普通物理学第7章第3节

+ q + ++ + + + + + + + + + + + + + + +
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例题7-5
均匀带电无限大平面的电场。
解： 电荷及场分布：面对称性，场方向沿法向。
高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。
S E E E E
σ
σ
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E dS
s

底
E dS 2 ES
圆柱形高斯面内电荷
q S
E
由高斯定理得 2 ES S / 0
矢量式为： E en 2 0

2 0
S
可见，无限大均匀带电 平面激发的电场强度与 离面的距离无关，即面 的两侧形成匀强电场。
E
E
σ
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例题7-6 求电荷呈无限长圆柱形轴对称均匀分布时所 激发的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电 量为。 解：荷及场分布：柱对称性，场 R 方向沿径向。 r 高斯面：与带电圆柱同轴的圆柱 形闭合面,高为l,半径为r。
E dS E dS E 2πrl
S


S
E1 d S

S
E 2 dS

S
E n dS

q1
0

q1
0

qn
0

i 1
n
qi
0
闭合面内无电荷的情形：
Ψ
E


E dS 0
S
q
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1.当点电荷在球心时 2.任一闭合曲面S包围该电荷 3.闭合曲面S不包围该电荷
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高斯定理: 在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该 曲面内电荷量代数和除以真空介电常数。
ΨE 1 E dS
S
0
q
S内
i
讨论：
1.当闭合曲面内净电荷为正时, ψE >0,表示有电场线 从曲面内穿出,正电荷称为静电场的源头； 2.当闭合曲面内净电荷为负时,ψE<0,表示有电场线从 曲面外穿进,负电荷称为静电场的尾闾，当曲面内无净 电荷时, ψE =0。故静电场是有源场。
s 侧面
l
由高斯定理知 E
q
2 π 0lr
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（1）当r<R 时，高斯面内电荷量为
q l r
E
2
R
2
2
R
l r
R
2
r
2 π 0lr

r
2π 0 R
2
l
r
矢量式为 E
2 π 0 R
2
er
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（2）当r>R 时，
E
q l
q Ψ E E dS
q Ψ E E dS
S
0
Ψ E E dS 0
S
S
0
4.闭合曲面S包围多个电荷q1～qk，同时面外也有多个 电荷qk+1～ qn
E
S
Βιβλιοθήκη Baidu E dS
qi
S内
0
综合以上讨论，可 得如下的结论：
§7-3
静电场的高斯定理
一、静电场的高斯定理
当点电荷在球心时
E
S
E dS
S
q r dS 3 4π 0 r 1
高斯

q 4π 0 r
2

S
dS
dS dE


q 4π 0 r
q
2
4πr
2
q
+
r
0
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由
Ψ
E

q
+ q + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+
+ +
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r>R 时，高斯面内电荷量即为球体上的全部电荷，球 体外电场和电荷均匀分布在球面上时球面外电场完 全相同。
E q 4 π 0r
2
高斯面
r<R时，设电荷体密度为 q 4 3 πR 3
0
可见，电通量与所选取球 面半径无关。
即使点电荷不在球面中的中心， 即使球面畸变，这一结果仍是一 样的，这由图也可看出。 闭合面内为点电荷系的情况：
E E1 E 2 E n
q1
q3
q2
qn
q4
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此时通过闭合面的电通量是： Ψ E E d S

2 π 0 r
矢量式为
E

2 π 0r
er
r
均匀带电圆柱面的电场分布

2 π 0 R
E
E−r 关系曲线
l
1
r
R
0
r
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选择进入下一节 §7-0 教学基本要求 §7-1 物质的电结构 库仑定律 §7-2 静电场 电场强度 §7-3 静电场的高斯定律 §7-4 静电场的环路定律 电势 §7-5 电场强度与电势梯度的关系 §7-6 静电场中的导体 §7-7 电容器的电容 §7-8 静电场中的电介质 §7-9 有电介质时的高斯定律 电位移 §7-10 静电场的能量
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3.电通量只与闭合面内电荷有关，而闭合面上任一 点电场是面内、面外所有电荷所激发的总电场。
4.库仑定律把场强和电荷直接联系起来,在电荷分布已 知的情况下由库仑定律可以求出场强的分布。而高斯 定律将场强的通量和某一区域内的电荷联系在一起， 在电场分布已知的情况下，由高斯定律能够求出任意 区域内的电荷。 5.库仑定律只适用于静电场,而高斯定律不但适用于静 电场和静止电荷,也适用于运动电荷和迅速变化的电磁 场。
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例题7-4 求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度 解： 电荷及场分布特点: 球对称,设球半径R,电荷 量为q。
高斯面:半径为r的球面。 由高斯定律: qin 2 E dS E 4πr
S
高斯面
E
q in 4 π 0r
2
0
(1)电荷均匀分布在球面 rR时，高斯面内无电荷， E 0
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二、 高斯定理的应用（求解电场强度）
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 应用高斯定律求解电场强度的一般步骤：
1. 分析带电体的电荷分布和电场分布的特点，以便 依据其对称特点选取合适的闭合面（高斯面）。
2. 闭合面（高斯面）选取类型：a.面上各点电场强度 与面垂直，大小处处相等；b.面上一部分各点电场强 度处处相等且与面垂直，另外部分电场强度与面处 处平行。
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+ + + + + q + + + + + + + + + + + + ++ + +
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r>R时，高斯面内电荷量即 为球面上的全部电荷，
E
r
2
E
q in 4 π 0r
2

q 4 π 0r
2
0
R
r
高斯面
可见，电荷均匀分布在球面时， 它在球面外的电场就与全部电 荷都集中在球心的点电荷所激 发的电场完全相同。 均匀带电球面电场强度曲线如 上图。 （2）电荷分布在整个球体内

q in
4 3
πr
3
+ q + + + + + + + + + + + + + + + + +
+
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+ +
E
E
q in 4 π 0r
2
r
2


1 4 π 0r
qr 4 π 0 R
3
2

4 3
πr
0
3
R + +
r
高斯面
可见，球体内场强随r线性增加。 均匀带电球体电场强度曲线如 上图。