高中数学总复习知识点专题讲解与练习2不等式

高中数学总复习知识点专题讲解与练习
专题2不等式
一、单项选择题
1．(2021·江西六校联考)已知集合A ＝{x ∈N |2x －7<0}，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，则A ∩B ＝( )
A ．{1，2，3}
B ．{0，1，2，3}
C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≤72
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |0<x ≤72 答案 B
解析 由已知得A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－1≤x ≤4}， 则A ∩B ＝{0，1，2，3}．故选B. 2．(2019·课标全国Ⅱ)若a >b ，则( )
A ．ln(a －b )>0
B ．3a <3b
C ．a 3－b 3>0
D ．|a |>|b | 答案 C
解析 取a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但ln(a －b )＝0，则A 错误；由9＝32>31＝3，则B 错误；取a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|1|<|－2|，则D 错误；因为幂函数y ＝x 3是增函数，a >b ，所以a 3>b 3，即a 3－b 3>0，C 正确．故选C.
3．(2021·东北三省四市一模)设a >0，b >0，若2a ＋b ＝2，则1a ＋2
b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B
解析 方法一：1a ＋2b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫2＋b a ＋4a b ＋2≥12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4＋2
b a ×4a b ＝4，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝1
2，b ＝1时，等号成立．故选B. 方法二：1a ＋2b ＝2a ＋b 2a ＋2a ＋b b ＝1＋b 2a ＋2a
b ＋1≥2＋2b 2a ×2a b ＝4，当且仅当b 2a ＝2a b ，
即a ＝1
2，b ＝1时，等号成立．故选B.
4．已知a ，b 都是实数，则“ln 1a <ln 1
b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 ∵ln 1a <ln 1b ，∴0<1a <1
b ，∴a >b >0，∴a 2>b 2.
而由a 2
>b 2
得到|a |>|b |，∴“ln 1a <ln 1
b ”是“a 2>b 2”的充分不必要条件．故选C.
5．下列各函数中，最小值为2的是( )
A ．y ＝x ＋1x
B ．y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2
C ．y ＝x 2＋3x 2＋2
D ．y ＝x ＋1
x
答案 D
解析 当x >0时，y ＝x ＋1x ≥2，当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡
⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2，故A 不正确； 当x ∈⎝
⎛
⎭⎪⎫0，π2时，sin x ∈(0，1)，令t ＝sin x ∈(0，1)，
则y ＝t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝4
t ，即t ＝2时等号成立，t ＝sin x ∈(0，1)，t ＝2取不到，所
以y >4，故B 不正确；
y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，由于x 2＋2＝1x 2＋2无解，所以等号不能取得，故C
不正确； y ＝x ＋1
x
≥2x ×
1x ＝2，当且仅当x ＝1
x
，即x ＝1时等号成立，故D 正确．故选D.
6．(2021·山西晋中月考)已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B
解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2（a ＋1）（b ＋2）－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.故选B.
7．(2021·湖北十一校联考)设a >0，b >0，则“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 因为a >0，b >0，所以4≥1a ＋1b ≥2
1a ·1b ，当且仅当a ＝b 时取等号，则2≥1ab
，所以ab ≥14；若ab ≥14，取a ＝14，b ＝1，则1a ＋1b ＝4＋1＝5>4，即1a ＋1
b ≤4不成立．所以“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥1
4”的充分不必要条件．故选A.
8．(2021·四川省宜宾二模)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，12恒成立，则a 的最
小值是( )
A ．0
B ．－2
C ．－5
2 D ．－
3 答案 C
解析 不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，等价于a ≥－x －1x 对于一切x ∈⎝ ⎛
⎦⎥
⎤0，12成立，
∵y ＝－x －1x 在区间⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12上是增函数，
∴－x －1x ≤－12－2＝－5
2，
∴a ≥－52，∴a 的最小值为－5
2.故选C. 9．若log 3(2a ＋b )＝1＋log
3
ab ，则a ＋2b 的最小值为( )
A ．6 B.83 C ．3 D.16
3 答案 C
解析 本题考查基本不等式．由题意得log 3(2a ＋b )＝1＋log 3(ab )，所以2a ＋b ＝3ab ，a >0，b >0，即2b ＋1a ＝3，所以a ＋2b ＝13(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋1a ＝13⎝ ⎛
⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥13⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5＋2×2a b ×2b a ＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．故选C.
