机械振动和机械波-1

线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
第三章 机械振动和机械波
x, v
简谐运动能量图
x (t )
0 0
o
能量
T
t
v (t )
x A cost
v A sint
1 E kA2 2
1 2 Ep kA cos2 t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 Ek m 2 A2 sin2 t 2
第三章 机械振动和机械波
例2: 质量为0.10 kg 的物体，以振幅 1.0 10 2 m 作简谐运动，
其最大加速度为 4.0m/s 2 ，求： （1）振动的周期；
（2）通过平衡位置的动能；
（3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
解: (1) a A 2 cos( t ) 0
振幅为一与时间和 频率无关的常数
因此
位移是按周期、区域 有限的往复变化并且 和初始位置有关
振幅、圆频率和初相位是 决定振动具体位移大小和 速度大小的决定性参数
振动三要素
第三章 机械振动和机械波
总结
x A cos(t 0 )
T 2π
A
x
T
x (t ) 图
o
A
A
t
v
T
v (t ) 图
t t2 t1
(t2 ) (t1 )
π 例如： 3

π 3 1 t T T 2π 6
第三章 机械振动和机械波
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上 的差异.（解决振动合成问题）
x1 A cos(t 1 ) 1

取 0 0
v A sin( t 0 )
1 2 Ek mv 2
o
A
t
a A cos( t 0 )
2
a A
2
a (t ) 图
o
A 2
T
t
F ma
第三章 机械振动和机械波
单摆的运动
弹簧振子的振动 不是唯一的简谐振 动，很多其他类型 的运动都可以用简 谐振动来描述. 单摆的运动 复摆的运动
amax A 2
T 2π
amax 20s 1 A

0.314s
第三章 机械振动和机械波
例2: 质量为0.10 kg 的物体，以振幅 1.0 10 2 m 作简谐运动，
其最大加速度为 4.0m/s 2 ，求： （1）振动的周期；
（2）通过平衡位置的动能；
（3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
3.旋转矢量法
为简谐运动.
以o 为原点旋转矢量 A 的端点在 x 轴上的投影点的运动
x Acos(t 0 )
第三章 机械振动和机械波
3.旋转矢量法
用旋转矢量图与简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
第三章 机械振动和机械波
例1：如图所示,一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的 劲度系数 k 0.72 N m 1,物体的质量 m 20g . （1）把物体从平衡位置向右拉到 x0 0.05m 处停下后 再释放,求简谐运动方程；
第三章 机械振动和机械波 一.简谐振动的运动方程
F
m
o
F kx ma
d2 x a 2 dt
d2 x k x0 2 dt m
x
x
弹簧振子运动满足的微分方程
d2 x 2x 0 dt 2
方程的解为
令 2 k
x Acos( t 0 )
根据初始条件确定
m
第三章 机械振动和机械波 如何确定 A 和 0 的确定?
第三章 机械振动和机械波
（2）求物体从初位置运动到第一次经过 A/2 处时的速度；
x (m)
o
解:
v A sint
x 1 cos(t ) A 2
0.05
x A cos(t ) 0.05cos(6.0t )
A

A
π 5π t 或 3 3
π 由旋转矢量图可知 t 3 v A sint
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
为其它
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
π 反相
超前
落后
x
o
t
x
o
t
x
o
t
第三章 机械振动和机械波
总结 简谐运动方程 x Acos( t 0 )
A 描述了振动 的最大位移 ω 描述了单位时 间内的往返次数 φ0 描述了振动 点的初始位置
的初速度 v0 0.30m/s，求其运动方程. v0
x (m)
o
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知
0.05
0 π 4
x Acos(t 0 )
π 0.0707 cos[6.0t ] (SI) 4
3π 4
x
π 4
A
o

第三章 机械振动和机械波 二.简谐振动的能量
v A sin( t 0 )
2 A x0
v0 A sin(0 )

2 v0 2
0.0707m
π 3π v0 tg0 1 0 或 4 4 x0
第三章 机械振动和机械波
（3）如果物体在 x0 0.05m 处时速度不等于零，而是具有向右
第三章 机械振动和机械波
二 振幅、周期和频率 x Acos( t 0 )
Acos[ (t T ) 0 ]
A
x
x t 图
T T
1.振幅 (amplitude)
A xmax
o
A
t
2.周期 (period)
T 2π
注意
k m
2
弹簧振子周期
T 2π m k
其最大加速度为 4.0m/s 2 ，求： （1）振动的周期；
（2）通过平衡位置的动能；
（3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
解: (3) E Ek ,max
2.0 10 3 J
第三章 机械振动和机械波
例2: 质量为0.10 kg 的物体，以振幅 1.0 10 2 m 作简谐运动，

2π 2π T
频率(frequency)
1 T 2π
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
第三章 机械振动和机械波
简谐振动 x Acos( t 0 )
3.相位 (phase)
x
A
x t 图
T T
o
A
t
t 0
1）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点没有相同的运动 状态；相差 2nπ (n 为整数) 质点运动状态全同. ------周期性 2）初相位 0 ( t = 0 时刻的相位)描述质点初始 时刻的运动状态.
初始条件: t = 0 时刻 x x0 v v0
x Acos( t 0 )
dx v A sin(t 0 ) dt
x0 Acos0
A
2 x0
2
2 v0
v0 Asin0
v0 tan 0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振 幅和初相由初始条件决定.
解: (2)
v A sin( t 0 )
Ek ,max 1 1 2 mvmax m 2 A2 2 2
2.0 10 3 J
x A cos(t 0 )
第三章 机械振动和机械波
例2: 质量为0.10 kg 的物体，以振幅 1.0 10 2 m 作简谐运动，
A
x
o
A
T
T 2
t
已知曲线 A、T、0
第三章 机械振动和机械波
3.旋转矢量法
为简谐运动.
当 t 0时
以o 为原点旋转矢量 A 的端点在 x 轴上的投影点的运动

A
0
t 时刻

t 0
A
o
x0 x
o
x Acos(t 0 )
x
x0 Acos0
第三章 机械振动和机械波
v
x
o

2
A
x t 图
o
A
t
T 2
T
第三章 机械振动和机械波
讨论
x Acos( t 0 )
A
x t 图
相位差：表示两个相位之差.
1）对同一简谐运动，相位差
可以给出两运动状态间变化所 需的时间.
o
A
t1 t2
t
x Acos(t1 ) x Acos(t2 )
dt
l

l
F
mg
方程的解 d 2 g d 2 2 0 cos(t 0 ) 0 2 0 dt 2 I dt
第三章 机械振动和机械波
§3-2 运动方程及其图像
一. 简谐振动的描述方法
1. 解析法 x Acos( t 0 ) 已知表达式 x (t) A、T、0 2. 曲线法
其最大加速度为 4.0m/s 2 ，求： （1）振动的周期；
（2）通过平衡位置的动能；
（3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
解: (4)
Ek Ep
Ep 1.0 10 3 J
1 2 1 Ep kx m 2 x 2 2 2
x
2
2 Ep m
2