恒成立问题常见类型及其解法

设 f x x 3 x 7
可求得 f x 10
lg x 3 x 7 lg10 1
a 1
三. 变换主元法：
例5.对任意a [-1,1],不等式x 2 (a - 4) x 4 - 2a 0 恒成立，求 的取值范围 x . 解：原问题转化为对任 a [-1,1], 意
m - 2 0 0 (5) 4m ，解得1 m 2 2( m - 2) 0 f ( 0) 0 y
y
m - 2 0 (6) ，无解 f (0) 0
综上所述， a 3 1
O
x
x
4.已知函数f ( x) (m - 2) x 2 - 4mx 2m - 6的图像与 x轴的负半轴有交点，求 实数m的取值范围 .
不等式( x - 2)a x - 4 x 4 0恒成立
2
令f (a) ( x - 2)a x - 4 x 4
2
f (1) 0 解得x 1或x 3. f (-1) 0
x的取值范围为 ,1) (3,). (-
数形结合法 4.数形结合法
解：因为ax2 1 1，所以- 1 - x ax2 1 - x (1)当x 0时， 0 1恒成立. -1
1 1 a- 2 1 1 1 1 x x (2)当x (0,1]时， 2 - a 2 - , 即 在（0, ,1]上恒成立. x x x x a 1 - 1 x2 x 1 令t 1, x 1 1 1 1 - 2 - 化为关于t的函数u -t 2 - t -(t ) 2 ，u max -2 x x 2 4 1 1 1 2 1 2 - 化为关于t的函数v t - t (t - ) - ，vmin 0 2 x x 2 4 要是不等式恒成立，应 u max a vmin，故 - 1 a 0 有 综上所述，如果 [0,1]时， ( x) 1恒成立，则- 2 a 0 x f
一、变量分离法：
例1：当x∈[1,2]时，ax-2>0恒成立，求a的取值范围.
1 1 [ ,1] , x 2
解： x [1,2]时，ax - 2 0恒成立 2 x [1,2]时，a 恒成立 x
2 [1,2] x
a 2
变量分离法：将不等式中的两个变量分别置于不等号 的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求 解. 若a f ( x)恒成立，则 [ f ( x)] . a
解：由题意，知 m 0 ，因此原不等式恒成立等价于 x4 2x2 4 4 4 m x2 2 ( x 2 2) 2 2 恒成立 2 x 2 x 2 x 2
4 令 t x 2， y t (t 2增函数 t
max
若a f ( x)恒成立，则 [ f ( x)]min. a
例2: 当 x (1, 2)时，不等式 x
2
mx 4 0
恒成立，求 m 的取值范围.
解：当 得
x (1,2) 时，由 x mx 4 0
2
x 4 m x
2
.令
x 4 4 f ( x) x x x
恒成立问题 常见类型及解法
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉 及到一次函数、二次函数、指数函数、对数 函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维 的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问 题在解题过程中解法通常有:①变量分离法； ②构造函数法；③更换主元法；④数形结合 法.


x x p 2 x 1 p 0
2
ⅰ)当 p 2 4 1 p 0时，即8 p 0 时，对一切
2
ⅱ）当 p 2 4 1 p 0
2
f x 0恒成立；
0 f (1) 0 p2 1, 2
y y1=(x-1)2 y y1=(x-1)2 y2=logax
例6：当 x 1, 2 时，不等式 x 1 log a x 恒成立，求a 2的范围.
2
1 o 1 2 x y2=logax
1 o 1 2 x
0 a 1
a 1
y 显然 a 1 , 要使对一切 x 1, 2， 1 y2 恒成立，
归纳
实质
变量分离 构造函数 变换主元
数形结合
通过构造 函数，化归 到函数的 性质（最值） 或图像解决
1.已知函数y mx 6mx m 8 的定义域为R，求实数m的取值范围.
2
解：依题意得，即当 x R 时，
mx 2 6 mx m 8 0 恒成立
当 m 0 时， x R
2 2
4.已知函数f ( x) (m - 2) x 2 - 4mx 2m - 6的图像与 x轴的负半轴有交点，求 实数m的取值范围 .
