2024年6月吉林省长春市宽城区铁北带部分学校中考冲刺模拟联考数学试题

铁北带2024年中考冲刺模拟
数学试题
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.( )
A. 钨
B. 萘
C. 冰
D. 固态氢
2. 已知a<b, 则一定有6-4a□6-4b, “□”中应填的符号是 ( )
A. >
B. <
C. ≥
D. =
3.某款沙发椅如图所示，它的左视图是 ( )
4.世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》.书中记载了这样的一段话：
“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”.现代潜艇潜望镜是在 20 世纪初发明的.如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是( )
A.内错角相等，两直线平行
B.同旁内角互补，两直线平行
C.对顶角相等
D. 两点确定一条直线
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°, 将△ABC绕点A逆时针旋转90°,得到△ADE,连结BD.若AC=2√2,DE=1
,则线段BD的长为( )
A.√7
B.√14
C. 3
D.3√2
6.中国的风筝已有2000 多年的历史.相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.
后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”.如图是一个风筝骨架的示意图，已知AC⊥DE，且AD=m, AD=CD, AD与AC的夹角为α, 则该骨架中AC的长度应为( )
A. 2mcosα
B. mtanα
C. 2mcosα
D. 2mtanα
7. 如图, 在△ABC中, BC=6, AC=8, ∠ACB=90°, 以点B为圆心, BC长为半径画弧,与AB交于点 D，再分
别以A，D为圆心，大于1
2
AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC, AB于点E, F, 则AE的长为( )
A.5
2 B.
3 C.2√2 D.10
3
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8.质量一定时，物体的体积V(单位：m³)是其材料密度ρ(单位：kg/m³)的反比例函数，其图象如图所示，
则下列说法正确的是( )
A. 该物体的质量是 16kg
B. 当ρ=3.2kg/m³时, V=6m³
C. 当V≤10m³时, ρ≥3.2kg/m³
D.函数解析式为V=21.6
ρ
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
9. 计算:20−(1
2)
−2
= .
10.若二次函数y=x²−2x+k+1顶点在x轴上，则k 的值为 .
11.一组数据4、5、6、7、8的方差为S²,另一组数据3、5、6、7、9的方差为S²,那么S12
¯
S22(填“>”、“=”或“<” ).
12.不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁(如图1)，
图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图(设圆心为O).已知帽子的边缘PA，PB分别与⊙O 相切于点 A, B, 若该圆半径是3,∠P=60°, 则AMB 的长是 .(结果保留π)
13.如图1 是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所
示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm.
14. 如图,▱ABCD的对角线AC、BD交于点 O, AE平分∠BAD交BC 于点E,且.∠ADC=60°,AB=1
2
BC,连结OE.下列结论正确的是 .(填序号)
①AC平分∠EAD; ②S□ABCD=√3CD²; ③BD⊥AE; ④OD=√7OE
三、解答题(本大题共10小题，共78分)
15.(6分) 先化简, 再求值:(a-b)(a+b)-(a-b)², 其中a=−3
2
,b=−1.
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16.(6分)将分别标有数字1，2，4的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.
(1)随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为奇数的概率是 .
(2)随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张，卡片上
所标数字作为个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被 3 整除的概率.
17.(6分)每年的4月23 日是世界读书日，全国各地开展了丰富多彩的读书主题活动，为推动
全民阅读，营造良好的文明风尚.某学校为鼓励学生多读书读好书，计划购进了一批A、B 种图书，已知购买一本A种图书比购买一本B种图书贵5元，用160元购买B种图书的数量是用400元购买A种图书数量的一半.求购买的A、B种图书的单价各多少元?
18.(7分)如图, 在等腰△ABC中, AB=BC, BO平分∠ABC,过点A作AD∥BC交BO的延长线于D,
连接CD, 过点D作DE⊥BD交BC的延长线于 E.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由：
(2)若AB=3, ∠ABE=120°,.则DE的长是 .
19.(7分)如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶
点称为格点.△ABC 的三个顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺，分别在给定网格中按要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中, D是边AB上一点, E是边AC的中点. 将点D绕点E旋转180°得到点F,
请作出点 F;
(2)在图②中，P是边AB上一点，请作出点Q，使P、Q两点关于直线AC对称；
(3) 在图③中, M是边AB上一点, 请作出点N, 使MN=3.
