第十四章2实数学案 八年级数学冀教版上册

第2讲 实数
一、教学目标
认识无理数，掌握实数分类和有关概念，学会比较大小。

二、知识点梳理 1、无理数
（1）概念：我们把无限不循环小数叫做无理数。

（2）形式
①开方开不尽的数，如325，，； ②有特定意义的数，如含π的数； ③无限不循环小数，如0.8080080008…。

（3）注意
①无理数与有数的和、差一定是无理数；
②无理数乘或除以一个不为0的有理数一定是无理数；
③带根号的数不一定是无理数，9是有理数；无理数也不一定带根号，如π。

2、实数的意义及分类
（1）定义：我们把有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。

（2）实数分类
①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨
⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数性质0 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪
⎪
⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数意义0 （3）分类法
至今我们所学的数不是有理数就是无理数，因此可先把实数分成这两类，再从有理数中去找整数和分数，这样既可分散难度又可避免遗漏。

（4）注意
实数的分类有不同的方法，按同一标准进行分类时，应做到不重不漏，尤其按性质符号进行分类时，必须明确：0既不是正数，也不是负数，不要漏掉0.
3、实数与数轴上的点一一对应
（1）关系：实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即数轴正好可以被实数填满。

（2）注意：数轴上的点表示的数是有理数或无理数。

4、实数的性质
名称 性质
相反数 a 与b 互为相反数（0=+b a ） 倒数 a 与b 互为倒数（1=ab ）
绝对值
任何实数a 的绝对值都是非负数，即0≥a 互为相反数的两个数的绝对值相等，即a a -=
平方根、立方根 非负数都有平方根，任意实数都有一个立方根 5、实数大小的比较
（1）利用数轴比较大小：数轴上的两点，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。

（2）判断依据：正数大于负数；正数大于0，负数小于0；两个负数相比较，绝对值大的反而小，平方大的反而小。

（3）总结
比较实数大小的方法：平方法、倒数法、作差法、作商法、借助中间量比较法、比较被开方数法等。

三、典型例题讲解
例1 下列各数中，属于无理数的是（ ） A 、0.1010010001 B 、
17
13
C 、0
D 、π 例2 把下列各数分别填在相应的圈中：
例3 下列说法正确的是（ ）
A 、有理数都是有限小数
B 、所有的无理数都是无限小数
C 、带根号的数都是无理数
D 、无限小数都是无理数 例4 在下列各数中，选择合适的数填入相应的括号中：
－5，3，2π
，3.14，0，－1.2323323332…（每相邻两个2之间依次多一个3），325
有理数：__________________________ 无理数：__________________________ 正实数：__________________________ 负实数：__________________________ 例5 实数3216-的绝对值是（ ）
A 、6
B 、36
C 、6
D 、36 例6 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A 、33和－ B 、55－和 C 、()2
277和－ D 、()2
244-和
例7 下列说法错误的是（ ）
A 、()2
2
a a -与相等 B 、()2
2a a -与相等
C 、33a a -与互为相反数
D 、a a -与互为相反数
例8 在如图所示的数轴上，点B 与点C 到点A 的距离相等，A ，B 两点对应的实数分别是1和－3，则点C 对应的实数是（ ）
A 、32+
B 、32-
C 、32+-
D 、1+3
例9 实数b ,a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A 、b a -＜ B 、3-＜a C 、b a -＞ D 、2＞－a
例10 比较下列各组数的大小。

（1）635和 （2）3253和－- （3）2
1
4110和-
例11 已知点P 和点Q 在数轴上的位置如图，设点P ，Q ，N 对应的实数分别为n ,q ,p ，且n pq =，则点N 在数轴上的位置可能是（ ）
四、课堂练习
1、在下列实数 0100100011722
432.-，，，，π（每相邻两个1之间一次多一个0）中，无理数
有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、1,2,3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有（ ） A 、185个 B 、186个 C 、187个 D 、188个
3、下列说法错误的是（ ） A 、每个正数都对应着数轴上的一个点 B 、每个无理数都对应着数轴上的一个点 C 、数轴上的每个点都对应着一个实数 D 、有理数与数轴上的点一一对应
4、实数a 在数轴上的位置如图所示，则=-3a __________。

