安徽省江淮名校2023-2024学年高二上学期12月阶段性联考数学试题

，由抛物线的定义，得 |
PF
|=
yP
+
2
=
13 2
．
故选：C． 4．B
【分析】先得到圆心和半径，进而求得弦长| AB | 即可.
【详解】由 x2 + y2 - 4x + 6 y -12 = 0 ，得 (x - 2)2 + ( y + 3)2 = 25 ， 所以圆心为 C(2, -3) ,半径 r = 5 ，
+
n2
+
4n
+
4
=
3æçè
n
+
2 3
ö2 ÷ø
-
16 3
，
又
-2
<
n
<
2
，所以当
n
=
-
2 3
时，
uuur PA
×
所以椭圆 C 的方程为 x 2 8
+
y2 4
= 1．
由题意可设
A(-m, n), B(m, n)(-2
<
n
<
2)
，则
m2 8
+
n2 4
=1，
又
P(0,
-2)
，所以
uuur PA
=
(-m,
n
+
2),
uuur PB
=
(m,
n
+
2)
，
( ) 所以
uuur uuur PA× PB
=
-m2
+
(n
+
2)2
=
-
8 - 2n2
最大值为
．
16．已知椭圆 E :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 的右焦点为 F,过点 F 且斜率为
25 5
的直线 l 与椭
圆
E
交于
A,B
两点，与
y
轴交于点
C,若
uuur AC
=
uuur 2CB
，则椭圆
E
的离心率为
．
四、解答题 17．已知两点 P(2, -5),Q(-4,3) ，直线 l : 2x - y - 4 = 0 ．
3 ，倾斜角为 5π ；
3
6
对于 D,直线 x - 3y + 2 = 0 的斜率为 3 ，倾斜角为 π .
3
6
故选：B. 2．A 【分析】根据椭圆的定义得解.
【详解】由椭圆 C
:
y2 16
+
x2 10
= 1 知 a2
= 16
，所以 a
=
4
,
又由椭圆的定义，得 MF1 + MF2 = 2a = 8 ． 故选：A． 3．C
试卷第61 页，共33 页
22．已知抛物线 E : y2 = 2 px( p > 0) 的准线是 l1 ，直线 l2 : y = 2x + 4 与抛物线 E 没有公共 点，动点 M 在抛物线 E 上，过点 M 分别作直线 l1, l2 的垂线，垂足分别为 M1, M 2 ，且 MM1 + MM 2 的最小值为 2 5 ． (1)求抛物线 E 的方程； (2)过 N(3,1) 作两条不同的直线 AB,CD ，分别与抛物线 E 相交于点 A, B 与点 C, D ，且线 段 AB,CD 的中点分别为 P,Q ．若直线 AB,CD 的斜率之和为 2，试问直线 PQ 是否经过 定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
3π 4
，则双曲线
C
的离心
率为
．
14．在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， E 是棱 PD 上一点，且
试卷第41 页，共33 页
DE
=
2 3
DP
，
uuur BE
=
uuur xBA
+
uuur y BC
+
uuur z BP
，则
x
+
y
+
z
=
．
15．已知半径为 2 的圆 C 经过点 A(-3, 2) ，则圆心 C 到直线 l : 7x - y +13 = 0 的距离的
两点，则
uuur PA ×
uuur PB
的最小值为（
）
A．
-
16 3
B． -4
C．
-
8 3
D．0
7．根据中国地震局发布的最新消息，2023 年 1 月 1 日至 2023 年 11 月 10 日，全球共发 生六级以上地震 110 次，最大地震是 2023 年 02 月 06 日 09 时 02 分 37 秒在土耳其发生 的 7.8 级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震 发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲 线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站 A，B 在
（）
试卷第11 页，共33 页
A．
éêë-
1 2
,
1 2
ù úû
B．
é ê-
ë
3 2
,
3ù
2
ú û
C．[-1,1]
D．
éêë-
3 2
,
3 2
ù úû
6．已知椭圆 C
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 的长轴长为 4
2 ,下顶点为 P(0, -2) ，垂直于 y 轴的
直线与椭圆
C
相交于
A,B
A． 3 2
B． 2 5
C． 22
D． 26
二、多选题 9．在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A(0, 2, -3), B(-4, 2,3),C(3, -1, 2), D(-1, -1, 2) ，则
（）
A．直线 AB / / 平面 Oxz
B．直线 AB ^ 平面 Oyz
C．直线 CD / / 平面 Oxz
公路 l 上（l 为直线），且 A，B 相距 28km ，地震局以 AB 的中点为原点 O，直线 l 为 x
轴，1km 为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据 A，B
两站收到的信息，并通过计算发现震中
P
在双曲线
x2 a2
y2 - 132
= 1(a
>
0)
的右支上，且
ÐAPB
=
2p 3
试卷第71 页，共33 页
1．B
参考答案：
【分析】由倾斜角得出该直线的斜率，即可得出答案.
