高等数学教案最新版(2024)

定积分概念及计算方法
定积分定义
定积分是积分学中的另一个 重要概念，表示函数在某个 区间上的积分值。给定一个 函数f(x)在区间[a,b]上的定积
分记为∫_{a}^{b}f(x)dx。
定积分性质
了解定积分的基本性质，如 线性性、可加性、区间可加
性等。
积分计算方法
掌握定积分的计算方法，如 牛顿-莱布尼茨公式、基本定 理、微元法等，以求解不同 类型的定积分。
微分方程应用举例
包括物理学中的振动问题、电磁学中的电荷分布问题、经 济学中的最优控制问题等，通过建立微分方程模型进行求 解。
级数应用举例
包括数学分析中的函数逼近问题、计算数学中的数值计算 问题、工程学中的信号处理问题等，通过级数展开或逼近 进行求解。
综合应用举例
结合微分方程与级数知识，解决复杂的实际问题，如流体 力学中的边界层问题、量子力学中的波函数求解问题等。
微分的应用
微分在解决实际问题中具有广泛应用，如求解最值问题、描述物理量之间的变化关系等。通过微分可以建立 数学模型，进而对实际问题进行分析和求解。
导数与微分应用举例
要点一
最值问题
通过求导数并令其等于零，可以找到 函数的极值点，进而确定函数在给定 区间内的最大值和最小值。这类问题 在实际生活中非常常见，如优化资源 配置、寻找最佳方案等。
连续函数概念
01
介绍连续函数的概念及其性质，包括连续函数的定义
、间断点类型等。
连续函数的运算与性质
02 探讨连续函数的四则运算、复合运算、反函数运算等
性质。
闭区间上连续函数的性质
03
阐述闭区间上连续函数的性质，如最大值最小值定理
、零点存在定理、介值定理等，并举例应用。
03
导数与微分
Chapter
导数概念及计算方法
高等数学教案最新版
目录
• 课程介绍与教学目标 • 函数、极限与连续 • 导数与微分 • 积分学 • 微分方程与级数 • 空间解析几何与向量代数 • 线性代数初步
01
课程介绍与教学目标
Chapter
高等数学课程简介
01
高等数学是大学数学的重要组成部分，主要研究函数、极限、微分学、积分学等 内容，为后续数学课程及专业课程提供必要的数学基础。
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行列式的计算
通过行列式的性质，可以推导 出计算行列式的方法，如降阶
法、拆项法、递推法等。
矩阵概念及运算规则
矩阵的定义
由m行n列数构成的数表称为m×n矩阵。
矩阵的运算规则
包括矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规则。这些规则在矩阵 的计算和变换中起到关键作用。
矩阵的性质
矩阵具有结合律、分配律等基本性质，同时还有一些特殊性质，如 可逆矩阵、对称矩阵等。
01
导数定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的
快慢程度。
02 03
导数计算
根据导数的定义，可以通过求极限的方式计算函数在某一点处的导数。 常见的导数计算方法包括基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法 则、复合函数的链式法则等。
高阶导数
高阶导数表示函数导数的导数，即多次求导得到的结果。高阶导数在描 述函数复杂形态和解决实际问题中具有重要作用。
积分应用举例
利用定积分求解立体图形的体积 ，如旋转体体积、截面面积已知 的立体体积等。
了解积分在物理学中的应用，如 求解速度、加速度、位移等物理 量。
面积计算 体积计算 长度计算 物理应用
利用定积分求解平面图形的面积 ，如直线与坐标轴围成的面积、 曲线与坐标轴围成的面积等。
利用定积分求解曲线的长度，如 平面曲线长度、空间曲线长度等 。
线性方程组求解方法
高斯消元法
通过消元将线性方程组化为上三角或下三角 形式，然后回代求解未知数。
克拉默法则
利用行列式的性质，直接求解线性方程组的解。该 方法适用于方程个数与未知数个数相等的情况。
矩阵方法
将线性方程组表示为矩阵形式，通过矩阵的 运算求解未知数。该方法具有通用性，适用 于各种类型的线性方程组。
向量的数量积与向量积
阐述向量的点乘和叉乘运算，包 括运算规则、性质和应用。
平面与直线方程求解方法
01
平面的点法式方程 和一般式方程
通过平面的法向量和一点确定平 面方程，介绍平面方程的一般形 式和性质。
02
直线的点向式方程 和一般式方程
根据直线上一点和方向向量确定 直线方程，讲解直线方程的一般 形式和性质。
03
平面与直线的位置 关系
分析平面与直线平行、相交和垂 直等位置关系的判断方法和性质 。
二次曲面方程求解方法
椭球面方程及性质
介绍椭球面的标准方程、一般方程和基本性 质，包括中心、对称性等。
双曲面方程及性质
