2016秋九年级数学上册2.2.3因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程练习(新版)湘教版
北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
x1
100 ， 49
x2 0
探究
10x 4.9x2 0
如果a·b=0，那么 a=0或b=0。
因式分解
x 10 4.9x 0
两个因式乘积为0，说明什么 降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
（2）3x(x 2) 5(x 2)
（3）x2－4=0 （4）(3x＋1)2－5=0
（1）2x2－4x＋2=0 解：因式分解，得 2 (x－1) =0
x－1=0 或 2x－1=0
∴x1= x2=1
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（2） 3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得 3x(x 2) 5(x 2) 0
因式分解，得 (x 2) (3x 5) 0
x＋2=0 或 3x－5=0
∴x1=－2，
5
x2=
3
（3）x2－4=0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) =0
x＋2=0 或 x－2=0
∴x1=－2， x2=2
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
解一元二次方程(因式分解法)(课件)九年级数学上册(人教版)
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ①
探究新知
10x-4.9x2=0 ①
x(10-4.9x)=0
∴x=0或10-4.9x=0 ②
∴方程①的根是x1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次
，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的
形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种
解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
复习提问
一.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法
公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
− ± −
=
− ≥ .
复习提问
二.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
10x4.9x2=0
因式分解
x(10-4.9x)=0
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
(完整版)用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案
用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1.因式分解法若一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，X2—9= 0, 这个方程可变形为(x+ 3)( X—3) = 0,要(x + 3)( x —3)等于0,必须并且只需(x+ 3)等于0或(x—3)等于0, 因此，解方程(x + 3)( x—3) = 0就相当于解方程x+ 3= 0或x—3 = 0 了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解•这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2•因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程•其理论根据是：若A- B=吐A=0 或B= 0.【基础知识讲解】1 •只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程•分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法.2 •在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程•但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便•因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解. 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法•而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法.【例题精讲】例1 :用因式分解法解下列方程：2(1) y + 7y + 6 = 0; (2) t (2 t —1) = 3(2 t —1); ⑶(2 x —1)( x—1) = 1.解：(1)方程可变形为(y+ 1)( y+ 6) = 0, y+ 1 = 0 或y + 6 = 0,「. y1 = —1, y2=— 6.1(2) 方程可变形为t(2t —1) —3(21 —1) = 0, (2t —1)( t —3) = 0, 2t —1 = 0 或t —3= 0,二t1= , t22=3.(3) 方程可变形为2x2—3x = 0. x(2x—3) = 0, x= 0 或2x — 3 = 0.3--X1 = 0, X2 =2说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.(2)应用因式分解法解形如(x—a)(x —b) = c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x —e)( x—f) = 0的形式，这时才有X1= e, %= f,否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解:原方程变形为：2x— 1 = 1 或x — 1 = 1 .••• x i = 1, X2= 2.(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t —1)，请同学们思考？