【详解】对于 A,直线 3x + y -1 = 0 的斜率为 - 3 ，倾斜角为 2π ; 3
对于 B,直线 3x - y +1 = 0 的斜率为 3 ,倾斜角为 π ； 3
对于 C,直线 x +
3y - 2 = 0 的斜率为 -
由题意，得直线 AB 与抛物线 C 有交点，
( ) 联立方程
ì í î
y
=k(
y2 =
x + 2)
18x
，得
k
2
x2
+
4k 2 -18
x + 4k 2 = 0 ，
当 k = 0 时， x = 0 ，即 B(0, 0) ；
( ) 当 k ¹ 0 时， Δ4= k128- 126- k04 ³ ，
答案第21 页，共22 页
(2)已知椭圆 E 的右顶点为 B ，过 B 作直线 l 与椭圆 E 交于另一点 C ，且
|
BC
|=
2
7 7
|
AB
|
，求直线
l
的方程．
19．如图，在棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为棱 AA1 上一点，且 A1E = 1．
试卷第51 页，共33 页
(1)求点 B 到平面 CD1E 的距离； (2)求平面 CD1E 与平面 BD1E 夹角的余弦值． 20．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与定点 F (0, -5) 的距离和它到定直线 y= - 2 的距
C． x + 3y - 2 = 0
D．
x - 3y + 2 = 0
2．已知椭圆 C
:
y2 16
+
x2 10
=
1 的两个焦点分别为
F1,
F2
，点
M
为椭圆
C
上一点，则
MF1 + MF2 = （ ）
A．8
B． 4 3
C．4
D． 2 3
3．已知抛物线 C : x2 = 8y 的焦点为 F，点 P 在抛物线 C 上，点 Q(0, 7) ，且| PF |=| PQ | ，
安徽省江淮名校 2023-2024 学年高二上学期 12 月阶段性
联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．下列直线中，倾斜角为 π 的是（ ）
3
A． 3x + y -1 = 0 B． 3x - y +1 = 0
解得
-
3 2
£
k
£
3 2
且
k
¹
0
．
综上所述，
k
Î
éêë-
3 2
,
3 2
ù úû
．
故选：D． 6．A 【分析】求出椭圆的方程，利用向量的数量积运算化简，配方求最小值即可得解.
【详解】由椭圆 C 的长轴长为 4 2 ，可得 2a = 4 2 ，即 a = 2 2 ,
由下顶点为 P(0, -2) ，得 b = 2 ，
A．存在点 F，使得 FC ^ FD1
B．满足 FC = FD1 的点 F 的轨迹长度为
5
C． FC + FD1 的最小值为 4 2 + 2 5
D．若 AD1 ∥平面 EFC ，则线段 AF 长度
的最小值为 4 5
三、填空题
13．若双曲线
C
:
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a
>
0,b >
0) 的一条渐近线的倾斜角为
【分析】根据 |
PF
|=|
PQ
|
，得到
P
在线段 FQ
的中垂线
y
=
9 2
上，从而得到
yP
=
9 2
，然后利
用抛物线的定义求解.
