【典型题】数学高考试卷(及答案)
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（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 y （单位：百万元）与月份代码 x 之间的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该公司 2019 年 3 月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 A, B 两种型号的新型材料 可供选择，按规定每种新型材料最多可使用 4 个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏 的年限不同，现对 A, B 两种型号的新型材料对应的产品各100 件进行科学模拟测试，得到
【典型题】数学高考试卷(及答案)
一、选择题
1．定义运算
a
b
a(a b(a
b) b)
，则函数
f
(x)
1
2x
的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
2．{x1
3
是{x1
x2
6
成立的（
）
x2 3 x1x2 9
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
3．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是
三、解答题
21．已知平面直角坐标系 xoy .以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的
极坐标为
2
3,
6
，曲线
C
的极坐标方程为
2
2
3 sin 1
（1）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程；
x 3 2t
（2）若 Q
为
C
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线 l
:
y
2
t
（2）若 C 上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C 上的动点，求 中点 到直线
（t 为参数）距离的最小值．
24．已知函数 f (x) m x 1 x 1 .
（1）当 m 5 时，求不等式 f (x) 2 的解集； （2）若二次函数 y x2 2x 3 与函数 y f (x) 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．设函数
f
x
log2
log
1 2
x, x 0 (x), x
0
，若 f (a) f (a) ，则实数 a 的取值范围是
__________．
14．曲线 y x2 1 在点（1，2）处的切线方程为______________． x
15．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了
B．{1}
C．{1, 2}
D．{0,1, 2}
7．设 i 为虚数单位，复数 z 满足 2i 1 i ，则复数 z 的共轭复数等于（ ） z
A．1-i
B．-1-i
C．1+i
D．-1+i
8．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A、B)且 PA＝
AC，则二面角 P－BC－A 的大小为( )
A． 60
B． 30
C． 45
9．在△ ABC 中， P 是 BC 边中点，角 A、B、C 的对边分别是
D．15
，若
c AC aPA bPB 0 ，则△ ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形.
10．函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－ <φ< )的部分图象如图所示，则 ω、φ 的 22
围. 25．如图所示，在四面体 PABC 中，PC⊥AB，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中 点，求证： (1)DE∥平面 BCP； (2)四边形 DEFG 为矩形．
26．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续 六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
值分别是( )
A．2，－ 3
B．2，－ 6
C．4，－ 6
D．4， 3
11．在 ABC 中，若 AB 13, BC 3, C 120 ，则 AC =（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．若 a 0,b 0 ，则“ a b 4”是 “ ab 4 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
线段
BC
和
CD
上,且
BE
2 3
BC,
DF
1 6
DC , 则
AE
AF
的值为
．
19．等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C AB D 的余弦值为
3 ， M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于 ． 3
20．在 ABC 中，若 AB 13 ， BC 3， C 120 ，则 AC _____．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序
为
A．甲、乙、丙 C．丙、乙、甲
B．乙、甲、丙 D．甲、丙、乙
6．已知集合 A {x | x 1 0} ， B {0,1, 2} ，则 A B
A．{0}
（）
A．①③④
B．②④
C．②③④
D．①②③
4．给出下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确说法的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的
数字是________．
16．函数 f x sin2x
3cosx
3 4
（
x
0,
2
பைடு நூலகம்
）的最大值是__________．
17．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，
（t
为参数）距离的最小值.
22．已知函数 f (x) ax x 2 (a 1) ． x 1
（1）证明：函数 f (x) 在 (1, ) 上为增函数；
（2）用反证法证明： f (x) 0 没有负数根．
23．已知曲线 C ：
（t 为参数）， C ：
（ 为参数）．
（1）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年 级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 _______名学生．
18．在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB DC , AB 2, BC 1, ABC 60 , 点 E 和点 F 分别在
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 A, B 两种型号的新型材料 可供选择，按规定每种新型材料最多可使用 4 个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏 的年限不同，现对 A, B 两种型号的新型材料对应的产品各100 件进行科学模拟测试，得到
【典型题】数学高考试卷(及答案)
一、选择题
1．定义运算
a
b
a(a b(a
b) b)
，则函数
f
(x)
1
2x
的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
2．{x1
3
是{x1
x2
6
成立的（
）
x2 3 x1x2 9
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
3．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是
三、解答题
21．已知平面直角坐标系 xoy .以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的
极坐标为
2
3,
6
，曲线
C
的极坐标方程为
2
2
3 sin 1
（1）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程；
x 3 2t
（2）若 Q
为
C
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线 l
:
y
2
t
（2）若 C 上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C 上的动点，求 中点 到直线
（t 为参数）距离的最小值．
24．已知函数 f (x) m x 1 x 1 .
（1）当 m 5 时，求不等式 f (x) 2 的解集； （2）若二次函数 y x2 2x 3 与函数 y f (x) 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．设函数
f
x
log2
log
1 2
x, x 0 (x), x
0
，若 f (a) f (a) ，则实数 a 的取值范围是
__________．
14．曲线 y x2 1 在点（1，2）处的切线方程为______________． x
15．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了
B．{1}
C．{1, 2}
D．{0,1, 2}
7．设 i 为虚数单位，复数 z 满足 2i 1 i ，则复数 z 的共轭复数等于（ ） z
A．1-i
B．-1-i
C．1+i
D．-1+i
8．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A、B)且 PA＝
AC，则二面角 P－BC－A 的大小为( )
A． 60
B． 30
C． 45
9．在△ ABC 中， P 是 BC 边中点，角 A、B、C 的对边分别是
D．15
，若
c AC aPA bPB 0 ，则△ ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形.
10．函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－ <φ< )的部分图象如图所示，则 ω、φ 的 22
围. 25．如图所示，在四面体 PABC 中，PC⊥AB，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中 点，求证： (1)DE∥平面 BCP； (2)四边形 DEFG 为矩形．
26．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续 六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
值分别是( )
A．2，－ 3
B．2，－ 6
C．4，－ 6
D．4， 3
11．在 ABC 中，若 AB 13, BC 3, C 120 ，则 AC =（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．若 a 0,b 0 ，则“ a b 4”是 “ ab 4 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
线段
BC
和
CD
上,且
BE
2 3
BC,
DF
1 6
DC , 则
AE
AF
的值为
．
19．等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C AB D 的余弦值为
3 ， M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于 ． 3
20．在 ABC 中，若 AB 13 ， BC 3， C 120 ，则 AC _____．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序
为
A．甲、乙、丙 C．丙、乙、甲
B．乙、甲、丙 D．甲、丙、乙
6．已知集合 A {x | x 1 0} ， B {0,1, 2} ，则 A B
A．{0}
（）
A．①③④
B．②④
C．②③④
D．①②③
4．给出下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确说法的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的
数字是________．
16．函数 f x sin2x
3cosx
3 4
（
x
0,
2
பைடு நூலகம்
）的最大值是__________．
17．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，
（t
为参数）距离的最小值.
22．已知函数 f (x) ax x 2 (a 1) ． x 1
（1）证明：函数 f (x) 在 (1, ) 上为增函数；
（2）用反证法证明： f (x) 0 没有负数根．
23．已知曲线 C ：
（t 为参数）， C ：
（ 为参数）．
（1）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年 级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 _______名学生．
18．在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB DC , AB 2, BC 1, ABC 60 , 点 E 和点 F 分别在