第五章相交线与平行线单元试卷检测题(WORD版含答案)(1)

第五章相交线与平行线单元试卷检测题（WORD 版含答案）(1)
一、选择题
1．下列说法中，正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； ③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，已知直线a ∥b ，∠1=100°，则∠2等于（ ）
A ．80°
B ．60°
C ．100°
D ．70°
3．如图，五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，则∠C +∠D +∠E 的度数为（ ）
A ．180°
B ．270°
C ．360°
D ．450°
4．如下图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5，能判定AB ∥CD 的条件为（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③
5．如图1n //AB CB ，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A ．540°
B ．180°n
C ．180°(n-1)
D ．180°(n+1)
6．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）
A ．70°
B ．45°
C ．110°
D ．135° 7．下列命题中，假命题的个数为（ ） （1）“是任意实数，
”是必然事件； （2）抛物线的对称轴是直线；
（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为
； （4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生；
（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票一定有1张会中奖；
（6）函数与轴必有两个交点．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．下列说法不正确的是（ ） A ．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B ．在同一平面内两条不相交的直线是平行线 C ．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
9．下列语句是命题的是 ( )
（1）两点之间，线段最短；（2）如果两个角的和是180度，那么这两个角互补；（3）请画出两条互相平行的直线；（4）一个锐角与一个钝角互补吗?
A ．（1）（2）
B ．（3）（4）
C ．（2）（3）
D ．（1）（4）
10．已知，//AB CD ，且2CD AB ，ABE △和CDE △的面积分别为2和8，则ACE △的面积是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．如图，下列不能判定DF ∥AC 的条件是（ ）
A．∠A＝∠BDF B．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3 D．∠A+∠ADF＝180°
12．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（）
A．∠B与∠2是同旁内角B．∠A与∠1是同位角
C．∠3与∠A是同旁内角D．∠3与∠4是内错角
二、填空题
13．如图，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝1
2
∠AEM，∠MNP＝
1
2
∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分线交于点I，若∠I＝∠P，则a和b的数量关系为_____（用含a的式子表示b）．
14．如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED的度数为_______.
15．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对．
16．两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.
17．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM于点C，AB平分∠DAC，直线DB平分∠FBC，若∠ACB=100°，则∠DBA的度数为________．
18．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．
19．如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为_____．
20．如图，AD 平分,34BDF ∠∠=∠，若150,2130∠=︒∠=︒，则
CBD ∠=________︒．
三、解答题
21．已知：如图所示，直线MN ∥GH ，另一直线交GH 于A ，交MN 于B ，且∠MBA ＝80°，点C 为直线GH 上一动点，点D 为直线MN 上一动点，且∠GCD ＝50°．
（1）如图1，当点C 在点A 右边且点D 在点B 左边时，∠DBA 的平分线交∠DCA 的平分线于点P ，求∠BPC 的度数；
（2）如图2，当点C 在点A 右边且点D 在点B 右边时，∠DBA 的平分线交∠DCA 的平分线于点P ，求∠BPC 的度数；
（3）当点C 在点A 左边且点D 在点B 左边时，∠DBA 的平分线交∠DCA 的平分线所在直线交于点P ，请直接写出∠BPC 的度数，不说明理由．
22．已知//AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，连接EG 、FG ．
（1）如图，当点G 在AB 、CD 之间时，请直接写出AEG ∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系__________．
（2）如图，当点G 在AB 上方时，且90EGF ︒∠=， 求证：90︒∠-∠=BEG DFG ；
（3）如图，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ， FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，延长GE 、FT 交于点R ，若ERT TEB ∠=∠，请你判断FR 与HK 的位置关系，并证明． （不可以直接用三角形内角和180°）
23．如图1，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点G 在CD 上，点 F 在直线 AB ，CD 之间，连接EF ，FG ，EF 垂直于 FG ，∠FGD =125°．
(1)求出∠BEF 的度数；
(2)如图 2，延长FE 到H ，点M 在FH 的上方，连接MH ，Q 为直线 AB 上一点，且在直线 MH 的右侧， 连接 MQ ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；
(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST ，延长 GF 交 AB 于点 N ，P 为直线 ST 上一动点，请直接写出∠PGN ，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）
24．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．
小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ，通过平行线性质，可得APC ∠=______． 问题迁移：如图3，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，