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20.(7分)春节热映档电影《热辣滚烫》给我们每个人都上了一课：只要心中有梦想，只要自己
不放弃不服输，一切都有可能！所以停止内耗，开始行动，愿我们每个人都能拥有热辣滚烫的人生！这部电影折射出的道理点醒了很多人，也唤醒了无数喜欢内耗拖延的人！因此，为了了解身边人对这部电影的评价，小明随机选取了20名亲朋好友进行调查，并按一定的分类标准将其平均分成甲乙两组，对该电影进行打分(百分制，分数为x，x为整数).通过对数据进行整理分析，描述如下：
分数A: 80≤x<85B: 85≤x<90C: 90≤x<95D: 95≤x≤100
频数22
信息二：乙组成员的影评成绩分布见如下扇形统计图：
其中在C: 90≤x<95这组的成绩数据为: 93, 93, 93.
信息三：
组号平均数众数中位数
甲90.6m n
乙92.310093
根据以上提供的三个信息，回答下列问题：
(1) m= , n= , a= ;
(2)影评分数在D：95≤x≤100区间的视为“电影铁粉”，若乙组中共有200人参与此次
影评活动，估计乙组中“电影铁粉”的人数；
(3)由于甲组成员不掺杂粉丝膜拜心理，仅仅针对电影内容做出评价，故评价更为客观.现将
甲乙两组平均数按7：3的比例进行加权，得到此次影评的最终成绩为 .
21.(8分)如图，深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容
器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的¹/₄.如图为容器顶部离水面的距离y(cm)随时间t(分钟)的变化图像.
(1)3分钟后水面上升的速度为；
(2) 求直线BC的解析式;
(3)求该容器注满水所用的时间.
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22. (9分)
【问题呈现】如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，那么如何确定这个点的位置呢?根据相关内容的学习，我知道了这个点是三角形的重心.三角
形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.三角形的重心有什么
性质呢?
【问题探究】如图①,已知△ABC中, 中线AE, BF, CD交于点O, 测量发现AO=2 EO, BO=2FO, CO=2DO.
证明: 延长AE至点G, 使EG=OE, 连结BG, CG.
∵AE 是△ABC的中线,
∴BE=CE.
∴四边形BGCO是平行四边形(依据).
∴CD∥BG.
………
上述证明过程中的“依据”是指；
请将上述缺失的证明过程补充完整 (只求证AO=2EO)；
【结论应用】在⊙O中, AB为直径, 点C是⊙O上一点(不与点A, B重合).
的值为；
(1) 如图②, 若点M是弦BC的中点, AM交OC 于点 E, 则OE
OC
(2)如图③, 在(1) 的条件下, 若AM⊥OC, 则sin∠ABC的值为 .
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23. (10分)如图, 在△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,点D是AB边的中点，动点P从点D
出发，沿折线DA—AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C停止.以点P为旋转中心，将PD逆时针旋转45°,,得射线PQ, PQ 交边AC 或边BC或边AB 于点Q, 连结PQ (即∠DPQ=45°),设点 P的运动时间为t秒((l⟩0).
(1) 直接写出AD的长;
(2)用含 t的代数式表示 PA的长;
(3) 连结DQ, 当△DPQ是等腰直角三角形时，求t的值；
(4) 作点D关于PQ的对称点 E, 当点 E落在△ABC的边上时，直接写出t的值.
24. (12分) 如图, 二次函数y=−3
4x2+9
4
x+3的图象与x轴交于点A,B (点A 在点 B 左侧),
与y轴交于点C.点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点 D，交抛物线于另一点 E.
(1) 求点B, C的坐标..
(2)当点P在第二象限时, 连结BC, 交直线PE于点 F. 当F是PE中点时, 求m的值.
(3)点 Q 是抛物线上一点，横坐标为m+2,，抛物线在P、Q之间的图象记为G(包括边界)，
设图象 G 最高点与最低点纵坐标的差为d，求d与m的函数关系式.
(4)以BD为边作正方形DBMN，当点C在正方形DBMN的边上时，直接写出点D的坐标.
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参考答案：1. D 2. A 3. B 4. A 5. D 6. C 7. A 8. C 9. -3 10. 0 11. < 12. 4π 13. 3 14. ①②④
15. (a-b)(a+b)-(a-b)²
=a²−b²−(a²−2ab+b²)
=a²−b²−a²+2ab−b²
=2ab−2b²,
当a=−3
2
,b=−1时
原式=2×(−3
2
)(−1)−2×(−1)2=1.