10．已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1，3) 答案 C
解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f (a )>0
对任意a ∈[－1，1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，① 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0，② 联立①②，解得x <1或x >3.故选C. 二、多项选择题
11．(2021·河北衡水中学二调)已知0<log 12a <log 12b <1，则下列说法正确的是( )
A ．1>a 2>b 2>14
B ．2>1a >1
b >1
C.a b －1>b a －1
D.1e >e －b >e －a >1
e 答案 ACD
解析 已知0<log 12a <log 12b <1，因为y ＝log 12x 在区间(0，＋∞)上单调递减，所以12<b <a <1，
所以14<b 2<a 2<1，故A 正确；因为函数y ＝1x 在区间(0，＋∞)上单调递减，且1
2<b <a <1，所以2>1b >1a >1，故B 错误；因为a b －1－b
a －1＝a （a －1）－
b （b －1）（b －1）（a －1）＝
（a 2－b 2）－（a －b ）
（b －1）（a －1）
＝
（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）
.又
12
<b <a <1
，
所
以
（a －b ）（a ＋b －1）（b －1）（a －1）
>0，故C 正确；因为－1
2>－b >－a >－1，函数y ＝e x 为单调递增函
数，所以1e <e －a <e －b <1
e
，故D 正确．
12．(2021·长郡模拟)设a >b >1，0<c <1，则下列不等式中成立的是( ) A ．a c <b c B ．a b >b c C ．log b c <log a c D ．log c b <log c a 答案 BC
解析 0<c <1⇒a c >b c ，故A 错误；因为a >b >1，0<c <1，所以a b >b b >b c ，故B 正确；由对
数函数的单调性可得log c b >log c a ，故D 错误；因为log b c ＝1log c
b ，log a
c ＝1
log c
a ，
0>log c b >log c a ，所以log b c <log a c ，故C 正确．故选BC. 13．下列结论正确的是( )
A ．若ab >0，则b a ＋a
b ≥2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2
C ．若x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，则1x 2＋4
y 2≥9 D ．函数f (x )＝e －x ＋e x (x >0)有最小值2 答案 AC
解析 因为ab >0，所以a b >0，b a >0，所以由基本不等式可得b a ＋a
b ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，A 正确；易知y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2
，因为x 2＋2≥2，f (x )＝x ＋1
x 在[2，
＋∞)上单调递增，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2＋12＝32
2，所以函数y ＝x 2
＋3x 2＋2
的最
小值为322，B 错误；因为x 2＋y 2＝1(x >0，y >0)，所以1x 2＋4y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋y 2x 2＋4x 2y 2
≥9，当且仅当y 2＝2x 2时等号成立，C 正确；f (x )＝e －x ＋e x ＝1
e x ＋e x ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，而x >0，故D 错误．故选AC.
14．(2021·唐山市三模)已知函数f (x )＝x ＋1
x (x >0)，若f (a )＝f (b )，且a <b ，则下列不等式成立的有( )
A ．ab ＝1
B ．a 2＋b 2>2 C.1a ＋2
b ≥22 D ．log a b <log b a 答案 ABC
解析 ∵f (x )＝x ＋1
x (x >0)，f (a )＝f (b )，
∴a ＋1a ＝b ＋1b ，即a －b ＝1b －1a ＝a －b ab .
∵a <b ，∴a －b ≠0，∴1
ab ＝1，即ab ＝1，故A 正确． ∵a <b ，ab ＝1，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 2>2，故B 正确． 1a ＋2b ≥2
2
ab ＝22，
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，ab ＝1，即⎩⎨
⎧a ＝22，
b ＝2时“＝”成立，故C 正确． ∵ab ＝1，∴a ＝1b ，b ＝1
a
，
∴log a b ＝log b a ＝－1，故D 错误．故选ABC. 15．已知2a ＝3b ＝6，则下列选项一定正确的是( ) A ．ab >4 B ．(a －1)2＋(b －1)2<2 C ．log 2a ＋log 2b >2 D ．a ＋b >4 答案 ACD
解析 ∵2a
＝3b
＝6，∴a ＝log 26，b ＝log 36.∴1a ＝log 62，1b ＝log 63，∴1a ＋1
b ＝1.
∵1＝1a ＋1b ≥21
ab ，∴ab ≥4.∵a ≠b ，∴ab >4，故A 正确．
∵log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )>log 24＝2，故C 正确．
∵a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a b ＋b
a ＋2≥4.∵a ≠
b ，∴a ＋b >4，故D 正确． ∵a －1＝log 23，b －1＝log 32，∴(a －1)·(b －1)＝1，
∴(a －1)2＋(b －1)2≥2(a －1)·(b －1)＝2.∵a －1≠b －1，∴(a －1)2＋(b －1)2>2.故B 不正确．故选ACD.
