高一数学 一元二次不等式的解法教案

芯衣州星海市涌泉学校一.教学内容：
1.一元二次不等式的解法
2.第一单元集合的小结与复习
二.重、难点：
1.重点：
〔1〕一元二次不等式的解法。

〔2〕集合的根本概念，集合之间的关系，不等式的解法。

2.难点：
集合的有关概念之间的联络与区别，集合的应用。

【典型例题】
[例1]解不等式：
〔1〕0232>--x x 〔2〕0262≤+--x x
〔3〕132≤-x
〔4〕2232+≥+-x x x
解： 〔1〕原不等式化为：0)1)(23(>-+x x
∴32-
<x 或者者1>x ∴原不等式的解集是}132|{>-<x x x 或
〔2〕原不等式化为：0262≥-+x x ∴32-
≤x 或者者21≥x
∴原不等式的解集为{32|-
≤x x 或者者21≥x }
〔3〕原不等式化为：0132≤--x 0332≤-+-x x
031≥--x x 同解于0)3)(1(≥--x x 且03≠-x
∴3>x 或者者1≤x ∴原不等式的解集为{3|>x x 或者者1≤x }
〔4〕原不等式化为：2232+≥+-x x x 或者者
042≥-x x 或者者0422≤+-x x
∴0≤x
或者者4≥x 或者者φ∈x ∴原不等式的解集为{0|
≤x x 或者者4≥x } [例2]不等式02>++c bx ax 的解集为}|{βα<<x x ，0>α，求不等式02<++a bx cx 的解集。

解：∵原不等式的解为βα<<x ∴0<a ∴由根与系数关系得：
a b -
=+βα，a c =αβ 将02<++a bx cx 的两边同除以a ， 得：012>++x a b x a c
即01)(2>++-x x βααβ
∴0)
1)(1(>--x x βα 又∵0>>αβ∴αβ1
1
<
∴02<++a bx cx 的解集为{β1|<x x 或者者α1>x }
[例3]a 为何值时，不等式02)1()23(22>+-++-x a x a a 的解为一实在数？ 解：
〔1〕当0232=+-a a
时，得1=a 或者者2=a ①1=a 时，原不等式化为02>恒成立 ∴1=a
适宜 ②2=a
时，原不等式化为02>+x ∴2->x ∴2=a 不适宜
〔2〕当0232≠+-a a 时
那么必须有
由①：1<a 或者者2>a 由②：1<a 或者者
715>a ∴不等式组的解为1<a 或者者
715
>a
综上所述，a 的取值范围是1≤a 或者者715>a
[例4]},412|{Z ∈+=
=k k x x M ，},214|{Z ∈+==k k x x N 那么〔〕
A.M=N
B.M ≠⊂N
C.M ≠⊃N
D.φ=⋂N M
解：
方法一：
设
M
x∈，那么
)
(
4
1
2
Z
∈
+
=k
k
x
∵
Z
∈
k∴Z
∈
-1
2k∴N
x∈∴N
M⊆
又当
=
k时，2
1
=
x
∴
N
∈
2
1
假设
M
∈
2
1
，那么2
1
4
1
2
=
+
k
∴
Z
∉
=
2
1
k
∴
M
∉
2
1
∴
N
M≠⊂
选B
方法二：设
1
=
k知
M
∈
4
3
且
N
∈
4
3
，排除D
设
=
k知
N
∈
2
1
但
M
∉
2
1
，排除A、C 应选B
[例5]设
}1
10
|
{-
≤
≤
-
Z
∈
=x
x
x
A且
，
}5
|
{≤
Z
∈
=x
x
x
B且
，求B
A⋃元素的个数。

解：∵
10
)
(=
A
card
，
11
)
(=
B
card
，
5
)
(=
⋂B
A
card
∴
)
(
)
(
)
(B
card
A
card
B
A
card+
=
⋃
∴B
A⋃中元素有16个
[例6]：
}0
10
3
|
{2≥
+
+
-
=x
x
x
A
，
}1
2
1
|
{-
≤
≤
+
=m
x
m
x
B
，假设
A
B⊆，求m的取值
范围。

解：由
}0
10
3
|
{2≥
+
+
-
=x
x
x
A
得
}5
2
|
{≤
≤
-
=x
x
A
〔1〕假设
φ
≠
B
，那么
1
2
1-
≤
+m
m，即2
≥
m
由
A
B⊆得
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
-
-
≥
+
≥
5
1
2
2
1
2
m
m
m
∴
3
2≤
≤m
〔2〕假设
φ
=
B，那么1
2
1-
>
+m
m
∴
2
<
m此时A
B⊆
∴由〔1〕、〔2〕得
3≤m
[例7]：
}1
|)
,
{(+
=
+
=k
y
kx
y
x
A，}
2
|)
,
{(k
ky
x
y
x
B=
+
=，其中k为实系数，求B
A⋂。