例2 :用适当方法解下列方程：—2 ------------------------------------ 2 2 2(1) ..3(1 —x) = ..27 ; (2) x —6x—19= 0; (3)3 x = 4x+ 1; (4) y —15= 2y；(5)5 x(x—3) —(x—3)( x+ 1) = 0 ；2 2(6)4(3 x + 1) = 25(x —2).剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了.解：(1)(1 —x)2= , 9 , (x—1) 2= 3, x —1 = ± , 3 , • X1 = 1 + . 3 , X2= 1 — .、3 .(2) 移项，得x2—6x = 19,配方，得x2—6x+ ( —3)2= 19+ ( —3)2, (x—3)2= 28, x — 3 =± 2 ,7 ,•-X1 = 3+ 2 .7 , X2= 3— 2 7 .⑶移项，得3x —4x—1= 0,a= 3, b=—4, c =—1,•x ( 4) V( 4)2 4 3 ( 1) 2 <7--x =2 3 32 V7 2 47•• X1 = , X2 =3 32 __⑷移项，得y—2y —15 = 0，把方程左边因式分解，得(y —5)( y+ 3) = 0；•y —5= 0 或y+ 3= 0, • y1 = 5, y2 = —3.⑸将方程左边因式分解，得(x—3) :5x —(x+ 1) ]= 0, (X —3)(4 x —1) = 0,•x —3= 0 或4x— 1 = 0,c 1--X1 = 3, X2 =42 2(6)移项，得4(3x + 1) —25(x —2) = 0,2 2[2(3 x+ 1): —[ 5( x—2): = 0,:2(3 x+ 1) + 5(x —2): • : 2(3 x+ 1) —5( x —2) ]= 0,(11 X—8)( x + 12) = 0,• 11x—8 = 0 或x + 12= 0,二X1 = — , X2=—12.11说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简.(2) 直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式, 般式了.2 2 2 2 2例3:解关于x 的方程：(a — b )x — 4abx = a - b .解：⑴ 当 a 2— b 2= 0,即 | a | = | b | 时，方程为一4abx = 0. 当a = b = 0时，x 为任意实数.当| a | = | b |z 0时，x = 0. (2)当a 2— b 2^ 0，即a + 0且a — b *0时，方程为一元二次方程.分解因式，得[(a + b )x + (a — b ) ] [(a — b )x — (a + b ) ]= 0,a +b * 0 且 a — b * 0,b a a b X 1=, X 2 =a ba b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解.本题实际上是 分三种情况，即① a = b = 0 :②丨a | = | b |* 0 :③丨a | *| b | .例4:已知x 2— xy — 2y 2= 0，且x * 0, y * 0，求代数式剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出， 要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道 x 与y 的比值也可.由已知 x 2— xy — 2y 2= 0因式分解即可得 x 与y 的比值.2 2解：由 x — xy — 2y = 0,得(x — 2y )( x + y ) = 0，二 x — 2y = 0 或 x + y = 0,. x = 2y 或 x =— y .“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的应用.【同步达纲练习】 1•选择题(1)方程(x — 16)( x + 8) = 0 的根是()对于这种形式的方程就不必要整理成一2 2x 2 2xy 5y2 的值x 2xy 5y当x = 2y 时, 2 2 x2xy52 2 2(2y) 2 2y y 5y 5y (2y)2 2 2y y 5y 2 13y 2 5 13当x = — y 时,x 2 2xy 5y 22 2x 2xy 5y(y)22 ( y) y 5y 2 2(y) 2 ( y) y 5y y 24y 2 说明：因式分解法体现了“降次”A. X1 = —16, X2= 8B. X1 = 16, X2= —8C. X1 = 16, X2= 8D. X1 = —16, X2=—8__ 2 2 2(2)下列方程 4x - 3x — 1= 0, 5x - 7x + 2= 0, 13x - 15x + 2 = 0 中，有一个公共解是 ()方程 5x (x + 3) = 3(x + 3)解为( 方程(y -5)( y + 2) = 1的根为(22方程(x - 1) -4(x + 2) = 0 的根为()A .1 B.2 C. - 4 D. 4⑺ 已知三角形两边长为4和7,第三边的长是方程 x 2- 16X + 55= 0的一个根，则第三边长是 ( )A. 5B. 5 或 11C. 6D.11(8) 方程 x 2- 3|x - 1| = 1的不同解的个数是()A . 0 B. 1 C. 2 D. 32 .填空题(1)方程t (t + 3) = 28的解为 __________ .2⑵方程(2x + 1) + 3(2 x + 1) = 0的解为 _____________ .2⑶ 方程(2y + 1) + 3(2 y + 1) + 2 = 0 的解为 ____________ .⑷关于x 的方程x + (m+ n )x + mr = 0的解为 ______________⑸方程x (x - J5) =5 -x 的解为 _____________A . . x =12B. x = 2C. x = 1D.x =- 1A . X 1= 3, X 2= 3 B. 3x=-5 C.3X 1 = - — , X 2 =- 35D.3 X 1 = , X 2=- 35A . y 1 = 5, y =- 2B. y = 5C. y =-2D.