2020年中考数学三角形专题练习(含答案)

2020年中考数学三角形专题练习
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一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边高的交点D．三边垂直平分线的交点
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
4．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）
A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°5．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）
（1）a＝b，∠A＝45°
（2）∠A＝32°，∠B＝58°，
（3）a＝5，b＝12，c＝13，
（4）a＝52，b＝122，c＝132，
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（）
A．36°B．39°C．38°D．40°
7．如图是由11个等边三角形拼成的六边形，若最小等边三角形的边长为a，最大等边三角形的边长为b，则a与b的关系为（）
A．b＝3a B．b＝5a C．b＝a D．b＝a
8．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若AC＝24，则△BMN的周长是（）
A．36 B．24 C．18 D．16
9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG＝AE．分别延长CE，BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P 作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；
②PF＝P A；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二．填空题（每题3分，共30分）
11．如图，△ABC为等边三角形，D、E分別是AC、BC上的点，且AD＝CE，AE与BD 相交于点P，BF⊥AE于点F．若PF＝4，PD＝1，则AE的长为．
12．已知等腰△ABC中，顶角∠A为36°，BD平分∠ABC交AC于D，那么AD：AC ＝．
13．如图，等边△ABC外一点P，连接AP、BP、CP，AH垂直平分PC于点H，∠BAP 的平分线交PC于点D，连接BD，有以下结论：①DP＝DB；②DA+DB＝DC；③DA ⊥BP；④若连接BH，当△BDH为等边三角形时，则CP＝3DP，其中正确的有．（只需要填写序号）
14．已知点O是三角形ABC的重心，DE经过点O且平行于BC，则△ADE与四边形DBCE的面积比为．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB ＝5cm，AC＝3cm，BC＝4cm，则△DEB的周长为．
16．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝2，△ABC平移的距离为．
17．在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD＝6，那么AG＝．18．如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，若S△ABC＝4，则S△DOE＝．
19．在△ABC中，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC＝，AB＝．
20．如图，∠MAN是一个钢架结构，已知∠MAN＝15°，在角内部构造钢条BC，CD，DE，……且满足AB＝BC＝CD＝DE＝……则这样的钢条最多可以构造根．
三．解答题（每题8分，共40分）
21．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边AC上，AE⊥BD于E．
（1）如图1，作CF⊥BD于F，求证：CF﹣AE＝EF；
（2）如图2，若BC＝CD，求证：BD＝2AE；
（3）如图3，作BM⊥BE，且BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接CM交BE于N，请直接写出△BCM的面积为．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝25°，求∠A的度数．
23．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC 于E，点F是AE的中点．
（1）线段FD与线段FC的数量关系，位置关系；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转a（0°＜a＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF
的范围．
24．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．求证：E是CD的中点．
25．△ABC是等边三角形，BD是角平分线，过点D作DE⊥AB于E，交BC边的延长线于点F，AE＝2．
（1）求证：△DCF是等腰三角形；
（2）求BF的长．
参考答案一．选择题
1．解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：A．
2．解：作DE⊥AB于E，如图，
在Rt△ABC中，BC＝＝8，
∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，
设DE＝DC＝x，
S△ABD＝DE•AB＝AC•BD，
即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，
即点D到AB边的距离为3．
故选：C．
3．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°．
