(整理)第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件

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2.6 麦克斯韦方程组 2.7电磁场的边值关系

1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；

2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；

3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。 重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质; 2) 电磁场的边值关系 难点： 电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时

2.6 麦克斯韦方程组（Maxwell ’s Equations ）

一、麦克斯韦方程

t S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-=

ε

1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文 中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：

0000

1(1)(2)

0(3)

(4)

B

E E t

E B B J t

ρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-

⎪

∂⎪

⎨∂⎪

∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩

实验定律

3、法拉第电磁感应定律

4、电荷守恒定律 12

3

14dq dq dF R

R πε=S

D dS q

⋅=⎰

l

E dl

⋅=⎰3

4JdV R dB R μπ⨯=

0S B dS ⋅=⎰(

)0

=⋅∇B C

H dl I ⋅=⎰(

)

J

H =⨯∇t

B E ∂∂-

=⨯∇ 0=∂∂+⋅∇t J ρ 0J ∇⋅≡

两对

矛

盾的解决？

麦克斯韦理论

稳恒情况

缓变情况

2、毕奥－沙伐尔定律

1、库仑定律

(

)

/ερ=⋅∇E

(

)

=⨯∇E t

S d B dt d S ∂⎰⋅∂-

=Φ

-= ε0S Q

J dS t

∂⋅+

=∂⎰→

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上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。 二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性

麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。 2、自洽性

方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。

如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()

0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇t

B

E

⇒C B =⋅∇ ，考虑到

静磁时0=⋅∇B

,所以取0=C 。

又如（1）式和（4）式是一致的，且联立（1）(4)可以得到电荷守恒定律。

3、独立性

即麦克斯韦方程组中任一方程，都不可能由其余的方程推导出来。 4、对称性（只作简单介绍）

无源区（自由场）：0,0==ρJ

,麦克斯韦方程可以写为：

00

0(1)(2)

0(3)

(4)

B

E E t E B B t

με⎧

∂∇⋅=∇⨯=-

⎪⎪∂⎨

∂⎪∇⋅=∇⨯=⎪∂⎩

如对方程中的场量作如下代换：

'

'

,E B c B c E -→→ （001

εμ=c ）

则上述麦克斯韦方程变为：

'

''

00

'''

0(1)(2)

0(3)

(4)

E B B t B E E t

με⎧∂∇⋅=∇⨯=⎪⎪∂⎨

∂⎪∇⋅=∇⨯=-

⎪∂⎩

上式表明自由空间的麦克斯韦方程组的形式不变（只是方程的次序发生了改变），

即如果()

B E ,存在，则()c E B B c E =-='',也必存在，并称()'',B E 为(

)

B E

,的对

偶场。

有源区：0,0≠≠ρJ

，无对偶不变性（对称性破缺），其根源在于方程中源的

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不对称，即不存在磁荷。但若引入m ρ（磁荷）和m J

（磁流），使方程变为：

000000

(1)(2)

(3)

(4)

m m B

E E J t E

B B J t

ρεμμρ

μμε⎧

∂∇⋅=∇⨯=--⎪⎪∂⎨

∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩

则可对场和源进行对偶变换，而使方程的形式不变：

场：'

',

E B c B c E -→→ 源：e m m e c c ρρρρ-→→,'

；e m m e J c J c J J -→→,' 例如：对（2）式进行变换，有：

()()

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-∂∂---=⨯∇c E t J c B c e ''0'

μ

注意到001

εμ=c ，化简得：

t E

J B e ∂∂+=⨯∇'

00'0' εμμ

与（4）式一致，这表明对应()

B E ,场，一定存在对偶场()

'

',B E 。

5、完备性（不作证明，有兴趣的学生自己证明）

完备性是指给定电荷、电流分布和相应的初始条件和边界条件后，方程组能给出 唯一正确的解。 证明：用反证法

如果有两个不同的解()11,B E 、()

22,B E

同时满足麦克斯韦方程和相应的初始条件、

边界条件。设21E E E -=、21B B B

-=,显然，它们满足无源自由空间的麦克斯韦方

程。即：

0=⋅∇E , t

B E ∂∂-=⨯∇ ， 0=⋅∇B , t E

B ∂∂=⨯∇ 00εμ

及齐次边界条件：0S

S

E B ==和齐次初始条件：0S

S

E B ==。

因此，,E B 对应的体系是无源的、无初始扰动、边界上值恒为零的体系。对于 这样一个电磁场，我们来计算如下积分：

001

V d I E E B B dV d t εμ⎛⎫=

⋅+⋅ ⎪⎝⎭

⎰