云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(七)数学(文)(含答案)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

云南师范大学附属中学2021届高三下学期第七次月考
文科数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回,满分150分,考试用时120分钟.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数2
12i
z =
+(i 是虚数单位),则z =( ) A.1255i + B.1255
i - C.
24i 55+ D.24i 55
- 2.已知集合{1,0,1}A =-,1cos ,2x B y
y x A π⎧⎫
==-∈⎨⎬⎩⎭∣,则集合A B =∩( ) A.{1,0}-
B.∅
C.{1,0,1}-
D.{0,1}
3.某单位有管理人员、业务人员、后勤人员共m 人,其中业务人员有120人,现采用外层抽样的方法从管理人员、业务人员、后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况,若抽取的管理人员有6人,且抽取的管理人员与业务人员的比为1:4,抽取的后勤人员比业务人员少20人,则m 的值为( ) A.170
B.180
C.150
D.160
4.已知5
15a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,1
55b =,15log 5c =,则( )
A.c b a <<
B.c a b <<
C.a b c <<
D.b c a <<
5.已知()f x ,()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数,若2()()2x f x g x --=,则
(1)g -=( ) A.5
B.-5
C.3
D.-3
6.命题p :存在实数a ,使得对任意实数x ,cos()cos x a x -=-恒成立;命题
q :0b ∀>,()ln
b x
f x b x -=+为奇函数,则下列命题是真命题的是( ) A.()p q ∧⌝
B.()p q ⌝∧
C.p q ∧
D.()()p q ⌝∨⌝
7.方程()()22220x x m x x n ----=有4个不等的实根、且组成一个公差为1的等差数列,则mn 的值为( ) A.158
-
B.
158
C.1516
-
D.
1516
8.已知函数()2sin()0,
2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭∣的图象上相邻两个最值点间的距
离为5,且过点(0,,则要得到函数()y f x =的图象,只需将函数
2sin y x ω=的图象( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位 C.向左平移
1
2个单位 D.向右平移
1
2
个单位 9.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卵、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫作“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉、甲戌、己亥、丙子、……、癸未、甲申、乙酉、丙戌、……、癸巳、……,共得到60个组合,周而复始,循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2021年是“干支纪年法”中的( ). A.庚子年
B.辛丑年
C.已亥年
D.戊戌年
10.知三棱锥A ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上,且AB ⊥平面BCD ,
AB =4AC AD ==
,CD =O 的表而积为( )
A.20π
B.18π
C.36π
D.24π
11.已知函数()sin cos e
f x x x x x
=
-+⋅,当[4,4]x ππ∈-且0x ≠时,方程()0f x =的根的个数是( )A.7
B.6
C.9
D.8
12.已知双曲线2
2:12
x C y -=,若直线:(0)l y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M 、N ,且M ,N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上,则m 的取位范围是( )
A.1,0(3,)3∞⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭∪ B.(3,)∞+ C.(,0)(3,)∞∞-+∪
D.
1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若实数x ,y 满足2,0,0,x x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
,则不等式组表示的平面区域的面积
为 .
14.已知点O 为坐标原点,抛物线23y x =与过焦点的直线交于A ,B 两点,则
OA OB ⋅等于 .
15.在半径为a 的圆上A ,B 两点,且AB a =,在该圆上任取一点P ,则使
PAB △为锐角三角形的概率为 .
16.偶函数()f x 的定义域是,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,其导函数是()f x '.当02x π<<时,
()cos ()sin 0f x x f x x +<'.则关于x 的不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫
<⋅ ⎪⎝⎭解集
为 .
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
ABC △的内A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c sin (2cos )A a B =+. (1)求角B ;
(2)若3b =,且ABC △的面积等于2,求11a c
+的值. 18.(本小题满分12分)
支付宝为人们的生活带来许多便利,为了了解支付宝在某市的使用情况,某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查,得到如下数据:
(1)如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”,完成下面
22⨯列联表,并判断能否在犯错误基率不超过0.05的前提下,认为是否“喜
欢使用支付宝”与年龄有关?
(2)每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”,在该市所有“支付宝达人”中,采用分层抽样的方法抽取5名用户,再从这5人中随机抽取2人,赠送一件礼品,求选出的这2人中至少有1名40岁以上用户的概率.
