5.3 Lindeloff空间

§5.3Lindeloff空间
本节重点: Lindeloff空间的定义；Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．
一 Lindeloff空间的概念
定义5.3.1 设A 是一个集族，B是一个集合．如果
A
A
A
=B，则称集族
A是集合B的一个覆盖，并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B的一个可数覆盖和有限覆盖．
设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族A 1也是集合B的覆盖，则称集族A
1
是覆盖A （关于集合B）的一个子覆盖．
设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．
在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．
定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．
由定义可知，任何平庸空间是Lindeloff空间；含可数多个点的离散空间是Lindeloff空间；包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．
例5.3.1， 包含着不可数多个点的可数补空间X 是一个Lindeloff 空间， 且X 的每个子空间也是Lindeloff 空间．
(例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．)
证明 设A 是X 的任意一个开覆盖．任意在A 中取定一个非空集合A ．对于每一个x∈A ′，在A 中选取一个A x 使得x∈A x ，由于A ′是可数集，所以A 的子族{ A x ∈A | x∈A x ，x∈A ′}∪{A}也是可数的，易见它也覆盖X ．所以包含着不可数多个点的可数补空间X 是Lindeloff 空间.
设Y ⊂X ，下面证Y 也是Lindefoff 空间．
设A 1 是Y 的任意一个开覆盖，则存在X 的开集族A 使A 1 = A |Y ．任取一个A ∈A ，则A ∪Y′是X 的一个开集（因为A ∪Y′的补可数），于是A ∪{A ∪Y′}是X 的一个开覆盖．由于X 是Lindefoff 空间，所以在A ∪{A ∪Y′}中有一个可数子集族B 是X 的覆盖，不妨设B ＝{A 1 ,A 2 ,…,A n ,…A ∪Y′}，其中A i ,A ∈A ，i=1,2,…（注A ∪Y′若不在其内，则加进去也无妨），则B |Y ＝{ A 1∩Y ,A 2∩Y ,…,A n ∩Y ,…A∩Y}⊂ A |Y =A
1 ，即B |Y 是A 1的可数
子覆盖．故Y 是Lindefoff 空间． 二 Lindefoff 性与第二可数性的关系
定理5.3.l[Lindeloff 定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff 空间．（即A 2 空间一定是Lindeloff 空间）
证明 设拓扑空间X 是A 2 空间， B 是它的一个可数基．
设A 是X 的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A ∈A ，由于A 是一个开集，所以存在B A ⊂B ，使得A=A B B ∈ B ，令B 1 =A A ∈ A B
,
由于B 1是B 的一个子族，所以是一个可数族．并且
1()A A A B B A B A B B B A X ∈∈∈∈∈∈=
=== A B B
A B A
故B 1也是X 的一个覆盖．如果B ∈B 1，则存在A ∈A 使得B ∈A B
，（因为A =A B B ∈ B ）因此B ⊂ A ．于是对于每一个B ∈B 1；我们可以选定某一个
A B ∈A 使得 B
⊂A B ，记A 1 ={ A B | B ∈B 1}，它是A 的一个子族，并且111B A B B A A B X ∈∈∈=⊃=
A B B ,所以A 1是A 的一个子覆盖．此外由于B 1是
可数的，所以A 1也是可数的．于是开覆盖A 有一个可数子覆盖A 1 ．这证明X 是一个Lindefoff 空间．
推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff 空间．(即A 2空间的子空间仍然是A 2空间)
特别，n 维欧氏空间R n 的每一个子空间都是Lindeloff 空间.
证明 由定理5.1.5及上面定理即可得第一句结论；第二句结论成立是因为R n 是A 2空间.
说明 ⑴ 定理5.3.1的逆命题不成立.因为包含着不可数多个点的可数补空间X ，由例5.3.1知它是Lindeloff 的，由例5.1.1知X 不是A 1空间，从而由定理5.1.3知X 也不是A 2空间.
即：Lindeloff 空间 ⇒/ A 2空间 .
⑵ 推论5.3.2的逆命题都不成立．因为由例5.3.1知上述空间X 的每个子空间都是Lindeloff 空间，但X 不是A 2空间.
⑶ X 是Lindeloff 空间 ⇒
/ A 1空间；（即⑴中所说） X 是A 1空间⇒
/ X 是Lindeloff 空间.（因为任何一个离散空间是是A 1空间，但含不可数多个点的离散空间不是Lindeloff 空间）
⑷ 对度量空间X ，X 是A 2空间⇔ X 是Lindeloff 空间.
必要性由定理5.3.1 得，充分性是下面的定理：
定理5.3.3 每一个Lindeloff 的度量空间都是A 2空间.
