中职升学数学试卷及答案

中职升学数学试卷
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在下列每小题中，选出
一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）1．若集合{1,2}M =，{2,3}N =，则M N 等于（
）
A ．{2}
B ．{1}
C ．{1,3}
D ．{1,2,3}
2．若函数()cos()f x x ϕ=+（πϕ≤≤0）是R 上的奇函数，则ϕ等于（）
A ．0
B ．
4
πC ．
2
πD ．π
3．函数2
()f x x mx n =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是（
）
A．2
m =-B．2
m =C．2
n =-D．2
n =4．已知向量(1,)a x = ，(1,)b x =- ．若a b ⊥
，则||a 等于
（）
A ．1
B C ．2
D ．4
5．若复数z 满足(1)1i z i +=-，则z 等于（）
A ．1i
+B ．1i
-C ．i
D ．i
-6．若直线l 过点(1,2)-且与直线2310x y -+=平行，则l 的方程是（）
A．3280x y ++=B．2380x y -+=C．2380
x y --=D．3280
x y +-=7．若实数x 满足2
680x x -+≤，则2log x 的取值范围是（
）
A．[1,2]
B．(1,2)
C．(,1]
-∞D．[2,)
+∞8．设甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为a ，则方程012
=++ax x 有两个不相等实根的概率为（
）
A ．
3
2B ．
3
1C ．
2
1D ．
12
5
9．设双曲线22
221x y a b
-=（0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为，则此双曲线的渐近线
方程为（
）
A．y =B．2y x
=±C．2
2
y x =±
D．12
y x =±
10．若偶函数()y f x =在(,1]-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（
）
A ．3()2
f -<(1)f -<(2)f B ．(1)f -<3()2f -<(2)
f C ．(2)f <
(1)f -<3
()
2
f -D ．(2)f <3
()2
f -<(1)
f -11．若圆锥的表面积为S ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（）
B．D．12．若过点(3,0)A 的直线l 与圆C ：2
2
(1)1x y -+=有公共点，则直线l 斜率的取值范围
为
（
）
A．(B．[C．33()33
-
D．33[,]33
-
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．sin150︒=．
14．已知函数()f x 1
1
x =
+，则[(1)]f f =．
15．用数字0，3，5，7，9可以组成个没有重复数字的五位数（用数字作答）．
16．在ABC ∆中，==
==B A b a 2cos ,2
3
sin ,20,30则．
17．设斜率为2的直线l 过抛物线2
2y px =(0)p >的焦点F ，且与y 轴交于点A ．若
OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则此抛物线的方程为
．
18．若实数x 、y 满足220x y +-=，则39x y
+的最小值为
．
三、解答题（本大题7小题，共78分）
19．（6分）设关于x 的不等式||x a -<1的解集为(,3)b ，求a b +的值．
20．（10分）已知函数x x x f cos )tan 31()(+=．
（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若21)(=
αf ，)3
,6(π
πα-∈，求αsin 的值．21．（10分）已知数列{n a }的前n 项和为n S 2
n n =-，n N +∈．
（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设2
n
a n
b =1+，求数列{n b }的前n 项和n T ．
22．（10分）对于函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．
已知2
()(1)(1)f x ax b x b =+++-．
（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）假设1
2
a =
，求证：对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点．23．（14分）甲、乙两位选手互不影响地投篮，命中率分别为3
1
与p ．假设乙投篮两次，均未命中的概率为
25
4
．（1）若甲投篮4次，求他恰命中3次的概率；（2）求乙投篮的命中率p ；
（3）若甲、乙两位选手各投篮1次，求两人命中总次数ξ的概率分布与数学期望．
24．（14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =．
（1）证明：当点E 在棱AB 上移动时，11D E A D ⊥；
（2）当E 为AB 的中点时，求①二面角1D EC D --的大小（用反三角函数表示）；
②点B 到平面1ECB 的距离．
25．（14分）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的离心率为23，且该椭圆上的点到右
焦点的最大距离为5．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，且过点(9,)D m 的直线DA 、DB 与此椭圆的另一个交点分别为M 、N ，其中0m ≠．求证：直线MN 必过x 轴上一定点（其坐标与m 无关）．
数学试题答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）题号123456789101112答案
D
C
A
B C
B
A
A
C
D
B D
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．
12
14．
23
15．96
16．
13
17．2
8y x
=18．6
三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（本小题6分）
解：由题意得
11x a -<-<，………………………………………………………………1分11a x a -+<<+，…………………………………………………………1分113
a b a -+=⎧⎨
+=⎩，………………………………………………………………
2分
解得21
a b =⎧⎨
=⎩，………………………………………………………………
1分所以3a b +=．
…………………………………………………………
1分
20．（本小题10分）
解：（1）由题意得