附:2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.
19.(本小题满分12分)
如图,在棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形.且AD BC ∥,
90ABC ∠=,PD ⊥平面ABCD ,1AD =,4BC =,CD =,PD =
(1)求证:平面PBD ⊥平面PCD ; (2)求点C 到平面PAB 的距离. 20.(本小题满分12分)
已知抛物线2(0)y px p =>上一点(,4)M m 到焦点F 的距离是4. (1)求抛物线的力程;
(2)过点F 任作直线l 交抛物线于A ,B 两点,交直线2x =-于点C ,N 是
AB 的中点,求
||||
||||
CA CB CN CF ⋅⋅的值.
21.(本小题满分12分) 已知函数1
()ln 1f x a x bx x
=+
++. (1)当0a =时,函数()f x 的极小值为5,求正数b 的值;
(2)若1b =,3
()()F x f x x =-,且当22a -时,不等式()1F x 在区间[]
1,2上有解,求实数a 的取值范围.
请考点在第22、23两题中任选一题作答,“并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)【选修44-:坐标系与参数方程】
在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-,以极点O 为原点,
极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为2,32,x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为
参数).
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;
(2)若(0,1)P -为平面直角坐标系中的一点,Q 为C 上的动点,求PQ 的中点
M 到直线l 的距离的最大值.
23.本小题满分10分)【选修45-:不等式选讲】 已知函数()|2|f x x a =-.
(1)若对任意的[]2,2x ∈-,()4|2|f x x -+恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若()f x m ,()f y m ≤,求证:24333
x y m a
-+.
文科数学参考答案
一、选择题
【解析】 1.22(12)
12(12)(12)i z i i i -=
=
++-2455i =-,24i 55
z ∴=+,故选C . 2.因为{0,1}B =,所以{0,1}A B =∩,故选D .
3.若抽取的管理人员有6人,且抽取的管理人员与业务人员的比为1:4,所以抽取的业务人员有24人,又抽取的后勤人员比业务人员少20人,抽取的后勤人员有4人,所以
120
624424
m =++,170m ∴=,故选A .
4.因为01a <<,1b >,0c <,c a b ∴<<,故选B .
5.因为2()()2x f x g x --=,()()f x g x ⋅是定义在R 上的偶函数和奇函数,所以
2()()2x f x g x ++=,()221()222
x
x g x +-∴=
-,(1)3g ∴-=-,选D . 6.对于命题p ,取a π=,对任意实数x ,cos()cos x x π-=-成立,因此p 真;对于命题q ,函数()f x 的定义域是(,)b b -,且()()f x f x -+=
ln
ln 0b x b x b x b x +-+=-+,()ln b x
f x b x
-∴=+为奇函数,因此q 真,所以p q ∧为真命题,故选C .
7.设4个根组成的等差数列为1x ,2x ,3x ,4x ,则14232x x x x +=+=,
1232x d ∴+=.
又1d =,112x ∴=-,212x ∴=,332x =,452x =,15
16mn ∴=-,故选C .
8.由题意(0)2sin f ϕ==,又||2
π
ϕ<
,3
π
ϕ∴=-
.易知()f x 的最大值为
2,最小值为2-56T =⇒=,
3πω∴=
.()2sin 33f x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭2sin (1)3x π⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
,故要得到函数()y f x =的
图象,只需将函数2sin
3
y x π
=的图象向右平移1个单位,故选B .
9.天干的周期为10,地支的周期为12,因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年,所以2014年为甲午年,从2014年到2021年,经过了7年,所以“天干”中的甲变为辛,地支中的午变为丑,即2021年是辛丑年,做选B . 10.因为AB ⊥平面BCD ,所以AB BC ⊥,AB BD ⊥,
2BC BD ∴===,在BCD △中,CD =222CD BC BD ∴=+,BC BD ∴⊥.设球O 的半径为R ,则
2R ===R ∴=O 的表面积为20π.故选A . 11.设e
()g x x
=
,()sin cos h x x x x =-⋅,求方程()0f x =的根的个数,即求函数()y g x =与()y h x =的图象的交点个数.因为()f x 与()g x 均为奇函数,故只需求函数()y g x =与()y h x =的图象在(0,4]π上的交点个数.因为()sin h x x x =',
所以()h x 在
(0,)π,(2,3)ππ上单调递增,在(,2)ππ,(3,4)ππ上单调递减.画出函数()y g x =与()y h x =在(0,4]π上的图象,得两图像在(0,4]π上有4个交点,故在[4,0)π-上也有4个交点,故方程()0f x =在[4,4]ππ-上有8个根,故
选D .
12.设()11,M x y ,()22,N x y ,由2
2
,
22,
y kx m x y =-⎧⎨-=⎩()()2
2
2
124210k x kmx m ⇒---+=,则222
120,
Δ0120k m k ⎧-≠⎨>⇒+->⎩
①,且122412mk
x x k +=-,()2122
2112m x x k -+=-,设MN 的中点为()00,G x y ,则
02212km x k =-,02
12m
y k -=-,AG MN ⊥,2
1212m k k km
+-∴
⋅=-,22=31k m ∴+②,由①②得1
03m -<<或3m >.故选A . 二、填空题
【解析】
13.画出可行域,得平面区域的面积为1
424
2
⨯⨯=.
14.设211,3y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2
22,3y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭

2129
4
y y p =-=-,
22
1212,,33y y OA OB y y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22
12
121279
16y y y y =+=-. 15.设圆心为O ,连接AO 并延长交圆于点C ,连接BO 并延长交圆于点D ,连接BC ,AD ,CD .因为AC ,BD 为直径,所以90ABC BAD ∠∠==,当点
P 在点C 或点D 处时,ABP △为直角三角形,当点P 在点C 与点D 之间的劣弧
上时,ABP △为锐角三角形,故使ABP △为锐角三角形的概率为1
6

16.令()()cos f x F x x =
,则2
()cos ()sin ()cos f x x f x x F x x +'=',由条件,当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0F x '<,()F x ∴在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减,因为()()cos()f x F x x --=
-()()cos f x F x x =
=,()F x ∴为偶函数.当,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时,cos 0x >,则()2cos 3f x f x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭等价于
()3cos cos 3
f f x x ππ⎛⎫

⎝⎭<,即()3F x F π⎛⎫
< ⎪⎝⎭.因为()F x 为偶函数,所以有(||)3F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭,3x π∴>,又因为,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
,所以所求解集为
,,2332ππππ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∪. 三、解答题 17.
解:(1
sin (2cos )A a B =+,
sin sin (2cos )A B A B =+.
(0,)A π∈,sin 0A ∴>,
cos 2B B -=,
2sin 26B π⎛
⎫∴-= ⎪⎝⎭,
6
2
B π
π
∴-
=
,23
B π
∴=
. (2
)因为ABC S =

,1223acsin π∴=,2ac ∴=.
又22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-,
a c ∴+=
112
a c a c ac +∴+==. 18.
解:(1)由题中表格数据可得22⨯列联表如下:
将列表中的数据代入公式计算得:
2
K 的观测值2100(30104515)25755545
k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 3.030 3.841≈<,
所以在犯错误率不超过0.05的前提下,不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关.
(2)设事件M 为“选出的这2人中至少有1名40岁以上用户”, 则事件M 为“选出的这2人中都是40岁及以下用户”,
由题意,所抽取的5名“支付宝达人”中,40岁及以下的人数为3人,别设为
a ,
b ,
c ,
40岁以上的人数为2人,分别设为x ,y ,
则从5人中选出2人的所有可能结果为:{,}a b ,{,}a c ,{,}a x ,{,}a y ,
{,}b c ,{,}b x ,{,}b y ,{,}c x ,{,}c y ,{,}x y ,共10种,
其中,选出的这2人中都是40岁及以下用户的结果为{,}a b ,{,}a c ,{,}b c ,共3种,所以3()10P M =,所以37
()1()11010
P M P M =-=-=. 19.
(1)证明:如图,在直角梯形ABCD 中,过D 作DF AB ∥,交BC 于F , 因为1AD =,4BC =,3CF ∴=.
又2CD =
DF AB ∴==,2BD ∴=,
222BD CD BC ∴+=,BD CD ∴⊥,
又因为PD ⊥平面ABCD ,PD BD ∴⊥,且 PD CD D =∩,
BD ∴⊥平面PCD .