BCP β∠=∠．
（1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系．
25．（1）①如图1，//AB CD ，则B 、P ∠、D ∠之间的关系是 ；
②如图2，//AB CD ，则A ∠、E ∠、C ∠之间的关系是 ；
（2）①将图1中BA 绕B 点逆时针旋转一定角度交CD 于Q (如图3)．证明：123BPD ∠=∠+∠+∠
②将图2中AB绕点A顺时针旋转一定角度交CD于H (如图4)证明：
∠+∠+∠+∠=︒
E C CHA A
360
∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度
（3）利用（2）中的结论求图5中A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=
数．A B C D E F G
26．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
27．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
∠+∠+∠的度数．
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求BAC B C
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A 作ED BC ∥
B EAB ∴∠=∠，
C ∠=__________．
__________180=︒
180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC ∠，B ，C ∠“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB ED ，试说明：180D BCD B ∠+∠-∠=︒（提示：过点C 做CF AB ∥）．
深化拓展：
（3）已知AB CD ∥，点C 在点D 的右侧，70ADC ∠=︒．BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB 与CD 两条平行线之间． ①如图3，点B 在点A 的左侧，若60ABC ∠=︒，则BED ∠的度数为________． ②如图4，点B 在点A 的右侧，且<AB CD ，AD BC <．若ABC n ∠=︒，则BED ∠的度数为________．（用含n 的代数式表示）
28．已知：//AB DE ，//AC DF ，B C E F 、、、四点在同一直线上．
（1）如图1，求证：12∠=∠；
（2）如图2，猜想1,3,4∠∠∠这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，Q 是AD 下方一点，连接,AQ DQ ，且13
DAQ BAD ∠=∠，
13
ADQ ADF ∠=∠，若110AQD ∠=︒，求2∠的度数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．
详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
③等腰三角形的两底角相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
故选D ．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．
2．A
解析：A
【解析】
试题分析：根据对顶角相等可得∠3=∠1=100°，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2=180°﹣∠3=180°﹣100°=80°．故答案选A ．
考点：平行线的性质.
3．C
解析：C
【分析】
首先过点D 作DF ∥AE ，交AB 于点F ，由AE ∥BC ，可证得AE ∥DF ∥BC ，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B ＝180°，∠E+∠EDF ＝180°，∠CDF+∠C ＝180°，继而证得结论．
【详解】
过点D 作DF ∥AE ，交AB 于点F ，
∵AE ∥BC ，
∴AE ∥DF ∥BC ，
∴∠A+∠B ＝180°，∠E+∠EDF ＝180°，∠CDF+∠C ＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E ＝360°，
故选C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
4．C
解析：C
【详解】
解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB ∥CD ；
②∵∠1=∠2，
∴AD ∥BC ；
③∵∠3=∠4，
∴AB ∥CD ；
④∵∠B=∠5，
∴AB ∥CD ；
∴能得到AB ∥CD 的条件是①③④．
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 同位角相等，两直线平行.
5．C
解析：C
【分析】
根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，
∵1n //AB CB ，
∴121180B B D ∠+∠=︒，2323180DB B B B E ∠+∠=︒，
3434180EB B B B F ∠+∠=︒，……
∴122323343411803B B D DB B B B E EB B B B F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯，…… ∴123180(1)n n ∠+∠+∠+
+∠=︒⨯-；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明． 6．C
解析：C
【分析】
根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a ∥b ，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．
【详解】
解：∵∠1与∠5是对顶角，
∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，
∴a ∥b ，
∴∠3+∠6＝180°，
∵∠3＝70°，
∴∠4=∠6＝110°．
故答案为C ．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定，其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键．
7．C
解析：C
试题解析：（1）“a是任意实数，|a|-5＞0”是不确定事件，是假命题；
（2）抛物线y=（2x+1）2的对称轴是直线x=-，是假命题；
（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为，是假命题；
（4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生，是真命题；
（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖，是假命题；
（6）函数y=-9（x+2014）2+与x轴必有两个交点，是真命题，
则假命题的个数是4；
故选C．
考点：命题与定理．
8．A
解析：A
【解析】试题分析：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A不正确；
在同一平面内两条不相交的直线是平行线，这是平行线的概念，故B正确；
在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故C正确；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故D正确；
故选：A.
