苏教版八年级上册数学压轴题期末复习试卷培优测试卷

苏教版⼋年级上册数学压轴题期末复习试卷培优测试卷
苏教版⼋年级上册数学压轴题期末复习试卷培优测试卷
⼀、压轴题
1．在ABC 中，AB AC =，D 是直线BC 上⼀点（不与点B 、C 重合），以AD 为⼀
边在AD 的右侧作ADE ，AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE .
（1）如图，当 D 在线段BC 上时，求证：BD CE =.
（2）如图，若点D 在线段CB 的延长线上，BCE α∠=，BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.
（3）如图，当点D 在线段BC 上，90BAC ∠=?，4BC =，求DCE
S
最⼤值.
2．如图，已知四边形ABCO 是矩形，点A ，C 分别在y 轴，x 轴上，4AB =，
3BC =．
（1）求直线AC 的解析式；
（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）若点P 是直线CD 上的⼀个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最⼤值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最⼤值及此时点P 的坐标．
3．在平⾯直⾓坐标系中点 A （m ?3，3m +3），点 B （m ，m +4）和 D （0，?5），且点 B 在第⼆象限．
（1）点B 向平移单位，再向下平移（⽤含m 的式⼦表达）单位可以与点A 重合；（2）若点B 向下移动 3 个单位，则移动后的点B 和点A 的纵坐标相等，且有点 C（m?2，0）．
①则此时点A、B、C 坐标分别为、、．
②将线段AB 沿y 轴负⽅向平移n 个单位，若平移后的线段AB 与线段CD 有公共点，求n 的取值范围．
③当m
4．某校七年级数学兴趣⼩组对“三⾓形内⾓或外⾓平分线的夹⾓与第三个内⾓的数量关系”进⾏了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC
＝；
（2）如图2，△ABC的内⾓∠ACB的平分线与△ABC的外⾓∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（⽤α表⽰∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外⾓，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，△ABC外⾓∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC= ゜，延长BC⾄点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R= ゜．
5．已知三⾓形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，－4），M（4，－4）．
（1）如图1，若点C 与点O 重合，A （－2，2）、B （4，4），求△ABC 的⾯积；（2）如图2，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，若∠AOG ＝55°，求∠CEF 的度数；（3）如图3，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，N 为AC 上⼀点，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，∠NEC+∠CEF ＝180°，求证∠NEF ＝2∠AOG ．
6．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．
（1）如图1，
①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆⼼，AB 为半径的圆上；②直接写出∠BDC 的度数（⽤含α的式⼦表⽰）为；
（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ；（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最⼤值？若AC 2a ，试写出此时BF 的值． 7．观察下列两个等式：55
32321,44133
+=?-+
=?-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成⽴的⼀对有理数,a b 为“⽩马有理数对”，记为(,)a b ，如：数对5(3,2),4,3??
都是“⽩马有理数对”．
（1）数对3(2,1),5,2??-
中是“⽩马有理数对”的是_________；
（2）若(,3)a 是“⽩马有理数对”，求a 的值；
（3）若(,)m n 是“⽩马有理数对”，则(,)n m --是“⽩马有理数对”吗？请说明理由．
（4）请再写出⼀对符合条件的“⽩马有理数对”_________（注意：不能与题⽬中已有的“⽩马有理数对”重复）
8．ABC 是等边三⾓形，作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，直线BD 交直线AP 于点E ，连接CE ．
（1）如图①，求证：CE AE BE +=；（提⽰：在BE 上截取BF DE =，连接AF ．）
（2）如图②、图③，请直接写出线段CE ，AE ，BE 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若26BD AE ==，则CE =__________． 9．（阅读材科）⼩明同学发现这样⼀个规律：两个顶⾓相等的等腰三⾓形，
如果具有公共的项⾓的顶点，并把它们的底⾓顶点连接起来则形成⼀组全等的三⾓形，⼩明把具有这个规律的图形称为“⼿拉⼿”图形．如图1，在“⼿拉⼿”图形中，⼩明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．（材料理解）（1）在图1中证明⼩明的发现．
（深⼊探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三⾓形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；
②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．
（延伸应⽤）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．
10．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ．（1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；
（2）如图3，点E 为BC 上⼀点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，
求ABF
ACF
S
S的值．
11．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；
（3）如图2，延长CE⾄点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=
2
9
CP，求
PF
AF
的值．
（提⽰：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）
12．如图，四边形ABCD是直⾓梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．
（1）求证：DG＝BC；
（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．
（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
⼀、压轴题
1．（1）见解析；（2）αβ=，理由见解析；（3）2 【解析】【分析】
（1）证明()ABD ACE SAS ?△△，根据全等三⾓形的性质得到BD CE =；（2）同（1）先证明()ABD ACE SAS ?△△，得到∠ACE=∠ABD ，结合等腰三⾓形的性质和外⾓和定理⽤不同的⽅法表⽰∠ACE ，得到α和β关系式；
（3）同（1）先证明()ABD ACE SAS ?△△，得到ABC ADCE S S ?=四边形，那么
DCE ADE ADCE S S S ??=-四边形，当AD BC ⊥时，ADE S ?最⼩，即DCE S ?最⼤．
【详解】
解：（1）∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，
AB AC BAD CAE AD AE =??