()cos f x x x
=+
…………………………………………………1分
2sin(6
x π
=+，……………………………………………………2分
所以函数()f x 的最小正周期2T π=．……………………………
1分
（2）由1()2f α=
得1
sin(64
πα+=，…………………………………………………………1分
因为(,)63ππα∈-
，所以(0,)62
ππ
α+∈，…………………………1分
15
cos(64
πα+=，…………………………1分
从而sin sin[()]66ππαα=+
-sin(cos cos()sin
6666
ππππ
αα=+-+131514242=⨯-315
8
-=．…………………………3分21．（本小题10分）
解：（1）当1n =时，2
11110a S ==-=，
………………………………1分
当2n ≥时，1
n n n a S S -=-22()[(1)(1)]
n n n n =-----22n =-，……………………………………………
2分综合得
22n a n =-，n ∈N +
………………………………………
2分（2）22
212
1n a
n n b -=+=+141n -=+，
…………………………………
1分
21(1444)n n T n -=+++++ 1(14)14n n ⨯-=+-41
33
n n =+-．
…………………………………
4分
22．（本小题10分）
（1）解：由题意得
2(21)(21)x x x +-++--=，
……………………………1分
即2
230x x --=，解得11x =-，23x =，
……………………………………
2分所以函数()f x 的不动点是1-和3．
……………………………
1分
（2）证明：由题意得
2
1(1)(1)2x b x b x +++-=，①……………………………1分即2
1(1)02
x bx b ++-=，……………………………
1分
因为判别式2
2(1)
b b ∆=--222
b b =-+……………………………2分
2(1)1b =-+0>，
……………………………1分
所以方程①有两个相异的实根，
即对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点．
……1分
23．（本小题14分）
解：（1）记甲投篮4次，恰命中3次的概率为1P ，由题意得
1P =3
34
128C (3381
⨯⨯=．……………………………4分
（2）由题意得
24(1)25
p -=
，……………………………
3分解得35
p =
．……………………………………………
1分（3）由题意ξ可取0，1，2，
…………………………………
1分
154
)531()311()0(=-⨯-==ξP ，
158
53311(531(31)1(=⨯-+-⨯==ξP ，
15
3
5331)2(=
⨯==ξP ．所以ξ的概率分布列为
……………………………………………3分
15
14
153215811540)(=
⨯+⨯+⨯
=ξE ．……………………………………2分24．（本小题14分）
（1）证明：连接1AD ．在长方体1111ABCD A B C D -中，
因为1AD AA =，所以11AA D D 为正方形，从而11AD A D ⊥．
因为点E 在棱AB 上，所以1AD 就是1ED 在平面11AA D D 上的射影，从而11D E A D ⊥．
……………………………………………
4分
ξ
12P
15
415
815
3
（2）解：①连接DE ．由题意知11AD AA ==，1AE EB ==．
在Rt DAE ∆中，DE ==，
在Rt EBC ∆中，EC ==
，
从而2
2
24DE EC DC +==，所以EC DE ⊥，又由1D D ⊥面ABCD 知1D D EC ⊥，即1EC D D ⊥，从而EC ⊥面1D DE ，所以1EC D E ⊥，因此1D ED ∠是二面角1D EC D --的平面角．…………………
2分
在1Rt D DE ∆中，11tan
2D D D ED DE ∠=
=，得1D ED ∠2
arctan
2
=，
即二面角1D EC D --的大小为arctan 2
．…………………
3分
②设点B 到平面1ECB 的距离为h ，
由11EB BC BB ===知11EC B C B E ===
123342
ECB S ∆=
=．……………………………
1分
因为11B ECB B ECB
V V --=，
所以
1111
33
ECB ECB S h S BB ∆∆⋅=⋅，即131113232h ⋅
⋅=⋅⋅，所以3
3
h =，故点B 到平面1ECB 的距离为
3
3
．……………………………4分
25．（本小题14分）
解：（1）设右焦点为)0,(c ，则由题意得
⎪⎩⎪⎨⎧=+=5
32
c a a c ，……………………………………………2分
解得⎩⎨
⎧==2
3c a ，所以5492
22=-=-=c a b ，
椭圆C 的方程为15
92
2=+y x ．………………………………………2分
（2）由（1）知)0,3(),0,3(B A -,
直线DA 的方程为)3(12+=
x m
y ………………………………………1分直线DB 的方程为)3(6
-=x m
y ………………………………………1分
设点M 的坐标为),(11y x ，点N 的坐标为),(22y x ，
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=159
)3(122
2
y x x m y ，………………………………………1分
得0451291254)1295(2
2222222=-+++m x m x m ，
由于),
0,3(-A M ),(11y x 是直线DA 与此椭圆的两个交点，
所以
2
2
2
2
2112
95451293m m x +-=⋅-，解得2
2
1803240m
m x +-=，从而2118040)3(12m m x m y +=+=．…………2分
由
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=159
)3(62
2y x x m y ，………………………………………1分
得0456
9654)695(22
22
2222=-+-+m x m x m ，由于),
0,3(B N ),(22y x 是直线DB 与此椭圆的两个交点，
所以
2
22
2
226
9545693m m x +-=⋅，
解得2222060
3m m x +-=，从而22
22020)3(6m m x m y +-=-=．…………2分若21x x =，则由2
22220603803240m
m m m +-=+-，得402
=m 此时121==x x ，从而直线MN 的方程为1=x ，它过点E )0,1(；若21x x ≠，则402
≠m ，
直线ME 的斜率2
22240101
8032408040m
m m m m m
k ME
-=-+-+=，直线NE 的斜率2
2
2240101206032020m m m
m m m
k NE
-=
-+-+-=，得NE ME k k =,所以直线MN 过点)0,1(E ，
因此直线MN 必过x 轴上的点)0,1(E ．………………………………2分。