解：要求B
A⋂即可求的解
由②得：
k
ky
x2
+
-
=③
③代入①得：
)1
(
)
2
(+
+
+
-
-
=k
k
ky
k
y
当
1±
≠
k时，1
1
2
+
+
=
k
k
y
，1
+
=
k
k
x
∴
)}
1
,
1
1
2
{(
+
+
+
=
⋂
k
k
k
k
B
A
当
1
=
k时，⎩
⎨
⎧
+
-
=
+
-
=
2
2
x
y
x
y
∴
}2
|)
,
{(+
-
=
=
⋂x
y
y
x
B
A
当
1-
=
k时，⎩
⎨
⎧
+
=
=
2
x
y
x
y
∴
φ
=
⋂B
A
[例8]关于实数的不等式
2
)1
(
2
)1
(2
2-
≤
+
-
a
a
x
与
)1
3(2
)1
(3
2≤
+
+
+
-a
x
a
x
的解集分别为A、
B，求使
B
A⊆的实数a的取值范围。

解：由，
}12|{2+≤≤=a x a x A ∵a a 212≥+∴φ≠A
设)13(2)1(32+++-=a x a x y
B A ⊆等价于方程0)13(2)1(32=+++-a x a x 的根分别在a x 2≤与12+≥a x 的范围内
于是
⎪⎩⎪⎨⎧≤--+=+=≤+-==0)3()1)(1(1022222a a a a y a x a y a x 时当时当 解得31≤≤a 或者者1-=a a 的取值范围是：31≤≤a 或者者1-=a
【模拟试题】〔答题时间是是：25分钟〕
一.选择题：
1.},1|{2N x x y y A ∈+==，22|{2+-==a a y y B },N a ∈那么〔〕
A.A=B
B.A ≠⊂B
C.B ≠⊂A
D.A /⊇
B 2.设}21|{≤≤-=x x A ，}|{a x x B ≤=假设φ=⋂B A ，那么实数a 的集合为〔〕
A.}2|{<a a
B.}1|{-≥a a
C.}1|{-<a a
D.}21|{≤≤
-a a 3.假设},61|{Z ∈+
==m m x x M ，
,312|{-==n x x N }Z ∈n ，2|{p x x P ==61+，}Z ∈p 那么M 、N 、P 的关系是〔〕
A.M=N ≠⊂P
B.M ≠⊂N ≠⊂P
C.M ≠⊂
N=PD.以上关系都不正确 4.10<<a ，那么0)1)((>--a x x a 的解是〔〕
A.a x a 1<
< B.a x a <<1 C.
a x 1>
或者者a x > D.a x 1<或者者a x > 二.填空题：
1.全集},91|{Z ∈<≤=x x x U ，那么满足{1，3，5，7，8})(B C U ⋂={1，3，5，7}的所有集合B 的个数为。

2.不等式+>-x x 2341的解集为。

3.假设关于x 的二次不等式02182<++mx mx
的解集为}17|{-<<-x x ，那么=m 。

三.解答题：
1.解不等式
〔1〕713224+<x x
〔2〕32>+x x
〔3〕2
245x x <+ 2.设
},0|{2R x q px x x A ∈=++=，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假设M A ⋂=φ，A N A =⋂，求p 、q 的值。

3.}01)2(|{2=+++=x p x x A 假设⋂A {正实数}=φ，求p 的取值范围。

试题答案
一.1.A2.C3.C4.A
二. 1. 82.
}312|{<>x x x 或 3.3 三.1.〔1〕77<<-x 〔2〕1>x 〔3〕}88|{>-<x x x 或
2.解：〔1〕假设φ=A
，那么φ=⋂M A ，A N A =⋂成立，此时p 、q 满足042<-q p 〔2〕假设φ≠A ，由于φ=⋂M A ，A N A =⋂∴4、10是A 的元素
①假设A={4}，那么
168)4(222+-=-=++x x x q px x ∴8-=p ，16=q ②假设A={10}，那么
1002022+-=++x x q px x ∴20-=p ，100=q ③假设A={4，10}，
那么4014)10)(4(22+-=--=++x x x x q px x
∴14-=p ，40=q 3.解：由⋂A {正实数}φ=，可知φ=A 或者者A 中元素不是正数
假设φ≠A ，设
01)2(2=+++x p x 的两根为1x 、2x ∴⎪⎩⎪⎨⎧>=<+-=+≥-+=∆010
)2(04)2(21212x x p x x p
∴0≥p
假设φ=A 那么04)2(2<-+=∆p 即04<<-p
综上所述4->p。