三、填空题
16．(2021·济南学情诊断)若实数x ，y 满足lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则xy 的最小值为________． 答案 4
解析 依题意可知x >0，y >0，由lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )得lg(xy )＝lg(x ＋y )，得xy ＝x ＋y .由基本不等式得xy ＝x ＋y ≥2xy ，即xy －2xy ＝xy (xy －2)≥0，所以xy ≥2，xy ≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以xy 的最小值为4.
17．(2021·辽宁五校期末联考)已知正实数a ，b 满足ab －b ＋1＝0，则1a ＋4b 的最小值是________． 答案 9
解析 本题考查基本不等式的应用．∵ab －b ＋1＝0，∴a ＝b －1b >0，∴b －1>0. 又1a ＋4b ＝
b b －1＋4b ＝5＋1b －1
＋4(b －1)≥5＋21b －1·4（b －1）＝5＋4＝9，当且仅当1
b －1
＝4(b －1)，即b ＝32，a ＝13时等号成立，则1
a ＋4
b 的最小值是9.
18．(2021·吉林五校联考)若正实数a ，b 满足ab ＝1，则1a ＋1b ＋1
a ＋
b 的最小值为________．
答案 52
解析 方法一：因为a >0，所以a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1
a ＝1时等号成立，又a
b ＝1，所以a ＝1b ，则1a ＋1b ＋1a ＋b
＝1a ＋a ＋1a ＋1a .令t ＝a ＋1a ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单
调递增，所以f (t )min ＝f (2)＝2＋12＝52，所以1a ＋1b ＋1a ＋b
的最小值为5
2.
方法二：因为ab ＝1，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”.1a ＋1b ＋1
a ＋
b ＝
b ＋a ＋1a ＋b ，令t ＝a ＋b ≥2，f (t )＝t ＋1t ，则f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以1a ＋1b ＋
1
a ＋
b 的最小值为2＋12＝52.
19．(2021·临渭期末)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．12 答案 B
解析 ∵x 2
＋2xy －3＝0，∴y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝3x 2＋32x ≥2
3x 2·3
2x
＝3，当且仅当3x 2＝3
2x ，即x ＝1时取等号．故选B.
20．(2021·毕业班第二次文科卷)已知a －5＝ln a 5<0，b －4＝ln b 4<0，c －3＝ln c
3<0，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．b <c <a
B ．a <c <b
C ．a <b <c
D ． c <b <a 答案 C
解析 令f (x )＝x －ln x ，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增．
当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，故f (5)>f (4)>f (3)， ∴5－ln 5>4－ln 4>3－ln 3. ∵a －5＝ln a
5＝ln a －ln 5<0， ∴a －ln a ＝5－ln 5，
∴f (a )＝f (5)，且a ∈(0，1)．
同理f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，且b ∈(0，1)，c ∈(0，1)， ∴f (a )>f (b )>f (c )，∴a <b <c .故选C.
1．(2021·山东滨州市一模)已知p ：|x －a |<1，q ：3
x ＋1
>1，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )
A ．[0，1]
B ．(0，1]
C ．[－1，2)
D ．(－1，2) 答案 A
解析 因为|x －a |<1，所以a －1<x <a ＋1，即p ：a －1<x <a ＋1， 因为
3
x ＋1
>1，所以－1<x <2，即q ：－1<x <2. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧a －1≥－1，
a ＋1≤2，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤1.
故选A.
2．不等式x
2x －1
>1的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2 答案 A
解析 原不等式等价于
x
2x －1－1>0，即x －（2x －1）2x －1>0，整理得x －12x －1
<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得1
2<x <1.故选A.
3．【多选题】(2021·梅州市高三总复习)若1a >1
b >0，下列不等式中正确的是( )
A ．a 2(1＋b )<ab (1＋a )
B ．a 3＋b 3>2ab 2 C.b －a <b －a D ．log a ＋23>log b ＋13
答案 AC
解析 ∵1a >1b >0，∴b >a >0.
a 2(1＋
b )－ab (1＋a )＝a 2＋a 2b －ab －a 2b ＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，
故a 2(1＋b )<ab (1＋a )，故A 正确．
a 3＋
b 3－2ab 2＝a 3－ab 2＋b 3－ab 2＝a (a －b )·(a ＋b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2＋ab －b 2)． 令a ＝2，b ＝3，则a 2＋ab －b 2>0.∴此时a 3＋b 3<2ab 2，故B 不正确．
b －a <b －a 等价于b ＋a －2ab <b －a ，即a <ab .
即a <b .∴b －a <b －a 成立，故C 正确．
令b ＝2，a ＝1，则log a ＋23＝log b ＋13＝1，故D 错误．故选AC.