5、、估计38的值在（ ）
A 、4和5之间
B 、5和6之间
C 、6和7之间
D 、7和8之间
6、在()20171-，()0
3－，9，2
21-⎪⎭
⎫ ⎝⎛这四个数中，最大的数是（ ）
A 、()
2017
1- B 、()0
3－ C 、9 D 、2
21-⎪⎭
⎫
⎝⎛
7、如图，在数轴上，点A 表示的数是2，点B 表示的数是5.1，则A ，B 之间表示整数的点共有（ ）
A 、6个
B 、5个
C 、4个
D 、3个
8、设113-=a ，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A 、0和1 B 、1和2 C 、2和3 D 、3和4
9、实数b ,a 在数轴上的位置如图所示，则化简b a b a --+2的结果为__________。

10、已知实数y ,x 满足关系式09142
2=-++-y y x 。

（1）求y ,x 的值；
（2）判断x y 6+是有理数还是无理数，并说明理由。

11、如图是一个数值转换器。

（1）当输入的x 的值为16时，求输出的y 的值；
（2）是否存在输入x 后，始终输不出y 的值？如果存在，请直接次而出所有满足要求的x 的值；如果不存在，请说明理由。

（3）输入一个两位数x ，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x =___________。

五、课后作业
1、下列说法中，正确的是 （ ）
A 、无理数包括正无理数、零和负无理数
B 、无限小数都是无理数
C 、正实数包括正有理数和正无理数
D 、实数可以分为正实数和负实数两类
2、、实数a 在数轴上的位置如图所示，则3-a =__________。

3、、如图，直径为1个单位长度的硬币从原点O 开始沿数轴向右滚动一周（不滑动），该硬币上最初与原点重合的点到达点O ´，则点O ´对应的数是____________。

4、三个实数726---,,之间的大小关系是（ ）
A 、267＞－＞－-
B 、627＞－＞－－
C 、762＞－＞－－
D 、726＜－＜－－
5、已知实数b ,a 在数轴上的对应位置如图所示，化简a b b a b a ---+-的结果为（ ） A 、b a + B 、b a 33- C 、b a - D 、b a 3-
6、已知实数b ,a 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A 、0＞ab B 、0＜b a + C 、b a ＜ D 、0＞b a -
7、、比较2，5，37的大小，正确的是（ ）
A 、37＜2＜5
B 、2＜37＜5
C 、2＜5＜37
D 、5＜37＜2
8、若将三个数1573,,-表示在数轴上，则期中被如图所示的墨迹覆盖的数是_________。

9、物体自由下落的高度h （米）和下落时间t （秒）的关系：在地球上大约是h=4.9t 2，在月球上大约是h=0.8t 2。

当h=20米时。

（1）物体在地球上和在月球上自由下落的时间各是多少？ （2）物体在那里下落得快？
10、如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬2个单位长度到达点B ，点A 表示的数为－2，设点B 所表示的数为m 。

（1）求m 的值；
（2）求()0
2018m 1m ++－的值。

六、我是学霸我怕谁！
1、阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2
的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用12-来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。

例如：因为()
22
2372＜＜，即2＜7＜3，所以7的整数部分为2，小数部分为27－。

请解答：
（1）10的整数部分是_________，小数部分是___________。

（2）如果5的小数部分为a ，37的整数部分为b ，求5-+b a 的值。

2、设n 是正整数，则n ，3n 按整数部分的大小可以这样分组。

（1）若3n 的整数部分为4，则n 的最小值、最大值分别是多少？ （2）若n 的整数部分为5，则n 可能的值有几种？。