以上答案都不对A. X 1 = 1, X =- 5B. X 1=- 1, X 2=- 5C.X 1 = 1, X 2= 5 D. X 1 =- 1, X 2 = 5元二次方程 x 2+ 5x = 0的较大的一个根设为 m,3x + 2 = 0较小的根设为 n ,贝U n 的值为2 (1) x + 12x = 0;2(3) x = 7x ；2⑷ x — 4x — 21 = 0;(5)( X - 1)( x + 3) = 12;2(6)3 x + 2x - 1= 0;2 2(6)(3 — y ) + y = 9；⑺(1 + , 2)x 3 — (1 — , 2)x = 0；(8) . 5 x 2— (5 2 + 1)x + ,10 = 0;201) ; (10)( x + 5) — 2( x + 5) — 8 = 0.5 .解关于x 的方程：(1) x 2 — 4ax + 3a 2= 1 — 2a ； (2) x 2 + 5x + k 2 = 2kx + 5k + 6 ；6 .已知 x 2+ 3xy — 4y 2= 0( y ^ 0)，试求 的值.3 2 2 2(3) x — 2mx- 8m = 0； (4) x + (2 耐 1)x + m + m = 0.2 (7)10 x — x — 3= 0; 2(8)( x — 1) — 4( x — 1) — 21 = 0.4 .用适当方法解下列方程:2(1) x — 4x + 3 = 0; (4) x 2— 2x — 3 = 0;2(2)( x — 2) = 256; 2(3) x — 3x + 1 = 0;⑸(2 t + 3) 2= 3(21 + 3);2(9)2 x — 8x = 7(精确到 0.x y2 2 2 2 2 27.已知(x + y)( x — 1 + y ) —12= 0 .求x + y 的值.&请你用三种方法解方程：x(x + 12) = 864.9 .已知x2+ 3x+ 5的值为9，试求3x2+ 9x—2的值.10.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h=—5(t —2)( t + 1) •求运动员起跳到入水所用的时间.11•为解方程(x2—1)2—5(x2—1) + 4 = 0,我们可以将x2—1视为一个整体，然后设x2— 1 = y，则y2= (x2—1)2，原方程化为y2—5y + 4 = 0,解此方程，得y1 = 1, y2= 4.当y = 1 时，x2— 1 = 1, x2= 2,「. x=±2 .当y = 4 时，x2— 1 = 4, x2= 5,「. x=±、5 .原方程的解为X1=—2 , x2= , 2 , X3=—：.『5 , X4 =、.. 5 .以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想.(1) 运用上述方法解方程：x4—3x2—4= 0.(2) 既然可以将x2—1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参考答案【同步达纲练习】1. (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D12. (1) 11=—7 , 12 =4(2)X1=—— , X2=—2(3) y’ = —1 , y2= —-(4) X1 ==—m X2=—n(5) X1==.5 , X2 =—1221 13. (1) X1 = 0 , X2=—12; (2) X1=—— , X2 = ; (3) X1 =0 , X2 =7; (4) X1==7, X2= —3; (5) X1 =—5 , X2 = 3; (6) X1 = —1 ,2 21X2 =33 1(7)x i= , X2 = —一；(8)x i= 8, X2=— 2 .5 23 5 3 54. (1) x i= 1 , X2= 3; (2) x i= 18, X2=—14;⑶x i= , X2 = ; (4) x i =3, X2=—1;2 2(5) t1= 0, t2=—3; (6) y1= 0, y2 = 3; (7) X1 = 0, X2= 2 2 —3;2(8)X1=上,X2 = . 10 ; (9) X1~ 7.24 , X2=—3.24 ; (10) X1=—1 , X2 =—7.55. (1) x2—4ax+4a2=a2—2a + 1,(x —2a)2= (a—1)2,二x—2a=± (a—1),二X1= 3a—1, X2= a+ 1.(2) x2+ (5 —2k)x + k2—5k—6 = 0,x2+ (5 —2k)x + (k+ 1)( k—6) = 0,:x—(k + 1) ] [x —(k —6)]= 0 ,二X1= k +1 , X2 = ( k—6).(3) x2—2mx^ m = 9用，(x—m)2= (3 m)2二X1= 4m X2=—2m2(4) x + (2 m^ 1) x + m m^ 1) = 0 ,(x + m [x+ ( m^ 1) ]= 0,二X1=—m X2 = —m-16. (x+ 4y)( x —y) =0,x=—4y 或x=y当x=—4y 时，—=^^ 5;x y 4y y 3当x= y 时，—=3 = 0 .x y y y7. (x2+ y2)( X2+ y2—1) —12 = 0,2 2 2 2 2(x + y) —(x +y) —12 = 0,(x2+ y2—4)( x2+ y2+3) = 0,x2+ y2= 4 或x2+ y2= —3(舍去)8. X1=—36, X2= 249. ：X + 3x + 5= 9, . x?+ 3x= 4 ,/• 3x2+ 9x-2= 3(x2+ 3x) - 2 = 3X 4- 2= 1010. 10=- 5( t - 2)( t + 1)，二t = 1(t = 0 舍去)11 .⑴x i=- 2, X2 = 2(2)( x2- 2)( x2-5) =0,(x + , 2 )( x- 2 )(x + .. 5 )( x-、5) = 03 .用因式分解法解下列方程:2(2)4 X - 1= 0;。
数学人教版九年级上册因式分解法解一元二次方程.2.3因式分解法(1)
↓ 因式分解 xx ( 2 . 1 ) 0 ↓ 降次
x 0 或 x 2 . 10
x 0 ,x 2 . 1 1 2
↓ 得出原方程的根
因式分解法
w 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法 求解.这种用因式分解解一元二次方程的方法称为因 式分解法. w1.用因式分解法解一元二次方程的条件是:
2
2 解 :4 x 1 0 ,
(1)x(x-2)+x-2=0;
解： x ( x 2 ) x 2 0 ,
x 2 0 , 或 x 1 0 . x 2 ,x 1 . 1 2
1. 将方程左边因式分解;
x 2 x 1 0 .