9．A
解析：A
【分析】
根据命题的定义对四句话进行判断．
【详解】
解：（1）两点之间，线段最短，它是命题；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；
（3）请画出两条互相平行的直线，它不是命题；
（4）一个锐角与一个钝角互补吗？，它不是命题．
所以，是命题的为（1）（2），
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成如果…那么…形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．B
解析：B
利用平行线间的距离相等可知ABC 与ACD △的高相等，底边之比等于面积之比，设ACE △的面积为x ，建立方程即可求解．
【详解】
∵//AB CD
∴ABC 与ACD △的高相等
∵2CD AB =
∴=2ACD ABC S S
设ACE △的面积为x ，则=8+=+ACD CDE ACE S
S S x ，=2+=+ABC ABE ACE S S S x ∴()822+=+x x
解得4x =
∴=4ACE S
故选B ．
【点睛】
本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断．
【详解】
解：A ．∠A ＝∠BDF ，由同位角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
B ．∠2＝∠4，不能判断DF ∥A
C ；
C ．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
D ．∠A +∠ADF ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
12．B
解析：B
【分析】
根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可．
【详解】
解：A ．∠B 与∠2是BC 、DE 被BD 所截而成的同旁内角，故本选项正确；
B ．∠A 与∠1不是同位角，故本选项错误；
C ．∠3与∠A 是AE 、DE 被A
D 所截而成的同旁内角，故本选项正确；
D ．∠3与∠4是内错角AD 、C
E 被ED 所截而成的内错角，故本选项正确；
【点睛】
本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
二、填空题
13．．
【分析】
分别过点P 、I 作ME∥PH，AB∥GI，设∠AME=2x，∠PNF=2y，知∠PEM=x，
∠MNP=y，由PH∥ME 知∠EPH=x，由EM∥FN 知PH∥FN，据此得∠HPN=2y，∠E 解析：81209a b =
-︒． 【分析】
分别过点P 、I 作ME ∥PH ，AB ∥GI ，设∠AME=2x ，∠PNF=2y ，知∠PEM=x ，∠MNP=y ，由PH ∥ME 知∠EPH=x ，由EM ∥FN 知PH ∥FN ，据此得∠HPN=2y ，∠EPN=x+2y ，同理知3902
EIF x x ∠︒-
+＝，根据∠EPN=∠EIF 可得答案． 【详解】 分别过点P 、I 作ME ∥PH ，AB ∥GI ，
设∠AME ＝2x ，∠PNF ＝2y ，则∠PEM ＝x ，∠MNP ＝y ，
∴∠DFN ＝2x ，
∵PH ∥ME ，
∴∠EPH ＝x ，
∵EM ∥FN ，
∴PH ∥FN ，
∴∠HPN ＝2y ，∠EPN ＝x +2y ，
同理，3902EIF x x ∠︒-
+＝， ∵∠EPN ＝∠EIF ，
∴3902
x x ︒-+＝x +2y ，
∴33
90
42
b
︒-
a＝，
∴
9
135
8
b a =︒-，
∴
8
120
9
b-︒a＝，
故答案为：
8
120
9
b-︒a＝．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．14．70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
15．24
【解析】
【分析】
根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.
【详解】
解：如图所示
观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A
和
解析：24
【解析】
【分析】
根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.
【详解】
解：如图所示
观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和E有2对；A和F有2对.B和C有2对；B和D有2对；B和E有2对；B和F没有同旁内角.C和D有2对，C和E没有同旁内角，C和F有2对.D和E有2对；D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.
故答案是：24.