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝40°
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
故选：B．
4．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝＝70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．
故选：D．
5．解：（1）∵a＝b，∠A＝45°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵∠A＝32°，∠B＝58°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）a＝5，b＝12，c＝13，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形；
（4）a＝52，b＝122，c＝132，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形．
∴是直角三角形的有（1）（2）（3）．
故选：C．
6．解：∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠PDF，∠CBP＝∠PBA，
∵∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP＝∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C＝2∠P，
∵∠A＝40°，∠P＝38°，
∴∠C＝2×38°﹣40°＝36°，
故选：A．
7．解：设第二个小的等边三角形的边长为x，则第三个小的等边三角形的边长为：x+a，第四个小的等边三角形的边长为：x+2a，最大的个小的等边三角形的边长b＝x+3a，又∵b＝3x，
∴3x＝x+3a，
∴x＝a，
∴b＝3x＝a，
故选：D．
8．解：∵直线ME为线段AB的垂直平分线，
∴MA＝MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
又直线NF为线段BC的垂直平分线，
∴NB＝NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△BMN的周长＝BM+MN+BN＝AM+MN+NC＝AC＝24（等量代换），故选：B．
9．解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∠A＝∠CBD＝45°，
∵EH平分∠AEG，
∴∠AEH＝∠GEH
∵∠AEH+∠AEC＝180°，∠GEH+∠CEG＝180°，
∴∠AEC＝∠CEG，
∵AE＝GE，EC＝EC，
∴△AEC≌△GEC（SAS），
∴CA＝CG，∠A＝∠CGE＝45°，
∵∠EDG＝90°，
∴∠DEG＝∠DGE＝45°，
∴DE＝DG，∠AEF＝∠DEG＝∠A＝45°，故②正确，
∴∠AFE＝∠CFG＝90°，
∴∠FCG＝∠FGC＝45°，
∴CF＝FG，
∵∠ADC＝∠GFC＝90°，∠ACD＝∠GCF，AC＝GC，
∴△ADC≌△GFC（AAS），
∴AD＝CF＝FG，∵AE＝EG，
∴EF＝DE，
∵DE＝DG，∠CDE＝∠BDG＝90°，DC＝DB，
∴△EDC≌△GDB（SAS），
∴∠ECD＝∠DBG，EC＝GB，
∵∠DHC＝∠DHB，∠HCD＝∠HBD，HD＝HD，∴△HDC≌△HDB（AAS），
∴HC＝HB，
∴HE＝EG，
∵∠DHE＝∠DHG，DH＝DH，
∴△HDE≌△HDG（SAS），
∴∠HDG＝∠HDE＝45°，故①正确，
∴DE＝DM，
EF＝DE≠2DM，故③错误，
作ET∥AC交CD于T．
∵∠DET＝∠A＝45°，∠DTE＝∠ACD＝45°，
∴DE＝DT＝DG，
∵DA＝DC，
∴AE＝CT，
∴CG＝CT+TG＝AE+2DG，故④正确，
故选：B．
10．解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
在△ABP和△FBP中，，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，P A＝PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH＝PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC．
∴∠BAC＝∠C．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD＝∠CAE，BD＝AE，
∴∠APD＝∠ABP+∠P AB＝∠BAC＝60°．
∴∠BPF＝∠APD＝60°．
∵∠BFP＝90°，∠BPF＝60°，
∴∠PBF＝30°．
∴BP＝2PF＝8，
∵PD＝1，
∴BD＝BP+PD＝9，
∴AE＝BD＝9．
故答案为9．
12．解：假设AB＝AC＝1，
那么在△ACB和△BCD中，
∠C＝∠C，
∠A＝∠CBD＝36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC＝BC：DC，
∴AC：BC＝BC：DC，
而BC＝BD＝DA（等腰的性质）
所以设AD＝x，那么CD＝1﹣x，
1：x＝x：（1﹣x），
所以舍负根，得到：x＝，
∴AD：AC＝．
13．解：①∵AH是PC的垂直平分线，∴P A＝AC＝AB，
∵AD平分∠P AB，
∴∠P AD＝∠BAD，
在△P AD和△BAD中，
，
∴△P AD≌△BAD（SAS），
∴DP＝DB；故①符合题意；
②在CP上截取CQ＝PD，连接AQ，如图所示：
∵AP＝AC，
∴∠APD＝∠ACQ，
在△APD和△ACQ中，
，
∴△APD≌△ACQ（SAS），
∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠P AD，
∴∠BAC＝∠CAQ+∠BAQ＝∠P AD+∠BAQ＝∠BAD+∠BAQ＝∠DAQ＝60°，∴△ADQ为等边三角形，
∴DA＝DQ，
∴DC＝DQ+CQ＝DA+DB，