( 2 x 1 ) 2 x 1 0 .
课堂作业：教材P17第6题。 家庭作业：基础训练。
( 2 )( 3 x 1 ) 5 0
2
( 3 ) 3 x 6 x 3
2
小结 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1 方程右边化为 零 。 2 将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 至少 有一个因式为零，得到两个一 元一次方程。 4 两个 一元一次方程的解就是原方程 的解。
作业
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x .b 4 ac 0 . 2 a
用哪种解法更简单呢？
x 2 .1 x0
2
如果a ·b = 0， 那么a = 0或b = 0
[+初+中数学]一元二次方程的解法+课件+湘教版数学九年级上册
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因式分解，得 x(x-8)=0.
由此得 解得
x=0或x-8=0. x₁=0，x₂=8.
例题精讲 例 用因式分解法解下列方程： (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1) (3)(35-2x)²-900=0.
(2)方程可化为 2x(5x-1)-3(5x-1)=0.
因式分解，得 (5x-1)(2x-3)=0.
由此得
5x-1=0或2x-3=0.
解得
例题精讲 例 用因式分解法解下列方程： (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1) (3)(35-2x)²-900=0.
(3)方程可化为 (35-2x)²-30²=0.
因式分解，得 (65-2x)(5-2x)=0.
湘教版·初中数学·九年级上册·第二章
2.2.3 一元二次方程的解法
因式分解法
回顾旧知 1.什么叫做分解因式？因式分解的方法有哪些？ 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
2.说一说：我们学过哪些因式分解的方法？ 提公因式法： ma+mb+mc= m(a+b+c)
公式法： 平方差公式 a²-b²= (a+b)(a-b) 完全平方公式 a²±2ab+b²= (a±b)²
解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0，
得x1＝7，x2＝10. 当x＝10时，3＋7＝10，
∴x2＝10不合题意，舍去． ∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
拓展提升
换元法
1.若实数a，b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0，则a+b=
.
2.解方程：
泌阳县三中九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法 第1
(2)请写出此题准确的解答过程． 解 : (1)小明的解答过程是从第二步开始出错的 , 其错误原因是如果x－3＝0 那么两边不能同时除以(x－3) ; 故答案为 : 二 , 如果x－3＝0那么两边不能同 时除以(x－3) (2)∵x(x－3)＝3－x , ∴x(x－3)＝－(x－3) , 那么x(x－3)＋(x－3)＝0 , ∴(x －3)(x＋1)＝0 , 那么x－3＝0或x＋1＝0 , 解得x1＝3 , x2＝－1
周角所对的弦是直径.
结束语
九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第1课时圆 周角定理及其推论课件新版沪科版
•∴又∵B∠ABDOD1=∠BOBDA． D+∠B ,
2
同理，CAD 1COD．
B
2
∴ B A C B A D C A D 1 B O C ．
2
O
C D
第三种情况 :
• 证明 : 如下图 , 连接 AO 并延长交⊙O 于
点D
• 又∵∵∠B∠ADCA=C∠=DA1 ∠C-D∠ODCAB
2
∠DAB=
在同圆或等圆中 , 同弧或等弧所对的圆周角 相等 , 相等的圆周角所对的弧也相等.
C2 C1
C3 O
A
B
推论2 :
半圆或直径所对的圆周角是直角 ;90°的圆周
角所对的弦是直径.
