高中数学苏教版必修5学案：1.1 正弦定理(一)

[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.

知识点一在Rt△ABC中的有关定理

在Rt△ABC中，C＝90°，则有：

1.A＋B＝90°，0°<A<90°，0°<B<90°；

2.a2＋b2＝c2(勾股定理)；

3.

a

sin A＝c，

b

sin B＝c，

c

sin C＝c.

知识点二正弦定理1.正弦定理的表示

2.正弦定理的常见变形

(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径. (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

(R 为△ABC 外接圆的半径).

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c

sin C . (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . 3.正弦定理的证明

(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝b

c

，

∴c ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝c

sin C ，

∴

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C

. (2)在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高为CD ，如图，

CD＝a sin B＝b sin A，

∴

a

sin A＝

b

sin B，

同理，作AC边上的高BE，可得a

sin A＝c

sin C，

∴

a

sin A＝

b

sin B＝

c

sin C.

(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，

过B作BD⊥AC于D，则

BD＝a sin(π－C)＝a sin C，

BD＝c sin A，故有a sin C＝c sin A，

∴

a

sin A＝

c

sin C，

同理，

a

sin A＝

b

sin B，∴

a

sin A＝

b

sin B＝

c

sin C.

思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有.

★答案★ 2

解析正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确.

知识点三解斜三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

思考正弦定理能解决哪些问题？

★答案★利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：

①已知两角与任一边，求其他两边和一角；

②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).

题型一对正弦定理的理解

例1在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是.

①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

②a＝b⇔sin 2A＝sin 2B；

③

a

sin A＝

b＋c

sin B＋sin C

；

④正弦值较大的角所对的边也较大. ★答案★②

解析 在△ABC 中，由正弦定理得

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C

＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故①正确. 当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故②错误. 根据比例式的性质易得③正确. 大边对大角，故④正确. 反思与感悟 如果a b ＝c

d ，那么

a ＋

b b ＝

c ＋d

d (b ，d ≠0)(合比定理)； a －b b ＝c －d d (b ，d ≠0)(分比定理)； a ＋b a －b ＝c ＋d c －d

(a >b ，c >d )(合分比定理)； 可以推广为：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ，那么a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n

b 1＋b 2＋…＋b n .

跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是 . ①a >b sin A ；②a ＝b sin A ；③a <b sin A ；④a ≥b sin A . ★答案★ ④

解析 在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0,1]， ∴

1

sin B

≥1， 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin A

sin B ≥b sin A .

题型二 用正弦定理解三角形

例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形. (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形. 解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由

a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°

＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6

4

， ∴b ＝c sin B sin C ＝c sin (A ＋C )sin C

＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64

＝52＋5 6.

∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6.