浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题三2017110201138

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（三）
一、填空题，每题8分
1
1.设，则
sin x cos x sin3x cos3x
2
2.设i为虚数单位，化简(i1)2016(i1)2016
3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则
a a a1
1,2,1000
a
4. 集合x2x3x x R1,2,,100共有个元素，其中x表示不超过x的最
大整数。

5.若关于x的方程x2ae x有三个不同的实根，则实数a的取值范围是
1
6.在如图所示的单位正方体 中，设 为正方体的中心，点 分别在棱
ABCD A B C D
O
M , N
1 1 1 1
A 1D 1,CC 1
1 2
上，
,则四面体
的体积等于
A M
,CN OMNB
1
1
2
3
D1 M C1 B1
A1
N
D
C O
A
B
7.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点， P 经过 E 的两个焦点，并且 P 与 E 恰有三个交点， 则 E 得离心率等于
二、 简答题
2a
3a 9
2
8.已知数列
满足
，。

用数学归纳法证明：
a
a
1,a
5,a
n 1 n 1
2
n
n
1
n
2a
n
2
a n
2n
2
3
2
9.证明：对任意的实数a,b,c都有a2ab b2a2ac c23a2(a b c)2并求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1m n n m mn的所有正整数对(m,n)
3
2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案
三、 填空题，每题 8分
1
1.设
，则
sin x cos x
sin 3 x cos 3 x
2
1
1
3
sin x cos x
1 2sin x cos x
sin x cos x
解 答 ： 由
， 可 得
， 故 ， 从 而
2
4
8
1
3 11
sin x cos x
x
x
2
x
x x
2 x
3
3
(sin
cos )(sin cos sin cos ) (1 )
2 8 16
2.设i 为虚数单位，化简 (i 1)2016
(i 1)2016
解 答 ： 由 (i
1)2 2i ， 可 得 (i 1)2016
21008 ， 同 理 可 得 (i
1)2016
21008 故
(i 1)2016 (i
1)2016
21009
3.已知等差数列 的前 100项之和为 100，最后 100项之和为 1000，则
a 1,a 2,a 1000 a
1
解答：设等差数列的公差为 d ，则有 ，
解得
100a
4950d 100 100a
94950d 1000
1
1
a 1
0.505
4. 集
合
x 2
x 3x
x R
1, 2,,100
共有
个元素，其中
x
表示不超过 x 的
最
大整数。

解答：设 f (x )
x 2
x 3x
则有 f (x
1) f (x ) 6 ，当 0 x 1时， f (x ) 的
所有可 能 值 为
0,1,2,3.由 此
f (x ) 得 值 域 S
6k ,6k
1, 6k 2, 6k
3 k Z
,
x
2x 3x x
R
1,
2,
,100
417 1 67
个元素。

5.若关于 x 的方程 x 2 ae x 有三个不同的实根，则实数 a 的取值范围是
解答：设 f (x )
x 2e x ，则
f '(x ) (2x x 2 )e
x 当
x 0 时， f (x ) x 2e x 单调递减，当
0 x 2
f (x ) x 2e x
x 2
f (x ) x 2e
x
f (0)
时，
单调递增，当 时，
单调递减，
，
f(2)4e 2x f(x)0f(x)x2e x a
，当时因此，有三个不同的实根当且仅当0a4e 2
6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱
ABCD A B C D O M,N
1111
4
A D CC 1 1, 1
1 2
上， ,则四面体 的体积等于
A M
,CN
OMNB
1
1
2 3
解答：以 A 为原点， AB , AD , AA 为 x , y ,z 轴建立空
间直 1
角 坐 标 系 ， 则
有 1 1 1 2
O ( , ,0),M (0, ,1), N (1,1, ),B (1, 0,1) 由 此 四 面
体
1
2 2 2 3
1
11 OMNB
V OB
ON
OM
的体积
1
1
6
72
7.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点， P 经过 E 的两
个焦点，并且 P 与 E 恰有三个交点，则 E 得离心率等于
x
y
2
2
解答：不妨设椭圆 E 的方程为 2
2
1(a b
0) ，
a
b
P
D1
M C1 B1
A1
N
D
C
O
A
B
经过 E 的两个焦点， x 2
2cy c 2
a
b c P E
c 2b E
2 5 2
2
2
e
， 与 恰有三个交点，所以
，则 得离心率等于
c a
5
四、 简答题
2a
3a 9
2
8.已知数列
满足
，。

用数学归纳法证明：
a
a
1,a
5,a
n 1 n 1
2
n
n
1
n
2a
n
2
a n
2n
3
2
证明： a 0 1 22 3,a 1 5 23
3,从而 2n
2
3对 成立。

a
n
0,1
n
当 n
2 时假设
1
2
1
3， a
a 2
2 3
n
n n
n
由递推公式可得
n n n n
n2
2a3a92(23)3(23)9421529
21212
a
n1n123
n n n
2a2(23)23
n2
由此，a2n23对一切n0成立。

n
9.证明：对任意的实数a,b,c都有a2ab b2a2ac c23a2(a b c)2并求
等号成立的充分必要条件。

证明方法一：a2ab b2a2ac c23a2(a b c)2两边平方
a2a b c b2c2a2ab b2a2ac c2a2a b c b c2 2()2()()42()()
移项合并(22)(22)21()两边平方展开可得
a a
b b a a
c c a a b c bc
2
5
a
a (
b
c ) a (b
bc c ) abc (b c ) b c
4
3
2
2
2
2 2
1
a a (
b
c ) a ( (b c ) 2bc c ) abc (b
c ) b c
4
3
2
2
2
2 2
2
移项合并
3 3
a (b
c ) a bc
a (
b
c )
2
2
2
2
2
2
4 2
不等式成立的必要是 a (b
c )
当 a 0 不等式等号成立等价于bc 0 ，当b c 时不等式等号成立。

综上所述，不等式等号成立的充分必要条件是 a 0 且bc 0 或者b c
b 3 c
3 (a , b
),
(a , c )
2 2
2 2
证明方法二：设向量
则
a
ab b
a
ac c
2
2
2
2
a b c 2 3 b c 2
a 2
a b c 2
(2 ) ( ) 3 (
)
2 4 根据三角不等式
即可得所要证明的不等式，不等号成立的充分必要条件是
b c
、
∥
c (a ）-b (a )=0 a (b c ) 0
平行且方向相同。

当 时，
，以下同证明方
2 2
法一。

10.求满足1 m n n m mn 的所有正整数对 (m ,n ) ln x
(0,e
e ,
解
答：引理 1: 在 上单调递增，在
上单调递减。

f (x )
x
引理 2：当 x
0 时， ln(1
x ) x
n
m
ln m ln n 由引理 1可得
有以下情形，
m
n
m n
情形一： n 1,m 2 ， (m ,n ) 均满足题设 情形二： m
2,n 5 设 g (x ) 2x
x 2
2x , x 5 则 g ' (x ) 2x ln 2 2x 2
由g(5)3,g(6)16，可得满足题设条件的(m,n)只有(2,5)
情形三：m3,n2易知满足要求。

情形四：m3,n m1，设
6
g(x)m x x m mx x m 1
当时
g x m m mx m x mx m x m'
()x ln m m m1
m10
'()x ln m m m1
m10
所以
g(x)m x x m mx
单调递增，因此，
g n g m m m m m m m m m
()(1)
1(1)(1)
1
(11)
(1) m m m m
m
当m 3时，g(m)5
当m 4时，g(m)m m m(m 1)0无(m,n)满足题设条件。

综上，所有满足题设条件的正整数为(m,1),
(2,5)(3,2)m 2
7。