【点睛】
本题主要考察三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键. 16．130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是
解析：130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
17．50°
【解析】
解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC 内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线
解析：50°
【解析】
解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC内，
∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线BD平分
∠FBC，∴∠5=1
2（180°﹣∠4）=1
2
（180°﹣80°+2x）=50°+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣
∠5
=180°﹣x﹣（80°﹣2x）﹣（50°+x）
=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x
=50°．
故答案为50°．
点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
18．80
【解析】
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80
解析：80
【解析】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1
2
∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
19．48°
【分析】
将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，
∵AB∥CD，∠B＝75°
解析：48°
【分析】
将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，
∵AB∥CD，∠B＝75°，
∴∠EFC＝∠B＝75°，
又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，
∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故答案为：48°．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．
20．65
利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】
∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
解析：65
【分析】
利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．
【详解】
∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
∴∠DBE=∠2，
∴AE∥CF，
∴∠4=∠ADF，
∵∠3=∠4，
∴∠EBC=∠4，
∴AD∥BC，
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADB=∠ADF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠4=∠CBD，
∴∠CBD=∠EBC=1
2
∠DBE=
1
2
×130°=65°．
故答案为：65．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°
【分析】
（1）如图1，过点P作PE∥MN，根据题意结合平行线的性质和角平分线的性质可以得
出：∠BPE=∠DBP=40°，
1
CPE PCA DCA25
2
︒
∠=∠=∠=，据此进一步求解即可；
（2）如图2，过点P作PE∥MN，根据平角可得∠DBA=100°，再由角平分线和平行线的
性质得∠BPE＝130°，
1
PCA CPE DCA25
2
︒
∠=∠=∠=，据此进一步求解即可；
（3）如图3，过点P作PE∥MN，根据角平分线性质得出∠DBP＝∠PBA=40°，由此得出
∠BPE=∠DBP=40°，然后根据题意得出
1
PCA DCA65
2
︒
∠=∠=，由此再利用平行线性
质得出∠CPE度数，据此进一步求解即可.【详解】
（1）如图1，过点P作PE∥MN．
∵PB平分∠DBA，
∴∠DBP=∠PBA=40°，
∵PE∥MN，
∴∠BPE=∠DBP=40°，
同理可证：
1
CPE PCA DCA25
2
︒∠=∠=∠=，
∴∠BPC＝40°+25°＝65°；（2）如图2，过点P作PE∥MN．
∵∠MBA＝80°．
∴∠DBA＝180°−80°＝100°．∵BP平分∠DBA．
∴
1
DBP DBA50
2
︒∠=∠=，
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝180°−∠DBP＝130°，∵PC平分∠DCA．
∴
1
PCA DCA25
2
︒∠=∠=，
∵MN∥PE，MN∥GH，
∴PE ∥GH ，
∴∠EPC=∠PCA=25°，
∴∠BPC ＝130°+25°＝155°；
（3）如图3，过点P 作PE ∥MN ．
∵BP 平分∠DBA ．
∴∠DBP ＝∠PBA=40°，
∵PE ∥MN ，
∴∠BPE =∠DBP =40°，
∵CP 平分∠DCA ，∠DCA ＝180°−∠DCG ＝130°， ∴1PCA DCA 652
︒∠=
∠=， ∵PE ∥MN ，MN ∥GH ，
∴PE ∥GH ， ∴∠CPE ＝180°−∠PCA ＝115°，
∴∠BPC ＝40°+115°＝155°．
【点睛】
本题主要考查了平行线性质与角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
22．（1）∠G=∠AEG+∠CFG ；（2）见解析；（3）FR ⊥HK ，理由见解析
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；
（2）过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质得角相等和互补，即可得证；
（3）根据平行线的性质得角相等，即可求解．
【详解】
解：（1）如图：过点G 作//GH AB ，
∵//AB CD ，
∴//GH CD ，
∴AEG EGH ∠=∠，CFG FGH ∠=∠，
EGF AEG CFG ∴∠==∠+∠
AEG ∴∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系为G AEG CFG ∠=∠+∠．
故答案为：G AEG CFG ∠=∠+∠．
（2）如图，过点G 作//GP AB ，
180BEG EGP ∴∠+∠=︒，
180EHG HGP ∠+∠=︒，
90180EHG EGP ∴∠+︒+∠=︒，
90EHG EGP ∴∠+∠=︒，
//AB CD ，
DFG EHG ∴∠=∠，
180180()1809090BEG DFG EGP EHG EGP EHG ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．
（3）FR 与HK 的位置关系为垂直．理由如下： FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，GFT KFT ∴∠=∠，
