相似矩阵的基本知识点

相似矩阵的基本知识点：
首先了解相似矩阵的由来，因为一个线性变换在不同基下矩阵就不同，我们就要考虑它们之间是不是有联系，这就引入了相似矩阵的概念。

定义（定理）：设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,.....,21和n ηηη,.......,21下的矩阵分别为A 和B ，从n εεε,.....,21到n ηηη,.......,21的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=。

我们就称矩阵A 和矩阵B 是相似的。

相似是矩阵间的一种关系，具有三种特性：
1． 反身性：即A 与它自身是相似的。

2． 对称性：即A 与B 相似，则称B 与A 相似。

传递性：即A 与B 相似，B 与C 相似，则称A 与C 相似 练习：
1如何来证相似矩阵有相同的特征多项式？
证明：设A 与B 相似，则有可逆矩阵P ，使得
B AP P =-1 于是A E P A E P AP P E B E -=-=-=---λλλλ11。

这表明线性变换关于不同基的矩阵可以不同。

但这些矩阵有相同的特征多项式)(λf ，故)(λf 是由线性变换确定的。

由此称)(λf 为线性变换的特征多项式。

2相似矩阵有相同的特征多项式
证明：设A B ，即有可逆矩阵X ，使得1B X
A X -=，于是 ()111E
B E X
A X X E a X X E A X E A λλλλλ----=-=-=-=-
3一个线性变换在不同基之下的矩阵相似。