12.1极坐标

极坐标问题的求解方法 5 π 【例 3】 求直线 ρ＝ 关于 θ＝ (ρ∈R)对称 4 3cos θ－2sin θ 的直线方程．
解：法一：设点 P(ρ，θ)为所求直线上一点，该点关于 θ ρ＝ρ0， ρ0＝ρ， π ＝ 的对称点为 P0(ρ0，θ0)，则 所以 π π 4 θ＝ －θ0. θ0＝ －θ. 2 2 又 P0(ρ0，θ0)在已知直线上． 5 5 ∴ ρ＝ ＝ . π π 3sin θ－2cos θ 3cos －θ－2sin －θ 2 2
圆的极坐标方程 【例 5】 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ＝4cos θ，ρ ＝－4sin θ. (1)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2 交点的直线的直角坐标方程．
思路点拨：利用极坐标与直角坐标的互化公式求解题． 解：(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以 ρ，得 ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以 ρ，得 ρ2＝－4ρsin θ. 由 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2 的直角坐标方程分别为 x2＋y2－4x＝0 和 x2＋y2＋4y＝0. 2 2 ① x ＋y －4x＝0， (2)由 2 2 ② x ＋y ＋4y＝0， ①－②得－4x－4y＝0，即 x＋y＝0 为所求直线方程
解：法一：ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1. 3π ∴直线的极坐标方程化为 θ＝ (直线如图)． 4 过 A 作直线垂直于 l，垂足为 B. 2 2 3π ∴|OB|＝ . ∴B 点的极坐标为( ， )．
π 法二：将极坐标化为直角坐标，点 A(1， )的直角坐标为 2 A(0,1)，直线 l 的直角坐标方程为 x＋y＝0， 若线段 AB 最短，则 AB⊥l，且 B 为垂足． 过 A 与 l 垂直的直线方程为 y－1＝x， x＋y＝0 1 1 联立方程 得 B 点坐标为(－ ， )， 2 2 x－y＋1＝0 2 3π 再化为极坐标为( ， )． 2 4
(2)直角坐标与球坐标的变换关系：空间点 P 的直角坐标(x， x＝rsin φcos θ y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为y＝rsin φsin θ . z＝rcos φ
伸缩变换的应用 x′＝2x π 【例 1】 求函数 y＝sin(2x＋ )经伸缩变换 后的解析式． 1 4 y′＝2y 1 x′＝2x x＝2x′ 思路点拨：利用伸缩变换公式 得 代入 1 y′＝2y y＝2y′
2 3 π 则 P 点的极坐标为( ， )， 3 6 π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)． 6
(1)极坐标系与直角坐标系在满足极点、 极轴分别与原点、 x 轴正半轴重合时， 可用 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 将直角坐标方程化为极坐标方程；反之，利用 ρ2＝x2＋y2， y tan θ＝x(x≠0)可以将直角坐标方程化为极坐标方程． (2)求解与极坐标有关的问题，应注意先化为直角坐标后 解决较为方便．
因为极坐标方程与直角坐标方程的这种 互化关系，所以几乎所有的极坐标方程问题都可以转化为直 角坐标方程来解．
思路点拨：依条件利用公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 化为直角 坐标方程后求解． π 1 3 解：(1)由 ρcos(θ－ )＝1 得 ρ( cos θ＋ sin θ)＝1. 3 2 2 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x＋ y＝1， 2 2 即 x＋ 3y＝2. 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． π 2 3 2 3 π 当 θ＝ 时，ρ＝ ， 所以 N( ， )． 2 3 3 2 (2)M 点的直角坐标为(2,0)． 2 3 N 点的直角坐标为(0， )． 3 3 所以 P 点的直角坐标为(1， )， 3
14cos两边同乘以得4sin两边同乘以得由cosxsin得4x4y0即xy0为所求直线方程因为极坐标方程与直角坐标方程的这种互化关系所以几乎所有的极坐标方程问题都可以转化为直角坐标方程来解
12.1
坐标系
1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x′＝λxλ>0 φ： 的作用下，点 P(x，y)对应到点 y′＝μyμ>0 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变 换，简称伸缩变换．
提示：由于极坐标系内点的极坐标表示不惟一，故当点的极坐标 不满足曲线的极坐标方程时，该点也有可能在曲线上．
4．柱坐标系
(1)柱坐标系的定义：如图，空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是 空间任意一点， 它在 Oxy 平面上的射影为 Q， 用(ρ， θ)(ρ≥0， 0≤θ<2π) 来表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标．这时点 P 的位置可用有序数 组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间 的对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组 (ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z)，其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞. (2)直角坐标与柱坐标的变换关系： 空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换 x＝ρcos θ 公式为y＝ρsin θ z＝z
变式探究 21：将下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)x2＋y2－y＝0；(2)x2＋y2－3x＋10y＝0；(3)x＋y＝0.
解：(1)将 x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ 代入方程得 ρ2－ρsin θ＝0， 即 ρ＝0 或 ρ＝sin θ. ∵极点 ρ＝0 在圆 ρ＝sin θ 上， ∴所求的极坐标方程为 ρ＝sin θ.
ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成 α 角的直 线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2rcos θ 表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆； π ρ＝2rsin θ 表示圆心在(r， )，半径为|r|的圆； 2 ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r|的圆．
质疑探究 2：极坐标系内，若点的极坐标不满足曲线的极坐标方 程，则该点是否一定不在曲线上？
π 变式探究 31：在极坐标系中，由三条直线 θ＝0，θ＝ ， 3 ρcos θ＋ρsin θ＝1 围成图形的面积是________．
π 解析：极坐标方程为 θ＝0，θ＝ ，ρcos θ＋ρsin θ＝1 3 对应的直角坐标方程分别为 y＝0，y＝ 3x，x＋y＝1.
y＝ 3x， 由 x＋y＝1
(2)将 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入方程得 ρ2－3ρcos θ＋10ρsin θ＝0， 即 ρ＝0 或 ρ＝3cos θ－10sin θ. 又极点 ρ＝0 在 ρ＝3cos θ－10sin θ 上， ∴所求的极坐标方程为 ρ＝3cos θ－10sin θ.
(3)将 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 代入 x＋y＝0 得 ρ(cos θ＋sin θ)＝0. 所以 ρ＝0 或 sin θ＋cos θ＝0. 因 ρ＝0 只表示极点， π 3π 故由 cos θ＋sin θ＝0 得 θ＝－ 或 θ＝ . 4 4 3π π θ＝ 和 θ＝－ 表示过极点的两条射线，它们连结起来 4 4 表示直线 x＋y＝0.若允许 ρ 取负值， 3π 则所求的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)． 4
5 法二：ρ＝ 化为直角坐标方程为 3x－2y＝ 3cos θ－2sin θ 5， π θ＝ 可化为直角坐标方程为 y＝x， 4 3x－2y＝5 关于 y＝x 的对称直线方程为 3y－2x＝5. 化为极坐标方程为 3ρsin θ－2ρcos θ＝5， 5 即 ρ＝ . 3sin θ－2cos θ
求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法： 一是直接利用极坐标求解，求解时可与数形结合思想结合在一起 应用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解，使用后一种时 应注意若结果要求是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
已知函数解析式可得变换后的解析式． 1 x′＝2x x＝2x′， 解：由 得 ① 1 y′＝2y y＝2y′. π 1 π 将①代入 y＝sin(2x＋ )，得 2y′＝sin(2·x′＋ )， 4 2 4 1 π 即 y′＝ sin(x′＋ )． 2 4
平 面 上 的 曲 线 y ＝ f(x) 在 变 换 φ ：
(2) 极坐标与直角坐标的关系： 把直角坐标系的原点作为极 点， x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的长度单位， 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)， 极坐标为(ρ，θ)， 则它们之间的关系为 x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ. y 2 2 2 另一种关系为 ρ ＝x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)．
.
5．球坐标系
(1)球坐标系的定义：如图空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是 空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角 为 φ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转 到 OQ 时所转过的最小正角为 θ，这样点 P 的位置可用有序数组 (r，φ，θ)表示．把建立空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间对应关 系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ) 叫做点 P 的球坐标， 记作 P(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π.
2．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点， 从 O 点引一条射线 Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一 个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这 样就确定了一个极坐标系．
设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的 极径，记为 ρ，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角叫做点 M 的极角，记为 θ. 有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)．
3－1 3－ 3 得交点( ， )． 2 2
3－ 3 3－ 3 1 故所围成三角形的面积 S＝ ×1× ＝ . 2 2 4 3－ 3 答案： 4
直线的极坐标方程 π 【例 4】 在极坐标系中定点 A(1， )， 点 B 在直线 l： ρcos 2 θ＋ρsin θ＝0 上运动，当线段 AB 最短时，求点 B 的极坐标． 思路点拨：利用极坐标或直角坐标求解．
x′＝x， 解：将 代入 y′＝lg(x′＋5) 1 y′＝2y
1 得 y＝lg(x＋5)， 2 即 y＝2lg(x＋5)为所求曲线 C 的方程．
极坐标与直角坐标的互化 【例 2】 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为 π 极轴建立极坐标系．曲线 C 的极坐ห้องสมุดไป่ตู้方程为 ρcos(θ－ )＝1，M、 3 N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点． (1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．
x′＝λx， y′＝μy
的作用下的变换方程的求法是将 y′ y＝ μ
x′ x＝ λ
y′ x′ 代入 y＝f(x)，得 μ ＝f( λ )，整理之后得到 y′＝h(x′)，即为 所求变换之后的方程．
变式探究 11：在同一坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换 x′＝x， 后得到的曲线方程为 y′＝lg(x′＋5)， 求曲线 C 1 y′＝ y 2 的方程．
质疑探究 1： 平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什 么？与点的极坐标呢？
提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应关系，而与点 的极坐标不是一一对应关系，当规定 ρ≥0,0≤θ＜2π 后点的极坐 标与平面内的点就一一对应了．
3．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α(ρ∈R)表示过极点且与极轴成 α 角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； π ρsin θ＝b 表示过(b， )且平行于极轴的直线； 2