16. (1)1
3
(2) P(两位数能被3 整除) ,=4
6=2
3
17.设购买的A种图书的单价为x元，则购买的B种图书的单价为(x−5)
元,由题意得，400
x =2×160
x−5
,
解得x=25,
检验, 当x=25时, x(x-5)≠0,
∴x=25是原方程的解，且符合题意，
∴x-5=20,
答：购买的A种图书的单价为25元，则购买的B种图书的单价为20元.
18. (1) 四边形ABCD是菱形,
理由: ∵ AB=BC, BO平分∠ABC,
∴AC⊥BD,OA=OC
∵DE⊥BD,
∴AC‖DE,
∵AD‖BC,
∴∠ADO=CBO
在△AOD和△COB中
{∠ADO=∠CBO ∠AOD=∠COB, AO=CO
∴△AOD≌△COB,
∴AD=BC,
∵ AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵ AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)3√3
19.
20. (1)92, 92, 40
(2)200×40%=80
(3)91.11
21.(1)5
3
(2)设直线BC的解析式为y=−5
3
x+m,
则有：30=−5
3
×3+m,
解得: m=35,
所以直线BC的解析式为y=−5
3
x+35 (3)当该容器注满水时，y=0,
即−5
3
x+35=0,
解得(t=21
答：该容器注满水所用的时间为21 分钟.
22. 证明: 延长AE至点G, 使EG=OE,连接BG, CG.
∵AE是△ABC的中线,
∴BE=CE.
∴四边形BGCO是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).∴CD∥BG.
∴AO
OG =AD
DB
.
∵CD是△ABC中AB边上的中线,
∴AD=DB.
∴OA=OG.
∵OE=EG,
∴OG=2OE.
∴OA=2OE.
(1)13;
(2)√33;
23. (1) 解: ∵∠ACB=90°, BC=6, AC=8,∴AB=√61+82−10,
∵点D是AB边的中点，
∴AD=1
2
AB=5;
(2) 解: 当点P在AB上, 即0≤l≤5时,由题意得PD=t,
∴PA=5-t,
当点P在AC上, 即5<t≤13时, PA=t-5,综上, PA的长为5-t或t-5;
(3) t的值为30
7s或15
4
s或45
4
s.
(4)t的值为15
7
s或9s或10s.
24.(1) 解: 令 y =−34x 2+9
4x +3=0,解得 x₁=−1,x₂=4,∴A(-1,0), B(4,0),令x=0, 得y=3, ∴C(0,3);
(2) 解: 设直线BC 的解析式为y=kx+b, 则 {4k +b =0b =3, 解得： {k =−3
4,
b =3
∴直线BC 的解析式为 y =−3
4
x +3, ∵
y =−3
4x 2
+94x +3=−3
4(x −32)2
+75
16
,
∴抛物线的对称轴为直线 x =3
2,
由题意得 P (m ,−3
4m 2+9
4m +3), 则 E (3−m ,3
4m 2+9
4m +3), ∵PE∥x 轴,
∴点P 、E 关于抛物线的对称轴直线 x =3
2对称，即直线 x =3
2经过线段PE 的中点，如图所示：
∵BC 交直线PE 于点I,且PF=EF, ∴线段PE 的中点F 的坐标为 (32,
15
8
), 又∵线段PE 的中点为 F (3
2,−34m 2+9
4m +3), ∴−3
4
m 2+94
m +3=15
8
, 解得 m =
3±√15
2
, ∵点P 在第二象限，
∴m<0,
∴m 的值为
3−√15
2
; (3)P (m ,−34m +9
4m +3),
Q (m
+2,−34m −34m +9
2
)
顶点 (−,75
16
)
当m≤−1
2
时,
d=−3
4m2−3
4
m+9
2
−(−3
4
m2+9
4
m+3)=−3m+3
2
当−1
2
≤m<0时,
d=75
16−(−3
4
m2+9
4
m+3)=3
4
m2−9
4
m+27
16
综上所述，d={
−3m+3
2
,m≤−1
2
3
4
m2−9
4
m+27
16
−1
2
≤m<1
(4)点 D 的坐标为(0,−2)或(0,−163)。