C2 C1
C3
A
O
B
例1 如下图AB为⊙O的直径 , 弦CD交AB于点P , ∠ACD=60° , ∠ADC=70° , 求∠APC的度数.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
人教版初中数学九年级上册《解一元二次方程—因式分解法》课件
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
人教版九年级数学上册21.2.3一元二次方程的解法-因式分解法课件
例题欣赏 ☞
例1 用因式分解法解下列方程：
1 x x 2 x 2 = 0;
2 5x2 2x 1 = x2 2x 3 .
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据 a = 0或b = 0
说出下列方程的解吗？
(1)(x-2)(x-5)=0_____x_1_=_2__,x_2_=_5______ (2)(x+1)(x-4)=0_____x_1_=_-_1_,_x_2_=_4_____ (3)(y+2)(2y-1)=0____y_1_=_-_2_,_y_2_=_0_._5___ (4)(x-a)(x-b)=0______x_1=__a_,x_2_=_b______
.
1.用分解因式法解下列
(1). 3x(x 2) = 5(x 2);
(2) .2(y 3)2 = yy 3;
(3).(3x 1)2 5 = 0;
(4).2(x 3)2 = x2 9 .
(5)(x2 x) x 1 = 0
(6).x2 2x 1 = (3x 1)2
(7).(x 3)(x 2) = 6
第21章一元二次方程
21.2.3 因式分解法
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? ①直接开平方法: x2=p ,（mx+n)2 =p(p≥0)
湘教版数学九年级上册2.2.3《因式分解法》教学设计
湘教版数学九年级上册2.2.3《因式分解法》教学设计一. 教材分析《因式分解法》是湘教版数学九年级上册2.2.3的内容，本节课主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算中的重要技能，对于学生来说，掌握因式分解法不仅有助于解决初中数学问题，而且为高中阶段的学习打下基础。
教材通过例题和练习，让学生逐步理解并掌握因式分解法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了整式的乘法，对代数运算有一定的理解。
但是，因式分解法作为一种独立的解题方法，对学生来说还是有一定难度。
学生在学习过程中，可能对因式分解的思路和方法不够清晰，需要通过大量的练习来巩固。
同时，学生对于实际应用问题的解决，还需要进一步引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握因式分解的方法，能够独立进行因式分解。
2.过程与方法：通过例题和练习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和步骤。
2.难点：如何找出因式分解的突破口，以及如何灵活运用各种方法进行因式分解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和数学故事，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与。
2.启发式教学法：通过提问和讨论，引导学生思考，培养学生解决问题的能力。
3.实践性教学法：通过大量的练习，让学生在实践中掌握因式分解的方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解的方法和例题。
2.练习题：准备一些因式分解的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.小组讨论：将学生分成小组，进行合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，引出因式分解的问题，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一道有趣的数学故事：两个人比赛，一个人每次跑5米，另一个人每次跑7米，问第一个人在什么时候可以追上第二个人？2.呈现（10分钟）展示因式分解的定义和方法，让学生了解因式分解的意义。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程4用因式分解法解一元二次方程
2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次
出现，可以用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变
形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方
程，从而达到降次的目的.
典例精讲
【题型一】用因式分解法解一元二次方程
例 1： 用因式分解法解下列方程：
所拼的图形画在虚线方框内.
a=0或b=0
总结:1.如果 ab=0,那么________.
等于0
2.因式分解法：当一元二次方程的一边________，而另一边易于分解
成 两个一次因式的积
时，令每个因式分别为就是原方程的解，这种解方程的
方法称为因式分解法.
等于0
3.一般步骤如下：(1)整理方程使其右边________；
力，学会在合作交流中归纳总结出不同方法解方程的特点，提
高学生解决问题的能力.
旧知回顾
1.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法？
（直接开平方法、配方法、公式法）
2.分解因式的方法有哪些？
（提公因式法、公式法）
对于方程x2-2x=0，除了可以用配方法或公式法求解，还
可以怎样求解呢?观察和分析小亮的思考及解法，你认为
解: 设t=x+y,则原方程变形为(t-3)(t+4)=-10,
整理得t²+t-2=0,(t+2)(t-1)=0,
解得t₁=-2,t₂=1,
∴x+y=-2或x+y=1.
典例精讲
【题型二】用换元法解方程
变式 1: 解方程:²+ + +
²
= .