【详解】解：由抛物线 C : x2 = 8y ，得 F (0, 2) ，
因为 |
PF
|=|
PQ
|
，所以
P
在线段
FQ
的中垂线
y
=
9 2
上，
答案第11 页，共22 页
所以
yP
=
9 2
圆心 C 到直线 l 的距离 d = | 4´ 2 - 3´ (-3) - 2 | = 3 ， 42 + (-3)2
所以| AB |= 2 r2 - d 2 = 8 ， 所以 VABC 的周长为 2r+ | AB |= 18 ． 故选：B． 5．D 【分析】设直线 AB 的方程为 y = k( x + 2) ，与抛物线方程联立，根据题意，由直线 AB 与 抛物线 C 有交点求解. 【详解】设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y = k( x + 2) ，
试卷第31 页，共33 页
C．当 m
=
1 4
,
n
=
-
1 3
时，
VABC
的面积的最小值为
4
D．当
m
=
1 4
,
n
=
-
1 3
时，使得
VABC
是等腰直角三角形的点
A
有
8
个
12．如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = AD = 2AA1 = 4 ，点 E 为 AA1 的中点，
点 F 为侧面 AA1B1B （含边界）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
则| PF |= （ ）
A．
19 2
B． 15 2
C． 13 2
D． 9 2
4．已知直线 l : 4x - 3y - 2 = 0 与圆 C : x2 + y2 - 4x + 6 y -12 = 0 相交于 A,B 两点，则
VABC 的周长为（ ）
A．26
B．18
C．14
D．13
5．已知点 A(-2, 0), B 是抛物线 C : y2 = 18x 上的动点，则直线 AB 的斜率的取值范围是
D．直线 CD ^ 平面 Oyz
10．已知，点 A(3, 4) 在直线 l 上，圆 C : (x -1)2 + ( y + 2)2 = 4 ，则下列说法正确的是
（） A．若圆 C 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 3x - y - 5 = 0
B．若点 P 是圆 C 上任意一点，则| AP | 的最大值为 2 10 C．若直线 l 与圆 C 相切于点 B，则| AB |= 6
(1)若直线 l1 经过点 P，且 l1 ^ l ，求直线 l1 的方程； (2)若圆 C 的圆心在直线 l 上，且 P，Q ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点在圆 C 上，求圆 C 的方程．
18．已知椭圆
E
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a > b > 0) 的离心率为
3 2
，点
A
æççè1,
3 2
ö ÷÷ø
在椭圆
E
上．
(1)求椭圆 E 的方程；
，则
P
到公路
l 的距离为（
）
试卷第21 页，共33 页
A．
11 7
3
km
B．
22 7
km
C．
22 7
2
km
D．
22 7
3
km
8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0, -2), AB ^ AC,| AB |= 2,| AC |= b(b > 0) ，若圆
x2 + ( y + 2)2 = 26 上存在点 M 在以 BC 为直径的圆上，则实数 b 的最小值为（ ）
D．若直线 l 与圆 C 相切，则直线 l 的方程为 4x - 3y = 0 11．已知曲线 E : mx2 + ny2 = 1 （ m, n 为常数），点 A 是曲线 E 上一点，直线 y = -2x 上
的动点 B，C 满足| BC |= 2 5 ，则下列说法正确的是（ ） A．若方程 mx2 + ny2 = 1表示椭圆，则 mn > 0 B．若方程 mx2 + ny2 = 1表示双曲线，则 mn < 0
离的比是常数 10 ，设动点 P 的轨迹为曲线 C． 2
(1)求曲线 C 的方程；
(2)以原点 O 为端点作两条互相垂直的射线与曲线 C 分别交于点 M,N．求证：
|
1 OM
|2
+
|
1 ON
|2
是定值．