即DA+DB＝DC．故②符合题意；
③∵AB＝AP，AD平分∠P AB，
∴AD⊥PB，故③符合题意；
④∵AH垂直平分PC，
∴PH＝CH，
∵△BDH为等边三角形，
∴DB＝DH，
∵PD＝DB，
∴PD＝DH，
∴PH＝2PD，
∴CP＝4PD，故④不合题意，
故答案为：①②③．
14．解：连接AO并延长交BC于F，如图，
∵点O是三角形ABC的重心，
∴OA＝2OF，
∴AO：AF＝2：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为4：5．
故答案为4：5．
15．解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE，
在Rt△ADC和△ADE中
，
∴Rt△ADC≌△ADE（HL），
∴AE＝AC＝3，
∴BE＝AB＝5﹣3＝2，
∴△DEB的周长＝BE+BD+DE＝BE+BD+CD＝BE+BC＝2+4＝6（cm）．故答案为6cm．
16．解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥EG，
∴△ABC∽△GEC，
∴＝（）2＝，
∴BC：EC＝：1，
∵BC＝2，
∴EC＝，
∴△ABC平移的距离为：BE＝2﹣，
故答案为2﹣．
17．解：∵AD、BE为△ABC的中线，且AD与BE相交于点G，∴G点是三角形ABC的重心，
∴AG＝＝＝4，
故答案为4．
18．解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝，
∴△DOE∽△BOC，
，
∴S△DOE＝S△BDE＝S△ABD＝S△ABC＝＝，
故答案为．
19．解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，
则4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48，AB＝28；
②AC+CD＝40，AB+BD＝60，
则4x+x＝40，x+y＝60，
解得：x＝8，y＝52，
即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，
此时不符合三角形三边关系定理；
综合上述：AC＝48，AB＝28．
故答案为：48；28．
20．解：∵BC＝AB，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠DBC＝∠BCA+∠A＝30°．
同理，∠CDB＝∠DBC＝30°，
∴∠DCE＝∠CDB+∠A＝45°，∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠FDE＝∠DEC+∠A＝60°，∠DFE＝∠FDE＝60°，
∴∠FEM＝∠DFE+∠A＝90°．
再作与AB相等的线段时，90°的角不能是底角，则最多能作出的线段是：BC、CD、DE、EF共有5条．
故答案是：5．
三．解答题（共5小题）
21．（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∴CF﹣AE＝BE﹣BF＝EF；
（2）证明：如图1，过点C作CF⊥BD于点F，
∵BC＝CD，
∴BF＝DF，
由（1）得AE＝BF，
∴AE＝DF，
∴BD＝2AE；
（3）解：如图2，过点C作CG⊥MB，交MB的延长线于点G，过点C作CH⊥BE，交BE于点H，
∵BM⊥BE，CH⊥BE，CG⊥MB，
∴∠NBG＝∠CHB＝∠CGB＝90°，
∴四边形BGCH为矩形，
∴BG＝HC，BH＝GC，
由（1）得△AEB≌△BHC，
∴AE＝BH，BE＝CH，
∵BM＝BE，
∴BM＝CH，
∵∠MBN＝∠CHN＝90°，∠MNB＝∠CNH，∴△BMN≌△HCN（AAS），
∴BM＝CH，BN＝HN，
∵AE＝BH＝2，
∴BN＝1，
∴BE＝BM＝BN+EN＝1+4＝5，
∴＝．
故答案为：5．
22．（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ECD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝25°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
23．解：（1）如图1中，
∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠F AD＝∠FDA，∠F AC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠F AD＝2∠F AD，∠EFC＝∠F AC+∠FCA＝2∠F AC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠F AD+∠F AC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC，
故答案为：DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．
∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3
如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．
综上所述，≤BF≤3．
24．证明：作EF⊥AB于点F，
∵∠C＝∠D＝90°，E是CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC，∴EF＝ED，EF＝EC，
∴ED＝EC，
∴点E为CD的中点．
25．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝AC，∵DE⊥AB于E，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，
∴CD＝AD＝2AE＝4，
∴∠CDF＝∠ADE＝30°，
∴∠F＝∠ACB﹣∠CDF＝30°，
∴∠CDF＝∠F，
∴DC＝CF，
∴△DCF是等腰三角形，
（2）∵DC＝CF，
∴BF＝BC+CF＝2AD+AD＝12。