2.2.3因式分解法 课件2024-2025学年湘教版九年级数学上册
课堂总结
如何选择合适的方法解一元二次方程：
1.若方程具有(x+a)2=b(b≥0)的形式，可用直接开平方法求解.
2.当一元二次方程一边为0.另一边易于分解成两个一次因式的积时，
可用因式分解法求解.
3.公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一
般形式，确定a,b,c的值.在b2-4ac≥0的条件下代入公式求解.
2.解方程(x＋5)(x－3)＝0时，最合适的方法是( C )
A．直接开平方法
B．配方法
C．因式分解法
D．公式法
3.若三角形三边的长均能使代数式(x－6)(x－3)的值为零，则此三角形
9或15或18
的周长是__________.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.解方程x2－2x＝99，最好的方法是( B )
新知导入
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)移项:把方程右边化为0.
(2)化积:把方程左边分解成两个一次式的乘积的形式.
(3)转化:令两个一次式分别等于0,得到两个一元一次方程.
(4)求解:解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
新知导入
思考：解一元二次方程有哪些方法？
1.直接开平方法
10
2
,x2=-1-
10
.
2
新知导入
(2) 2x2+4x-3=0；
3
2
解：将二次项系数化为1，得：x +2x- =0，
配方法：
2
3
2
移项得x +2x= .
2
配方，得
3
2
x +2x+1= +1,
用因式分解法解一元二次不等式
0 0
,
或者（2）xx
x1 x2
0 0
问题：不等式 ax2 bx c 0 如何解？
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示范例题
例1 解不等式（x+4）（x-1）＞0 例2 解不等式 t t
在此实际情境下，时间t 应大于0
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巩固练习
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本课小结
知识要点
1 用因式分解法解一元二次不等式
2 因式分解的一般方法：
若x1, x2是一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的两个实根，则 ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 )
3 注意到当解答有实现背景的数学题时， 应该结合实际情况得到答案.
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布置作业
ห้องสมุดไป่ตู้ 习题册P18
习题2.2（2）/A组2、3
B组
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因式分解
预备知识
若x, x是一元二次方程 ax bx c (a ) 的两个实根，则
ax bx c a( x x )( x x )
例如：x²+2x-3
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新课导入
用因式分解法解一元二次不等式
x2 2x 3 0
返回
双基讲解
1 用因式分解法解一元二次不等式
x (1)x
x1 x2
2022年初中数学精品《因式分解法解一元二次方程》word版精品教案
2．2.3因式分解法第1课时因式分解法解一元二次方程1．理解并掌握用因式分解法解方程的依据．2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．一、情境导入我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求(x＋3)(x－5)＝0的解吗？二、合作探究探究点：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次多项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，所以x＝0或x＋5＝0，所以原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0；所以(x－5)[(x－6)－1]＝0；所以(x－5)(x－7)＝0；所以x－5＝0或x－7＝0；所以原方程的解为x1＝5，x2＝7.方法总结：先将方程右边化为0，观察方程左边是否有公因式，若有公因式，就能利用提公因式法快速分解因式．【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用公式法分解因式解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x 2－6x ＋9＝0，则(x －3)2＝0，所以x －3＝0，因此原方程的解为：x 1＝x 2＝3.(2)[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0；[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0；(7x －16)(－3x ＋4)＝0；∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0；∴原方程的解为x 1＝167，x 2＝43. 方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．三、板书设计因式分解法⎩⎪⎨⎪⎧理论依据：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0提公因式法分解因式公式法分解因式利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键．因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用因式分解法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法．10.5 一次函数与一元一次不等式教学目标【知识与能力】了解一元一次不等式与一次函数的关系。
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2.2.3 因式分解法
第1课时因式分解法解一元二次方程
基础题
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1．(河南中考)方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )
A．x＝2 B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
2．小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是( ) A．x＝4 B．x＝3
C．x＝2 D．x＝0
3．(武侯区一模)方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是( )
A．x1＝1，x2＝－2 B．x1＝3，x2＝－2
C．x1＝0，x2＝－2 D．x1＝x2＝1
4．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A．(2x－2)(3x－4)＝0化为2x－2＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
5．利用因式分解法解方程：
(1)2x2－3x＝0；
(2)4x2－12x＋9＝0；
(3)x2＋x＝0；
(4)4x2－121＝0.
