初中数学二次函数专项训练及解析答案

初中数学二次函数专项训练及解析答案

一、选择题

1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12

>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）

A ．1个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

【答案】C

【解析】

【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．

【详解】

由图象可得，

a ＞0，

b ＞0，

c ＜0，

∴abc ＜0，故①错误，

当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，

当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，

由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，

则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a -

>-，a ＞0，得122

b a >>，故③正确， 故选C ．

【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．

2．如图，二次函数()2

00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：

①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2

00ax bx c a ++=≠有一个根为1a

-，其中正确的结论个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C

【解析】

【分析】 由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案.

【详解】

由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2b a

＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣

1a ，把﹣1a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.

3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()2

00++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.

【详解】 由题可知22b a

-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0， 故可得1640a b c ++=，0c =，

故可得4,0a b c -==

①因为0c =，故①正确；

②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确；

③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确；

④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确；

⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.

4．将抛物线243y x x =

-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）

A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位

B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位

C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位

D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位

【答案】C

【解析】

【分析】

先把抛物线243y x x =

-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】

∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--

∴其顶点坐标为：(2,−1)，

∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.

【点睛】

本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.

5．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：

下列结论错误的是( )

A ．0ac <

B ．3是关于x 的方程()2

10ax b x c +-+=的一个根；

C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；

D ．当13x -<<时，()210.ax b x c +-+>

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．

【详解】

解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：

当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，

当0x =时，3y =，即3c =，

当1x =时，5y =，即5a b c ++=，

联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩

，

解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩

，

∴2

33y x x =-++；

A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；

B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，

∴3是关于x 的方程()2

10ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24

=--+

y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >

时，y 的值随x 值的增大而减小；当32

x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()2

10ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++，