§14.4 古典概型与几何概型

“围棋”社团被抽取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选担任监督职务
的概率.
解析
【解析】(1)设抽样比为 x,则由分层抽样可知,从“街舞”“围棋”“武术”三个社团 抽取的人数分别为 320x,240x,200x,则由题意得 320x-240x=2,解得 x=410,
故从“街舞”“围棋”“武术”三个社团抽取的人数分别为 320×410=8,240×410=6, 200×410=5.
.
答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、几何概型 1.定义:若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有 无限多个 . (2)等可能性:每个结果的发生具有 等可能性 .
构成事件������的区域长度(面积或体积) 3.几何概型的概率公式 P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积. 或体积)
������
2.利用古典概型求概率的关键是要正确求出基本事件的总数和随机事件包 含的基本事件的个数,对于较复杂的题目,计数时要正确分类,分类时应不重不漏, 要正确选择列举法、列表法、树状图法等.
【追踪训练 1】(2020 届天津高考模拟)根据调查,某学校开设了“街舞”“围
棋”“武术”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
(2)从抽出的 6 人中,任选 2 人参加一对一的对抗比赛,基本事件总数为 n=C62=15, 这 2 人来自同一年龄组包含的基本事件个数为 m=C32+C22=4, ∴这 2 人来自同一年龄组的概率 P=������������=145.
解析
点拨：1.求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; (2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; (3)利用公式 P(A)=������,求出事件 A 的概率.
(2)由(1)知,从“围棋”社团抽取的同学有 6 人,其中 2 位女生记为 A,B;4 位男生
的三边边长的概率是( A ).
A.130
B.15
C.12
D.35
【解析】从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 3 个不同的数的基本事件有C53=10(个), 取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共 3 个, 故所求概率 P=130.故选 A.
答案 解析
关键能力
题型归纳 题型一 古典概型的求解
【例 1】(2020 届天津模拟)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗
词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、
各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各
地的选手组成,成员上至古稀老人,下至垂髫小儿,人数按照年龄分组统计如下表:
分组(年龄) 频数(人)
[7,20) 18
[20,40) 54
[40,80) 36
(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取 6 人参加挑战,求从这三个不同年龄
组中分别抽取的挑战者的人数;
(2)在(1)中抽出的 6 人中,任选 2 人参加一对一的对抗比赛,求这 2 人来自同一
年龄组的概率.
【解析】(1)∵样本容量与总体个数的比是1608 =118 , ∴样本中年龄在[7,20)的人数为1608 ×18=1;年龄在[20,40)的人数为1068 ×54=3; 年龄在[40,80)的人数为1608 ×36=2. ∴从年龄在[7,20),[20,40),[40,80)的选手中分别抽取的挑战者的人数分别为 1,3,2.
答案 解析
4.现有四所大学进行自主招生,同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、
乙、丙、丁四位学生发录取通知书,若这四名学生都愿意进入这四所大学的任
意一所就读,则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为( B ).
A.12
B.196
C.1116
D.274
【解析】所求概率 P=C424·4A43=196.故选 B.
答案
基础训练
1.在区间[-2,3]上随机选取一个数 x,则 x≤1 的概率为( B ).
A.45
B.35
C.25
D.15
【解析】在区间[-2,3]上随机选取一个数 x,且 x≤1,即-2≤x≤1, 故所求的概率 P=35.
答案 解析
2.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任意取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形
答案 解析
3.从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长,则所取的两个数使
得斜边长度不大于 1 的概率是( B ).
A.π8
B.π4
C.12
D.34
【解析】任取的两个数记为 x,y,全部结果位于正方形 OABC 内部,而符合 题意的 x,y 位于阴影区域内(不包括 x,y 轴).故所求概率 P=π41××112=π4.
社团 人数
街舞 320
围棋 240
武术 200
为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容
量为 n 的样本,已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少 2 人.
(1)求从三个社团分别抽取了多少同学;
(2)若从“围棋”社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务,已知
2021届
高考第一轮复习
计数原理、概率、 随机变量及其分布
第 四节 古典概型与几何概型
目
1
高考引航
2
必备知识
录
3
关键能力
高考引航
知识清单
必备知识
一、基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和.
答案
二、古典概型 1.定义:若试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个,并且每个基本事件出现 的可能性 相等 ,则这样的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
2.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等, 1
那么每一个基本事件的概率������都是 ������ ;如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那
么事件 A 的概率 P(A)= ������
. ������包含的基本事件的个数
3.古典概型的概率公式 P(A)=
基本事件的总数