90EGF ∴∠=︒，
90GFT ERT ∴∠+∠=︒，
90KFT ERT ∴∠+∠=︒，
ERT TEB ∠=∠，
90KFT TEB ∴∠+∠=︒，
//AB CD ，
FKT TEB ∴∠=∠，
90KFT FKT ∴∠+∠=︒，
90FTK ∴∠=︒，
KT FR ∴⊥，即FR HK ⊥．
∴FR 与HK 的位置关系是垂直．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
23．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【分析】
（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，
EFN ∠，从而求算BEF ∠；
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．
【详解】
（1）过点F 作//FN AB ，如图：
∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°
∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：
由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴35AEF EHL ∠=∠=︒
又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒
∴90EHM x ∠=︒+︒
∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒
∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：
设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒
设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒
又∵125FGD ∠=︒
∴125PGN y ∠=︒-︒
∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【点睛】
本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．
24．110︒；（1）CPD αβ∠=∠+∠；理由见解析；（2）当点P 在B 、O 两点之间时，CPD αβ∠=∠-∠；当点P 在射线AM 上时，CPD βα∠=∠-∠．
【分析】
问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE ∥AB ∥CD ，通过平行线性质来求∠APC ．
（1）过点P 作PQ AD ，得到PQ AD BC 理由平行线的性质得到
ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠，即可得到
CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠
（2）分情况讨论当点P 在B 、O 两点之间，以及点P 在射线AM 上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．
【详解】
解：问题情境：
∵AB ∥CD ，PE AB
∴PE ∥AB ∥CD ， ∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；
（1）CPD αβ∠=∠+∠
过点P 作PQ AD .
又因为AD BC ∥,所以PQ AD BC
则ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠
所以CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠
（2）情况1:如图所示，当点P 在B 、O 两点之间时
过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴AD ∥BC ∥PE ，
∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β
情况2：如图所示，当点P 在射线AM 上时，
过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴AD ∥BC ∥PE ，
∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α
【点睛】
本题主要借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理．
25．（1）①B D P ∠+∠=∠，②360A E C ∠+∠+∠=︒；（2）①证明见解析，②证明见解析；（3）540︒．
【分析】
（1）①如图1中，作//PE AB ，利用平行线的性质即可解决问题；
②作//EH AB ，利用平行线的性质即可解决问题；
（2）①如图3中，作//BE CD ，利用平行线的性质即可解决问题；
②如图4中，连接EH ．利用三角形内角和定理即可解决问题；
（3）利用（2）中结论，以及五边形内角和540︒即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图1中，作//PE AB ，
//AB CD ，
//PE CD ∴，
1B ∴∠=∠，D 2∠=∠，
12B D BPD ．
②如图2，作//EH AB ，
//AB CD ，
//EH CD ，
1180A ∴∠+∠=︒，2
180C ， 12360A C ， 360A AEC C ．
故答案为B D P ∠+∠=∠，360A E C ∠+∠+∠=︒．
（2）①如图3中，作//BE CD ，
EBQ，1
EBP EBQ，
3
BPD EBP．
2132
②如图4中，连接EH．
180
C CEB CBE，
A AEH AHE，180
A AEH AHE CEH CHE C，
360
A AEC C AHC．
360
（3）如图5中，设AC交BG于H．
AHB A B F，
∠=∠，
AHB CHG
在五边形HCDEG中，540
CHG C D E G，
A B F C D E G
540
【点睛】
本题考查图形的变换、规律型问题、平行线的性质、多边形内角和等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用结论解决问题．
26．（1）a＝3，b＝1；（2）当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC 与∠BCD的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC＝2:3．
【分析】
(1)利用绝对值和完全平方式的非负性即可解决问题.
(2)分三种情况，利用平行线的性质列出方程即可解决.
(3)将∠BAC 和∠BCD 分别用t 的代数式表示，然后在进行运算即可.
【详解】
（1）∵|a ﹣3b|+（a+b ﹣4）2＝0．
又∵|a ﹣3b|≥0，（a+b ﹣4）2≥0．
∴a ＝3，b ＝1；
故答案为a=3，b=1.
（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t ＜60时，
3t ＝（30+t ）×1，
解得t ＝15；
②当60＜t ＜120时，
3t ﹣3×60+（30+t ）×1＝180，
解得t ＝82.5；
③当120＜t ＜150时，
3t ﹣360＝t+30，
解得t ＝195＞150（不合题意）
综上所述，当t ＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.
