2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《勾股定理》综合提升训练(附答案)

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《勾股定理》综合提升训练（附答案）1．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（）
A．7B．10C．13D．15
2．如图△ABC中，高AD与中线CE相交于点F，AD＝CE＝8，FD＝2，则AB的值为（）
A．2B．6C．10D．
3．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（）
A．3.5B．4.5C．5D．5.5
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）
A．B．1C．D．
5．下列三角形是直角三角形的是（）
A．B．C．D．
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠C＝∠A+∠B 7．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）
A．47B．62C．79D．98
8．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（）
A．13B．17C．18D．25
9．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（）元．
A．75a B．50a C．a D．150a
10．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（）
A．米B．米C．米D．5米
11．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一点，若△P AC是等腰三角形，则线段AP的长可能为．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，已知AC＝2，BC＝2，则△ACD的周长等于．
13．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，若AB＝10，EF＝2，则AH＝．
14．已知，直角三角形的两条边长为5和12，则它的斜边长为．
15．在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．
16．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是．17．如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC ＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
18．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定是可爱三角形，是否正确．并填空（填“正确”或“不正确”）；
②若三角形的三边长分别是4、2、，则该三角形（是或不是）可爱三
角形；
（2）①若等腰三角形是可爱三角形，并且有一边长为，则周长为；
②若Rt△ABC是可爱三角形，且一条直角边长为，则斜边长为．
19．如图，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．
（1）填空：正方形EFGH的面积为，四个直角三角形的面积和为．（2）求a+b的值．
20．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
21．如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）试说明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5．（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长．
23．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：
3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，
且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、．
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快用含a的代数式表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为．
（3）用所学知识证明（2）中用字母a表示的三个数是勾股数？
24．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
25．一个13m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离12m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？为什么？
参考答案
1．解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，由勾股定理得，a2＝c2+b2，
∴a2﹣c2﹣b2＝0，
∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG ∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+5+8＝15，
故选：D．
2．解：如图，作EH⊥AD于H．
∵BD⊥AD，EH⊥AD，
∴EH∥BD，
∵AE＝EB，
∴AH＝DH＝4，
∵DF＝2，
∴FH＝2，
∵，EC＝8，
∴EF＝4，FC＝4，
∴EH＝，
∵AE＝EB，AH＝DH，
∴BD＝2EH＝4，
在Rt△ABD中，AB＝．
故选：D．
3．解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴AB2＝28，
设AE＝x，
∵AE+BE＝7，
∴BE＝7﹣x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∴x2+（7﹣x）2＝28，
∴2x2﹣14x＝﹣21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG＝（NG+PF）•FG＝EF•FG＝S正方形
EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4×x•（7﹣x）＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7，则S△CFP﹣S△AEP的值是3.5；
故选：A．
4．解：由折叠可得，A'C＝AC＝3，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
∵A'B+A'C≥BC，
∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1，
∴A'B的最小值为1，
故选：B．
5．解：由勾股定理的逆定理得，因为D能满足（）2+（）2＝（2）2，所以D 是直角三角形．
故选：D．
6．解：∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝90°＝∠A，
故选：A．
7．解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
8．解：由勾股定理得，BC＝＝13（m）．
则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）．
故选：C．
9．解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴CD＝7.5米，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
故选：A．
10．解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5（米），
∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故选：D．11．解：
若△P AC是等腰三角形，①P A＝AC＝3，
②AP＝PC时，P为AB的中点，AP＝，
③PC＝AC时，过C作CD⊥AB于D，则AP＝2AD＝2AC•cos A＝2×3×＝，
综上所述，AP的长为3，2.5或，
故答案为：3，2.5或．
12．解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，
∴AB＝4，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝DC＝2，
∴△ACD的周长＝2+2+2＝，
故答案为：4+2．
13．解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，AH＝DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故答案为：6．
14．解：当12是直角边时，斜边长＝＝13．
故它的斜边长为13或12．
故答案为：13或12．
15．解：∵82+152＝172，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积是：×8×15＝60，
故答案为：60．
16．解：∵（a+b）2＝c2+2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角三角形．
17．（1）解：在Rt△BCD中，DC＝＝＝；
（2）解：在Rt△CDA中
AD＝＝＝；
（3）证明：∵BC2＝9，AC2＝16，
（BD+AD）2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
18．解：（1）①设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2＝2a2，
∴等边三角形一定是可爱三角形，
故答案为：正确；
②∵42+（2）2＝40，2×（2）2＝40，
∴42+（2）2＝2×（2）2，
∴该三角形是可爱三角形，
故答案为：是；
（2）①设等腰三角形的两个相等边长为x，
∵等腰三角形是可爱三角形，
∴x2+x2＝2x2，
∴这个等腰三角形为等边三角形，
∴周长为：3×＝，
故答案为：；
②设Rt△ABC的两直角边分别为：a、b，斜边为：c，
则a2+b2＝c2③，
∴等腰直角三角形不是可爱三角形，
∵Rt△ABC是可爱三角形，设b＞a，
∴a2+c2＝2b2④，
由③④得：b＝a，c＝a，
∴a：b：c＝1：：，
∴当a＝2时，c＝2×＝2，
当b＝2时，c＝＝2，
故答案为：2或2．
19．解：（1）∵HE＝b﹣a＝4，
∴S正方形EFGH＝HE2＝16，
∵AD＝c＝20，
∴S正方形ABCD＝AD2＝400，
∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝400﹣16＝384，故答案为：16；384；
（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，
∴4×ab＝384，解得2ab＝384，
∵a2+b2＝c2＝400，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝400+384＝784．
∴a+b＝28（负值舍去）．
20．解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（10﹣x）2＝x2+16，
解得x＝4.2；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝16+（10﹣x）2，
解得x＝5.8．
综上所述，BN＝4.2或5.8．
21．解：（1）如图所示，连接BE，
∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AE2﹣CE2＝BC2，
∴BE2﹣CE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）Rt△BDE中，BE＝＝＝10，∴AE＝10，
设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，
Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，
Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，
∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，
解得x＝2.8，
∴CE＝2.8．
22．解：（1）作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∴AC＝5，
∵AD＝5，CD＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
在△ABC和△CMD中
∴△ABC≌△CMD（AAS），
∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，
∴△BCD的面积＝，
（2）∵CM＝3，BC＝4，
∴BM＝BC+CM＝7，
∴BD＝．
23．解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；
则用含a的代数式表示第三个数为；
故答案为：；
（3）∵a2+（）2＝，
（）2＝，
∴a2+（）2＝（）2，
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．24．解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC，＝×4×3+×12×5＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）．
25．解：在Rt△ABO中，根据勾股定理知，BO＝（米），
在Rt△COD中，根据勾股定理知，
DO＝（米），
所以BD＝DO﹣BO＝﹣5（米）．
故梯子的底端B外移了﹣5米．。