1 解： )当m - 2 0即m 2时， f ( x) -8 x - 2与x轴负半轴交于点 (- ,0) (1 4 2 16m - 4(m - 2)(2m - 6) 0 (2) 4m ，解得m 1 2(m - 2) 0
y 并且必须也只需当 x 2 时， 2 的函数值大于 y1 的函数值即可。
loga 2 1且a 1 1 a 2
数形结合法 f ( x) g ( x)恒成立 函数f ( x)图像恒在函数g ( x)图像上方 f ( x) g ( x)恒成立 函数f ( x)图像恒在函数g ( x)图像下方
1．若函数 y＝x2－ax－6a 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，且线段 AB 的长不超过 5，求实数 a 的取值范围． 2. 若方程 7x －(k＋13)x＋k －k－2＝0(k 为常数)有两个实数根 α，β，且 0＜α＜1＜β＜2，求实数 k 的取值范围． 3．设二次函数 f(x)＝x2＋(m－3)x－m．若函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有两个交点，且两个交点不都在 x 轴的正半轴上，求实数 m ．．． 的取值范围．
解：)两个负根 (1 （3）一正根一负根 0 0 4m x1 x2 0，解得1 m 2 2m - 6 , 解得2 m 3 m-2 m-2 0 2m - 6 x1 x2 m - 2 0
(2)一负根，一根为 0 f (0) 2m - 6 0，解得m 3 f ( x) x 2 - 12x 0，x 0或12, 所以不合题意
例1：当x∈[1,2]时，ax-2>0恒成立，求a的取值范围.
解：令f ( x) ax - 2，则 f (1) a - 2 0 f (2) 2a - 2 0
a 1
例2: 当 x (1, 2)时，不等式 x
2
mx 4 0
恒成立，求 m 的取值范围.
数形结合思想在高考中占有非常 重要的地位，其“数”与“形”结 合，相互渗透，把代数式的精确刻 划与几何图形的直观描述相结合， 使代数问题、几何问题相互转化， 使抽象思维和形象思维有机结合.应 用数形结合思想，要熟练掌握一些 概念和运算的几何意义及常见曲线 的代数特征.
解：设 y1 x 1 , y2 log a x 则 y1 的图象为下图所示的抛物线，
y
m - 2 0 0 (3) 4m 无解 2 ( m - 2) 0 m - 2 0 (4) ，解得2 m 3 f ( 0) 0 f (0) 0
O
x
4.已知函数f ( x) (m - 2) x 2 - 4mx 2m - 6的图像与 x轴的负半轴有交点，求 实数m的取值范围 .
2
x 1 0
2
则
x 2 x 1 x 1 4 x 1 4 4 p x 1 4 x 1 x 1 x 1
令t=x-1>0,则p>-[t+4+4/t]∈(-∞,-8]
p 8
例4：设 lg x 3 x 7 a 0 ，如果 x R 恒成立， a 的范围. 求 解：原不等式等价于lg x 3 x 7 a
m 0 m 0 当 m 0 时，应 0 ，即 (6m) 2 4m(m 8) 0
解得 0 m 1 故 0 m 1 即所求范围。
x4 2x2 4 2.若对一切实数x，不等式 1 2 m( x 2) 均成立，求实数m的取值范围.
时由图可得以下充要条件：
y
得 p0
o 1 x
综合可得 p 的取值范围为 8, .
变式：不等式 x xp 1 p 2x 对 x 1, 恒 p 成立，求 的范围. 2 原不等式等价于 x 1 p x 2 x 1 另解：
2
x 1
2
则易知 所以
f ( x) 在 (1, 2) 上是减函数，
f ( x)max f (1) 5 ，∴ m 5 .
二、构造函数法：
思考：当x [m, n]时，ax b 0恒成立的条件是什么？
考虑函数f ( x) ax b的图像
y
y y
o
m
n
x
o
m
n
x
o
m
n
x
f (m) 0 结论：当x [m, n]时，f ( x) ax b 0恒成立 f (n) 0 f (m) 0 当x [m, n]时，f ( x) ax b 0恒成立 f (n) 0
所以 t 2 时， y min 4 要使不等式 m ( x 2 2 )
4 2 恒成立 2 x 2
只要 m y min 2 ，所以 m 2 ，又 m 0 ，所以所求范围是 0 m 2
3.对于二次函数 ( x) ax2 x(a 0)，如果x [0,1] f 时， ( x) 1恒成立，求实数 的取值范围 f a .
解：设f ( x ) x 2 m x 4，则 f (1) 1 m 4 0 f ( 2) 4 2 m 4 0
解得：m -5
例3：不等式 x xp 1 p 2 x 对 x 1, 恒成 立，求 p 的范围。
2
解：原不等式可转化为 f 对 x 1, 恒成立