故答案为：t=15秒或t=82.5秒.
（3）设A 灯转动时间为t 秒，
∵∠CAN ＝180°﹣3t ，
∴∠BAC ＝45°﹣（180°﹣3t ）＝3t ﹣135°，
又∵PQ ∥MN ，
∴∠BCA ＝∠CBD+∠CAN ＝t+180°﹣3t ＝180°﹣2t ，
∵∠ACD ＝90°，
∴∠BCD ＝90°﹣∠BCA ＝90°﹣（180°﹣2t ）＝2t ﹣90°，
∴∠BCD ：∠BAC ＝2：3．
故答案为：∠BAC 与∠BCD 的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC ＝2:3.
【点睛】
本题考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、解方程等知识，读懂题目的意思，掌握好平行线的性质是解题的关键.
27．（1）∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠（2）见解析（3）①65②215°−
12
n 【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°，∠B ＝∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数；
②∠BED 的度数改变．过点E 作EF ∥AB ，先由角平分线的定义可得：∠ABE ＝12∠ABC ＝12n°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF ＝180°−∠ABE ＝180°−
12n°，∠CDE ＝∠DEF ＝35°，进而可求∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝180°−12n°＋35°＝215°−12
n°． 【详解】
（1）过点A 作ED BC ∥
B EAB ∴∠=∠，
C ∠=∠DAC ．
EAB BAC DAC ∠+∠+∠180=︒
180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒
故答案为：∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠；
（2）如图2，过C 作CF ∥AB ，
∵AB ∥DE ，
∴CF ∥DE ，
∴∠D+∠FCD=180°， ∵CF ∥AB ，
∴∠B ＝∠BCF ，
∵BCD ∠=∠FCD+∠BCF ，
∴D BCD B ∠+∠-∠=
180D FCD BCF B D FCD B B D FCD ∠+∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒； 即180D BCD B ∠+∠-∠=︒；
（3）①如图3，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥EF ，
∴∠ABE ＝∠BEF ，∠CDE ＝∠DEF ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，
∴∠ABE ＝
12∠ABC ＝30°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35°， ∴∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝30°＋35°＝65°； 故答案为：65；
②如图4，过点E 作EF ∥AB ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝n°，∠ADC ＝70°
∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12n°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35° ∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥EF ， ∴∠BEF ＝180°−∠ABE ＝180°−12
n°，∠CDE ＝∠DEF ＝35°， ∴∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝180°−
12n°＋35°＝215°−12n °． 故答案为：215°−12
n ．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
28．（1）详见解析；（2）118034∠+︒=∠+∠，详见解析；（3）230∠=︒
【分析】
（1）如下图，延长AC ，DE 相交于点G ，利用∠G 作为过渡角可证；
（2）如下图，作//CP AB ，可得//CP DE ，推导得出118034∠+︒=∠+∠； （3）如下图，过Q 作1//AD l ∠，利用平行可得出70x y +=︒，再利用////QR AB DE 得到22110x y z +-=︒，从而得出z 的值．
【详解】
（1）延长,AC DE 相交于点G ．
∵//AB DE ，//AC DF
∴1G ∠=∠，2G ∠=∠
∴12∠=∠．
（2）作//CP AB ，则//CP DE
∵//CP AB ，//CP DE ．
∴1ACP ∠=∠，4180ECP ∠+∠=︒
∴11804ACP ECP ∠+︒=∠+∠+∠
即118034∠+︒=∠+∠．
（3）过Q 作1//AD l ∠
则5D ∠=．6y ∠=
∵56110180∠+∠+︒=︒
∴110180x y ++︒=︒
即70x y +=︒
旁证：过Q 作//QR AB ，则//QR DE ．
设DAQ x ∠=，APQ y ∠=，2z ∠=．
则2BAQ x ∠=，2FDQ y ∠=，1z ∠=．
∵////QR AB DE
∴2AQR BAQ x ∠=∠=，2EDQ DQR y z ∠=∠=-．
∴22110x y z +-=︒
又∵70x y +=︒
∴22140x y +=︒
∵(2)(22)30x y x y z z +-+-==︒
∴230∠=︒
【点睛】
本题考查角度的推导，第（3）问的解题关键是通过方程思想和整体思想，计算得出∠2的大小．。