、为他人送温暖、 为社会作奉献的行动中，感受真情、领悟崇高、体验光荣，进而推动全 社会文明风尚的形成。在这一个过程中，我们要从实际出发，选好载 体，积极开展各种道德实践活动，引导人们明荣辱之分，做当荣之事， 拒为辱之行，使社会主义荣辱观在全社会蔚然成风。我们要把树立社会 主义荣辱观与保持共产党员先进性教育活动结合起来，突出“以服务人 民为荣、以背离人民为耻”的内容，引导广大党员践行立党为公、执政 为民的从政理念。要把树立社会主义荣辱观与精神文明创建活动结合起 来，以创建“平安青岛”、“和谐青岛”为载体，在全市上下开展友爱 互助教育，引导群众在日常社会生活中真诚相待、守望相助，促进全社 会形成融洽和谐的人际关系。要把树立社会主义荣辱观与“爱国、守 法、诚信、知礼”的现代公民教育活动结合起来，把社会主义荣辱观的 基本要求融入到“热爱祖国、建设青岛”，“学法守法、与法同行”， “共铸诚信、共创文明”，“扶正祛邪、惩恶扬善”，“知荣辱、讲正气、 树新风、促和谐”等实践活动之中，努力培育热爱祖国、遵纪守法、诚 实守信、知书达礼的现代公民。
3） 构筑长效机制，务求持久性的成效。社会主义荣辱观的形成是 一个逐步积累的过程，不可能一抓就灵、一蹴而就，要立足当前、着眼 长远，在持久性上下工夫。倡导社会主义荣辱观，不能仅仅停留在口头 宣传与文字宣传上，也不能过于强调个人自觉，而是要把加强教育与健 全机制结合起来，用政策措施褒扬和激励先进，用法律手段引导和规范 社会道德生活，使社会主义荣辱观的基本要求渗透到市民公约、乡规民 约、职业规范、学生守则等具体行为准则和各项行业管理制度中，形成 践行社会主义荣辱观的长效机制。要充分发挥规章制度的激励约束作 用，探索建立“单位考核与个人道德行为相结合的奖罚制度”，使社会 主义荣辱观更好地体现在单位的日常工作管理当中、体现在社会生活的 角角落落。
B3 在选拔队员综合素质 A中的相对重要性给予客观地评价，并量化表
示，笔者结合多位建模指导教师的意见，得到构成准则层的各因素对决
策层的判断矩阵 A，并类似地，分别列出了子准则层 C 中各因素对准则
层 B 的成对比较矩阵，如下：
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3
A= 1/2 1 2 1/3 1/2 1
的特征向量。本文介绍和运用方根法，其算法为：先计算矩阵 A 中每
n
仪 一行元素的乘积 bi= aij （i =1，2，… n）；再计算 bi 的 n 次方根ω i =n j=1
姨bi （i=1，2，…n）；对ω =[ω 1，ω 2，…，ω n]r 做归一化处理，求出特
征向量 ω=[ω1，ω2，…，ωn]r，其中：ωi=
ωi
n
（i =1，2，… n）；最后
Σω i
i= 1
n
Σ n
aijωj
Σ 求出最大特征根 λmax= i= 1
j=1
nωi
。
4） 计算当前一层因素关于总目标的排序权重，即组合权系数。假
设当前一层因素为 A1，A2，…，An，相关的上一层因素为 S1，S2，…， Sm，对每一个 Si，根据第 3 步可求出权向量 ωi= （ωi1，ωi2，…，ω）in 。对 上一层的 m 个因素均已求出权重分别为 a1，a2，…，am，则当前层每个
表１
记 A= （a）ij n×n，则 A 为因素 A1，A2，…An 相应于上一层因素的 判断矩阵。记 A 的最大特征根为 λmax，属于的标准化特征向量为 W= （W1，W2，…W）n r，则 W1，W2，…Wn 即为因素 A1，A2，…An 相应于 上一层因素的按重要程度的排序权重。
一般用方根法和和积法来近似计算判断矩阵的最大特征根和相应
12 B1= 1/2 1
67
1/6 1/7 1
，
B2=
1 7
1/7 1
，
B1=
1 2
1/2 1
下面用方根法求出各矩阵的权值 W，最大特征根 λmax，C.I 和 C.R 以及一致性检验结果。计算结果在表 3 中给出。
表３
合成权系数 C1：0.082 C2：0.049 C3：0.409 C4： 0.037
一、 研究的缘起 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，就可以用数学 的符号和语言来描述该问题，将它变成一个数学问题，再利用数学工具 来加以解决，这就是数学建模的过程。1985 年美国最早举办了大学生 数学建模竞赛，1989 年我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，经 过了短短十年，数学建模竞赛已经在全国各高校广泛开展起来。近几 年，一些高职院校也踊跃地加入到数学建模的队伍当中来，但是要完成 数学建模竞赛的题目对高职学生有相当大的难度，这就要求在选拔队员 上更加严格与合理。层次分析法是一种多因素决策方法，它能紧密地和 决策者的主观判断及推理联系起来，对决策者的定性推理过程进行量化 的描述。 二、 层次分析法 层次分析方法 （Analytic Hie rarchyProce s s，AHP），是由美国运 筹学家 T.L.Saaty 在 20 世纪 70 年代提出的。它的基本思想是：先根据 问题的性质和要求，提出一个总的目标；然后将问题按层次分解，对同 一层次内的诸因素通过两两比较确定出对于上一层目标的权系数；层层 分析下去，最后给出所有因素相对于总目标按重要性程度的排序。 运用层次分析法进行决策时，需要经历以下几个步骤： 1） 分析问题，提出总目标。2） 建立系统的递阶层次结构。第一 层为总目标；中间层则根据问题的性质与要求分成若干层；最低层为方 案层。经过讨论和分析，画出相应的分层结构图。3） 构造两两比较判 断矩阵，计算每一层因素在各层的权重。针对上一层因素，对所有因素 A1，A2，…，An 进行两两比较，得到数值 aij，其定义见表 1：
C5：0.260 C6：0.054 C7：0.109 现假设对某位参选学生各指标评分 （五分制） 如表 4 所示：
表４
则他的综合得分为：0.0 8 2×3 + 0.0 4 9×4 + 0.4 0 9×4 + 0.0 3 7× 2 + 0.2 6 0×2 + 0.0 5 4×4 + 0.1 0 9×3 = 3.2 1 5