知识点2 能化成(x－d)(x－h)＝0的形式的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的解法
6．经计算整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则一元二次方程x2－3x－4＝0的根是( ) A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4
7．(云南中考)一元二次方程x2－x－2＝0的解是( )
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2
C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2
8．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝－4，x2＝3，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( ) A．(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x＋4)
C ．(x ＋3)(x －4)
D ．(x －3)(x －4)
9．(岳阳中考)方程x 2－3x ＋2＝0的根是________．
10．用因式分解法解方程：
(1)x 2－2x －8＝0；
(2)x 2－7x ＋10＝0.
中档题
11．方程3x(x ＋1)＝3x ＋3的解为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x 1＝0，x 2＝－1
D ．x 1＝1，x 2＝－1
12．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b
＝( ) A ．－5 B ．－4 C ．1 D ．3
13．(宁津县模拟)现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如：4★5＝42－3×4＋5，若x★2
＝6，则实数x 的值是( )
A ．－4或－1
B ．4或－1
C ．4或－2
D ．－4或2
14．若用因式分解法解一元二次方程4(x ＋2)2－9(2x －1)2＝0，首先将左端的式子用________公式分解为
________________________________，从而求得方程的根为x 1＝________，x 2＝________．
15．(新余模拟)分式x 2
－2x －3x ＋1
值为0，则x ＝______． 16．一小球竖直向上从地面弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)近似地满足关系式：h ＝15t －5t 2，则小球落回地面时t ＝________s.
17．用因式分解法解下列方程：
(1)5(2x －1)＝(1－2x)(x ＋3)；
(2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；
(3)(x －4)2＝(5－2x)2；
(4)(广州中考)x 2－10x ＋9＝0.
18．小明和小亮一起解方程x(2x ＋3)－5(2x ＋3)＝0.
小明的解法：因式分解，得(2x ＋3)(x －5)＝0.
∴2x ＋3＝0或x －5＝0.
∴方程的两个解为x 1＝－32
或x 2＝5. 小亮的解法：移项，得x(2x ＋3)＝5(2x ＋3)．
方程两边都除以(2x ＋3)，
得x ＝5. 小明和小亮两人谁的解法正确？为什么？
综合题
19．(襄阳中考改编)若正数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，
求a 的值．
参考答案
基础题
1．D 2.D 3.B 4.A
5.(1)把方程左边因式分解，得x(2x －3)＝0，由此得x ＝0或2x －3＝0，解得x 1＝0，x 2＝32. (2)(2x －3)2＝0.∴x 1＝x 2＝32. (3)x(x ＋1)＝0.∴x 1＝0，x 2＝－1. (4)(2x ＋11)(2x －11)＝0，∴x 1＝－112
，x 2＝112
. 6.B 7.D 8.B 9.x 1＝1，x 2＝2
10.(1)(x －4)(x ＋2)＝0.所以x 1＝4，x 2＝－2. (2)x 2－7x ＋10＝0，(x －2)(x －5)＝0，所以x 1＝2，x 2＝5.
中档题
11.D 12.A 13.B 14.平方差 [2(x ＋2)＋3(2x －1)][2(x ＋2)－3(2x －1)]＝0 －18 74
15.3 16.3 17.(1)5(2x －1)＋(2x －1)(x ＋3)＝0.(2x －1)[5＋(x ＋3)]＝0，即(2x －1)(x ＋8)＝0.∴2x－1＝0或x ＋8＝0.∴x 1
＝12，x 2＝－8. (2)3x(2x ＋1)＝2(2x ＋1)，(3x －2)(2x ＋1)＝0，∴x 1＝－12，x 2＝23
. (3)(x －4)2－(5－2x)2＝0，(x －4＋5－2x)(x －4－5＋2x)＝0，即(－x ＋1)(3x －9)＝0.∴x 1＝1，x 2＝3. (4)(x －1)(x －9)＝0，∴x 1＝1，x 2＝9.
18.小明的解法对．因为小亮在方程两边都除以(2x ＋3)时，前提是要保证2x ＋3≠0，即x≠－32，而当x ＝－32
时，原方程也是成立的，所以小亮的解法错误．
综合题
19．∵a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，∴a 2－5a ＋m ＝0.① ∵－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个
根，∴ a 2－5a －m ＝0.② ①＋②，得2(a 2－5a)＝0.∵a＞0，∴a ＝5.。