证明 设（X ，d ）是一个Lindeloff 的度量空间．对于每一个k∈Z + ，集族 B ={B （x ，1/k ）|x∈ X }是X 的一个开覆盖．由于X 是一个Lindeloff 空间，
所以 B 有一个可数子覆盖，设为1{(,)|}k k i B x i Z k +=∈B ,从而开集族
k k Z +∈= B B
是一个可数族．以下证明B 是X 的一个基．
∀x∈X 和x 的任何一个邻域U ，∃ε 使得B(x,ε) ⊂U.由于k B
是X 的一个覆盖，所以∃1(,
)k i B x k ∈k B 使得x ∈1(,)k i B x k ，令k > 2/ε,则对任何y ∈1(,)k i B x k 有2(,)(,)(,)k i k i d x y d x x d x y k ε≤+<
<，所以1
(,)k i B x k ⊂ B(x,ε).于是x∈1
(,)k i B x k ⊂U ．据定理2.6.2可见B 是X 的一个基．X 有一个可数的基B ，
故为A 2空间． 证毕．
思考：可分性与Lindeloff 性有何关系？
三 Lindeloff 空间的性质
１．Lindeloff 空间不具有遗传性．
例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff 空间的例子． 设X 是一个不可数集，z∈X．令X 1 =X-{z}，T =P (X 1)∪{U ∈P (X) | z∈U,U ′
是可数集 }.容易验证T 是X 的一个拓扑．（请读者自己验证．）
拓扑空间（X ，T )是一个Lindeloff 空间．因为如果A 是X 的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是A ′是一个可数集．对于每一个x∈A ′，选取A x ∈A 使得x∈A x ．易见{A}∪{ A x | x ∈A ′}是A 的一个可数子覆盖．
另外，由于T |X1= P (X 1)．因此X 1作为X 的子空间是一个包含着不可数多个
点的离散空间．所以X 1不是一个Lindeloff 空间．
2. Lindeloff 空间对于闭子空间是可遗传的
定理5.3.4 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间．
证明 设Y 是Lindeloff 空间X 的一个闭子空间，A 是子空间Y 的一个开覆盖．则对于每一个A∈A ，存在X 中的一个开集U A 使得U A ∩Y=A．于是{U A |A∈A }∪{Y ′}是X 的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为{ U A1 , U A2 ,…}∪{Y ′}（即使不包含Y ′，多加一个也无妨）.这时易见，{ A 1 , A 2 ,…}，其中A i = U Ai ∩Y, i ∈Z + ,便是A 的一个（关于子空间Y 的）可数子覆盖． 证毕.
3. Lindeloff 性质是连续映射下的不变性质，从而是拓扑性质，也是可商的性质.（见习题1）
命题 X 和Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y 是连续映射.如果X 是一个Lindeloff 空间，则f(X)也是一个Lindeloff 空间.
证明 因为f ：X →Y 是连续映射，由§3.1习题6知，f ：X →f(X)也连续.设B 是f(X)的一个开覆盖，由连续知B ∈B 时，f -1(B)∈T X ,又由定理1.6.4的①知111()()[()]B B f B f B f f X X ---∈∈===
B B ，可知 A ={f -1(B) | B ∈B }是X 的
开覆盖．因X 是一个Lindeloff 空间，故A 有可数子覆盖A 1={f -1(B i ) | B i ∈B , i ∈Z + }，与此相应的，B 有可数子族B 1 = { B i ∈B | i ∈Z + }，因为
11111[()][()]()i i i i i i B B B B f f B f f B f X --∈∈∈===
B B B ，可见B 1是B 的（关于
f(X)的）可数子覆盖.故f(X)是一个Lindeloff 空间.
*4. Lindeloff空间不具有有限可积性
结论见习4* .
以下是子空间都是Lindeloff空间的拓扑空间——当然这时该空间本身也是Lindeloff空间的一个性质
定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A⊂X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即A∩d(A)≠Φ．
特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．
证明设A⊂X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域U a，使得U a∩A={a},这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．
四各类拓扑空间关系表
作业:P149 1．
本章总结
掌握：第一与第二可数性公理、可分空间、Lindelöff空间等基本概念及其
性质。

熟练掌握有关可数性公理之间的相互关系。

（1）A1，A2， Lindeloff空间是重点．
（2）掌握A1，A2，Lindeloff，可分是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的性质．
（3）掌握这些空间之间的关系（上述关系图）．
（4）掌握A1空间中序列的性质及定理5.1.8的内容与作用．。