4．(2021·A 佳湖南大联考)已知a >0，b >0，则“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若a >b >0，则1b >1a ，所以a ＋1b >b ＋1a ，所以a －b >1a －1b ，充分性成立．若a －b >1a －
1b ，则a ＋1b －b －1a >0，即(a －b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1ab >0，又a >0，b >0，所以1＋1ab >0，所以a －b >0，即a >b ，必要性成立．故“a >b ”是“a －b >1a －1b ”的充要条件．故选C.
5．【多选题】(2021·山东滨州二模)下列命题为真命题的是( )
A ．若a >b ，则2a －b >12
B ．若a >b >0，则lg a lg b >1
C ．若a >0，b >0，则ab ≥
2ab a ＋b
D ．若a >b ，则ac 2>bc 2 答案 AC 解析 对于A ，因为a >b ，所以a －b >0，所以2a －b >1>12，故正确；对于B ，a ＝10，b ＝110，lg a lg b >1不成立；对于C ，因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，所以ab ＝2ab 2ab ≥2ab a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故正确；对于D ，当c ＝0时不成立．故选AC.
6．【多选题】(2021·高三5月数学)已知两个不为零的实数x ，y 满足x <y ，则下列结论正确的是( )
A ．3|x －y |>1
B ．xy <y 2
C ．x |x |<y |y | D.1x －1y <e x －e y
答案 AC
解析 因为x <y ，所以|x －y |>0，所以3|x －y |>1，则A 正确；因为x <y ，当y >0时，xy <y 2，当y <0时，xy >y 2，则B 错误；令f (x )＝x |x |，易知f (x )在R 上单调递增，又x <y ，所以f (x )<f (y )，
即x |x |<y |y |，则C 正确；对于D ，方法一：令g (x )＝1x －e x ，易知g (x )在(－∞，0)和(0，＋
∞)上单调递减，不妨设0<x <y ，则g (x )>g (y )，即1x －e x >1y －e y ，亦即1x －1y >e x －e y ，则D 错
误；方法二：取x ＝－1，y ＝1，则1x －1y ＝－2>e －1－e ，则D 错误．故选AC.
7．【多选题】(2021·茂名第三次联考)已知1a <1b <0，则下列不等式错误的是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b >1
B.1b －a >1b C ．a 3>b 3 D.b a ＋b <1a
答案 ABD
解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a －b >0，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫13a －b ∈(0，1)，故A 错误；不妨设b ＝－2，a ＝－1， ∴1b ＝－12，1b －a ＝－1，∴1b －a
<1b ，故B 错误；∵b <a <0，y ＝x 3在R 上单调递增，∴a 3>b 3，故C 正确；不妨设b ＝－2，a ＝－1，∴
b a ＋b ＝－2－3＝23，1a
＝－1， ∴b a ＋b >1a
，故D 错误．故选ABD. 8．【多选题】(2021·山东4月联考)若a >b >0，且ab ＝1，则( )
A ．a >b ＋1 B.1a 2＋1<1b 2＋1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．log 2(a ＋b )>1 答案 BD
解析 ∵a >b >0且ab ＝1，∴a >1>b >0，
∴a －b －1＝1b －b －1＝1－b 2－b b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋54b
，不能确定正负，故A 错误． ∵a >b >0，∴a 2>b 2.∴a 2＋1>b 2＋1>0.∴1a 2＋1<1b 2＋1
，故B 正确． ∵a >b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b ，故C 错误． 由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2.
∵a ≠b ，∴a ＋b >2，
∴log 2(a ＋b )>1，故D 正确．故选BD.
9．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．
答案 (－4，2)
解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m <t min .
因为2x ＋1y ＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y . 而x >0，y >0，所以4y x ＋x y ≥2 4y x ·x
y ＝4.
⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时等号成立 所以t ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，即t min ＝8.
故m 2＋2m <8，即(m －2)(m ＋4)<0，
解得－4<m <2.
所以实数m 的取值范围为(－4，2)．
10．已知正实数x ，y 满足2xy ＋2x ＋y ＝3，则2x ＋3y 的最小值为________． 答案 43－4
解析 由2xy ＋2x ＋y ＝3得2x ＝3－y y ＋1
. 又x ，y 为正实数，所以2x ＝3－y y ＋1
>0，得0<y <3. 则2x ＋3y ＝3－y y ＋1＋3y ＝4y ＋1＋3(y ＋1)－4≥2 4y ＋1
×3（y ＋1）－4＝43－4， 当且仅当4y ＋1
＝3(y ＋1)，即y ＝233－1时取等号．。