阐述双曲面的标准方程、一般方程和基本性 质，如渐近线、中心等。
抛物面方程及性质
讲解抛物面的标准方程、一般方程和基本性 质，例如准线、焦点等。
教材及参考书目
教材
《高等数学》（同济版）或类似 教材。
参考书目
《数学分析》、《微积分学教程 》等。建议学生根据自己的实际 情况选择适合的参考书目进行学 习和巩固。
02
函数、极限与连续
Chapter
函数概念及性质
函数定义
阐述函数的基本概念，包括定义域、值域、对应 法则等要素。
函数表示法
介绍函数的表示方法，如解析法、表格法、图象 法等。
二次曲面的分类与识别
概述二次曲面的分类方法百度文库以及如何根据方 程识别不同类型的二次曲面。
07
线性代数初步
Chapter
行列式概念及性质
行列式的定义
由n个数按n行n列排列成的数 表，称为n阶行列式。
行列式的性质
行列式具有线性性、交换性、 结合性等基本性质，这些性质 在行列式的计算和化简中起到
重要作用。
02
通过本课程的学习，学生应掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，具 备运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
教学目标与要求
知识目标
掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，包 括函数、极限、微分学、积分学等。
能力目标
能够运用数学知识分析和解决问题，具备初步的数学 建模能力。
素质目标
培养学生的数学素养和逻辑思维能力，提高学生的创 新意识和实践能力。
要点二
曲线形态分析
通过求高阶导数可以对函数的曲线形 态进行更深入的分析。例如，二阶导 数可以反映函数的凹凸性，三阶导数 可以描述函数的拐点等。这些信息对 于理解函数的性质和解决实际问题具 有重要意义。
要点三
物理应用
导数和微分在物理学中有广泛应用， 如描述物体的运动状态、求解力学问 题等。通过建立物理量与时间或空间 的函数关系，并利用导数和微分进行 分析，可以得到物体的速度、加速度 、位移等关键信息。
05
微分方程与级数
Chapter
微分方程基本概念及解法
微分方程定义
含有未知函数及其导数的方程， 用于描述自然现象中变量间的依 赖关系。
微分方程分类
根据方程中未知函数的最高阶数 ，可分为一阶、二阶等微分方程 ；根据方程形式，可分为线性、 非线性微分方程。
微分方程解法
包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，针对不同类型的 微分方程采用不同的解法。
04
积分学
Chapter
不定积分概念及计算方法
不定积分定义
不定积分是微积分的一 个关键部分，它表示一 个函数的原函数或反导 数。给定一个函数f(x) ，其不定积分记为 ∫f(x)dx。
基本积分公式
掌握基本的不定积分公 式，如幂函数、指数函 数、三角函数等的不定 积分。
积分方法
掌握基本的积分方法， 如凑微分法、换元法、 分部积分法等，以求解 不同类型的不定积分。
微分概念及计算方法
微分定义
微分是函数在某一点处的局部变化量，即函数值的微小改变量。微分与导数密切相关，可以理解为函数在某 一点处的切线纵坐标的增量。
微分计算
微分的计算可以通过求导数和乘以自变量的微小改变量来实现。微分的基本公式和法则与导数类似，包括基 本初等函数的微分公式、微分的四则运算法则、复合函数的链式法则等。
级数基本概念及收敛性判别法
级数定义
01
无穷序列的各项之和，用于表示某些复杂数学对象的近似值或
精确值。
级数分类
02
根据项的性质，可分为正项级数、交错级数等；根据部分和的
性质，可分为收敛级数、发散级数。
级数收敛性判别法
03
包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等，用于判断级数
的收敛性或发散性。
微分方程与级数应用举例
06
空间解析几何与向量代数
Chapter
空间直角坐标系与向量运算
空间直角坐标系
建立三维空间中的坐标系统，通 过三个互相垂直的坐标轴确定点 的位置。
向量的线性运算
讲解向量的加法、数乘等线性运 算规则，以及运算性质。
01 02 03 04
向量的基本概念
介绍向量的定义、表示方法以及 向量的模、方向等基本概念。
函数性质
探讨函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等 性质及其判断方法。
极限概念及运算法则
极限定义
引入极限的概念，包括数列极限和函数极限的 定义及性质。
极限运算法则
介绍极限的四则运算法则、复合函数极限运算 法则等。
无穷小量与无穷大量
阐述无穷小量与无穷大量的概念及其性质，以及它们之间的关系。
连续函数性质及应用