BD ⊂平面PBD ,
∴平面PBD ⊥平面PCD .
(2)解:设点C 到平面PAB 的距离为h , 在Rt PAD △
中,PA == 在Rt PBD △
中,PB == 由C PAB P ABC V V --=,
得:11
32h ⨯
11432=⨯⨯
h ∴=
, 即点C 到平面PAB
. 20.
解:(1)因为||42
p
MF m =+=①,且点(,4)M m 在抛物线上,所以216pm =②.
由①②得4p =,所以抛物线的方程为28y x =. (2)由题意知,直线AB 的斜率存在,且不为零,
设点A ,B ,N ,F 在准线上的投影分别为1A ,1B ,
G ,H ,
||||
(0)||||
CA CB a a CN CF ⋅=>⋅,
所以||||||||CA CB a CN CF ⋅=⋅, 11||||CA CB a CG CH
∴⋅=⋅∣∣, 设直线AB 的方程为2x my =+,代入28y x =,得28160y my --=.
设()11,A x y ,()22,B x y ,则12
8y y m +=,1216y y =-. 在2x my =+中,令2x =-,得4y m =-
,即42,C m ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭.
所以()()12C C y y y y -⋅-()122C C y y a y y +⎛⎫
=-⋅- ⎪⎝⎭,
即()2
1212C C
y y y y y y -++()
122
2
C C ay y y ay -+=
+,
所以2416168m m m -+
⋅+216
16a a m
=+⋅, 即21(1)10a m ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
,1a ∴=,
所以 ||||
1||||
CA CB CN CF ⋅=⋅.
21.
解:(1)函数()f x 的定义域为(0,)∞+. 当0a =时,1()1f x bx x =
++,则21
()f x b x
-'=+,
()00f x x <⇒<<
',()0f x x >⇒>',
所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减,()f x 在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增,
所以函数()f x 的极小值为15f ==,
4b ∴=.
(2)当1b =时,2
()ln 1F x a x x x
=-
++,[1,2]x ∈, 则22()1a F x x x =++'222x ax x ++=2
22224
a a x x ⎛
⎫++- ⎪⎝⎭=
. ①当2
204
a -
,即22a -时,()0F x ',
所以()F x 在[]1,2上单调递增,所以max ()(2)F x F =;
②当2
204a -<
,即a >()2220Δ80x ax a ++==->的两根分别为1x ,2x ,
则12x x a +=-,122x x =,10x ∴<,20x <,
所以在区间[]1,2上,22
2
()0x ax F x x ++=
>', 所以()F x 在[]1,2上单调递增,所以max ()(2)F x F =.
综上,当22a -时,()F x 在区间[]1,2上的最大值为(2)ln 221F a =+,
1ln 2
a ∴-
, 所以实数a 的取值范围是1,ln 2∞⎡⎫
-+⎪⎢⎣⎭
. 22.【选修44-:坐标系与参数方程】
解:(1)曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin ρρθρθ=-,
所以曲线C 的直角坐标方程为2242x y x y +=-,即22(2)(1)5x y -++=. 将直线l 的参数方程消去参数t 得直线l 的普通方程为270x y -+=. (
2)
(法一)设(2,1)Q αα+-+,
则1,1sin 22M αα⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭
. 所以点M 到直线l 的距离
d
=
=
=

其中sin ϕ=
,cos ϕ=,
所以max 5
102d +
=
=.
(法二)由(1)知CP 的中点(1,1)D -, 因为M 是PQ
的中点,所以1||||22
DM CQ =
=, 所以点M 的轨迹是以D
为圆心,
2
为半径的圆, 所以点M 到直线l 的距离的最大值为圆心D 到直线l 的距离加上圆D 的半径. 又点D 到直线l
的距离d =
= 所以点M 到直线l
的距离的最大值为+=. 23.【选修45-:不等式选讲】
(1)解:当[2,2]x ∈-时,|2|2x x +=+, 所以()4|2|f x x -+恒成立,
即|2|42x a x ---,22x a x ∴--或22x a x --+,
32a x ∴-或2a x +恒成立,
所以有(32)man a x -或max (2)a x +. 又[2,2]x ∈-,8a ∴-或4a ,
所以实数a 的取值范围是(,8][4,)∞∞--+∪. (2)证明:要证
24333
a x y m -+,只需证|24|3x y a m -+.
由()f x m ,()f y m , 得|2|x a m -,|2|y a m -, 则|24||(2)2(2)|x y a x a y a -+=---|(2)||2(2)|x a y a -+-23m m m +=,
所以24333
a
x y m -+.。

相关文档
最新文档