高中数学 1.1《正弦定理》学案 苏教版必修5

正弦定理 学案

【预习达标】

在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，

1.在Rt ΔABC 中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即sin a A

= = 。 2. 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则|CD|= = ，即sin a A = ，同理得 ，故有sin a A

= 。 3. 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则|CD|= = ，即sin a A = ，故有sin a A

= 。 【典例解析】

例1 已知ΔABC ，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：

（1）A=600，B=450，a=10；（2）a=3,b=4,A=300；（3）a=5,b=2,B=1200；（4）

b=0.

例2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：

BD AB DC AC

=

【达标练习】

1. 已知ΔABC ，根据下列条件，解三角形:

(1)A=600，B=300，a=3；（2）A=450，B=750，b=8；（3）a=3，

A=600

；

A B C D

2.求证：在ΔABC 中，

sin sin sin A B a b C c

++=

3.应用正弦定理证明：在ΔABC 中,大角对大边，大边对大角.

4．在ΔABC 中，sin 2A+sin 2B=sin 2

C,求证：ΔABC 是直角三角形。

参考答案

【预习达标】

1．a, b,sin sin b c B C =. 2.bsinA asinB ,sin b B , sin a A =sin c C ,sin b B =sin c C

. 3. .bsinA asinB ,sin b B , sin b B =sin c C

. 【典例解析】

例1(1)C=750，

(2)B ≈41.80,C ≈108.80,c ≈5.7或B ≈138.20，C ≈11.80，c ≈1.2(3)无解（4）C=450，A=150，a ≈2.2

例2证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， 得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC AC βαα==-， 两式相除得BD AB DC AC = 【双基达标】

1．（1）C=900，

8 ,c= A B D β β α 1800- α

(3)B=600,C=9002．证明：设sin sin sin a b c k A B C

===，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C === sin sin sin sin sin sin a b k A k B A B c k C C

+++∴== 3．(1)设A>B ，若A ≤900,由正弦函数的单调性得sinA ≥sinB,又由正弦定理得a ≥b ；若A>900

，有A+B<1800,即900>1800-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(1800-A)>sinB,即sinA>sinB, 又由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B ≥900,则在ΔABC 中A<900, 有sinA>sin （1800-B ）由正弦函数的单调性得A>1800-B,即A+B>1800,与三角形的内角和为1800相矛盾；若A ≥900,则A>B ；若A<900,B<900, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC 中,大角对大边，大边对大角.

4．略