∠=∠??=?
，∴()ABD ACE SAS ?△△，∴BD CE =；
（2）同（1）的⽅法得()ABD ACE SAS ?△△，∴∠ACE=∠ABD ，∠BCE=α，∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，在ABC 中，∵AB= AC ，∠BAC=β，∴∠ACB=∠ABC =
12(180°-β)= 90°-1
2
β，∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+1
2
β，∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-1
2
β+α，∵∠ACE=∠ABD = 90°+1
2
β，∴90°-
12β+α= 90°+1
2
β，∴α = β；
（3）如图，过A 做AH BC ⊥于点H ，∵AB AC =，90BAC ∠=?，
∴45ABC ∠=?，1
22
BH AH BC ==
=，同（1）的⽅法得，()ABD ACE SAS ?△△，
AEC ABD S S ??∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S +=+，
即1
42
ABC ADCE S S BC AH ?==
=四边形，∴DCE ADE ADCE S S S ??=-四边形，当ADE S ?最⼩时，DCE S ?最⼤，
∴当AD BC ⊥2AD =，时最⼩，21
22
ADE S AD ?=
=， 422DCE S ?∴=-=最⼤．
【点睛】
本题考查全等三⾓形的性质和判定，等腰三⾓形的性质，三⾓形的外⾓和定理，解题的关键是抓住第⼀问中的那组全等三⾓形，后⾯的问题都是在这个基础上进⾏证明的． 2．（1）y =3
4-x +3；（2）y =34
x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】【分析】
（1）利⽤4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利⽤待定系数法求出AC 的解析式；
（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利⽤待定系数法求出CD 的解析式，对⽐AC 的解析式进⽽写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）先判断||PA PB -存在最⼤值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三⾓形，两边之差⼩于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时
||PA PB -最⼤，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵
坐标代⼊直线⽅程可得横坐标，从⽽求出P 点坐标．【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，故A (0，3)，C (4，0)，
设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代⼊解析式可得：
340b k b =??
+=?解得：343
k b ?=-?
=?，所以直线AC 的解析式为：y =3
4
-
x +3．（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m
≠0，m 、n 为常数)，点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带⼊解析式可得：
-340n m n =??
+=?解得：343
m n ?
=
=-?，所以直线CD 的解析式为：y =
3
4
x -3，故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．
（3）
点P 在运动过程中，||PA PB -存在最⼤值，由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，
此时||PA PB -最⼤，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三⾓形，两边之差⼩于第三边），此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，
点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代⼊直线⽅程可得：
3
4x -3=3， x =8，
故P 点坐标为(8，3)，
||PA PB -的最⼤值为x p -x B =8-4=4．
【点睛】
本题主要考查利⽤待定系数法求解⼀次函数解析式及类⽐推理能⼒，掌握任意三⾓形两边之差⼩于第三边是解题的关键．
3．（1）左；3；(1-2m )；（2）①（-4，0）；（-1，0）（-3，0）；②当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，1913n ≤≤
；③ F 9
(
,2)12m
--．
【解析】【分析】
(1)根据平⾯直⾓坐标系中点的平移计算⽅法即可得解
(2)①根据B 点向下平移后，点B 和点A 的纵坐标相等得到等量关系，可求出m 的值，从⽽求出A 、B 、C 三点坐标；②过 C 作CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，设出K 点坐标，作 KH ⊥BM 与 H 点，表⽰出H 点坐标，然后利⽤⾯积关系
ABM AKM BKM S S S =+求出距离；当 B '在线段 CD 上时，BB '交 x 轴于 M 点，过 B '做
B 'E ⊥OD ，利⽤S △COD = S △OB'
C + S △OB'
D ，求出n 的值，从⽽求出n 的取值范围；③通过坐标平移法⽤m 表⽰出
E 点的坐标，利⽤D 、E 两点坐标表⽰出直线DE 的函数关系式，令y=﹣2，求出x 的值即可求出
F 点坐标．【详解】
解：（1）根据平移规律可得：B 向左平移； m －（m －1）=3，所以平移3个单位；
m+4－（3m+3）=1－2m ，所以再向下平移(1-2m )个单位；故答案为：左；3；(1-2m )
（2）①点 B 向下移动 3 个单位得：B （m ，m+1）∵移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等∴m+1=3m+3 ∴m=﹣1
∴A （-4,0）；B （-1,0）；C （-3,0）；
②如图 1，过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，设 K 点坐标为（-3，a ） M 点坐标为（-1,0）
作 KH ⊥BM 与 H 点，H 点坐标为（-1，a ） AM=3,BM=3,KC=a,KH=2 ∵ABM AKM BKM S S S =+
∴
222AM BM KC AM KH BM
=+ ∴33323
222a =+ 解得：1a =，
∴当线段 AB 向下平移 1 个单位时，线段 AB 和 CD 开始有交点，∴ n ≥ 1，
当 B'在线段 CD 上时，如图 2
BB'交 x 轴于 M 点，过 B'做 B'E⊥OD,B'M=n-3,B'E=1,OD=5,OC=3∵ S△COD = S△OB'C + S△OB'D
∴
'' 222 CO OD CO B M OD B E
=+
∴353(3)51 222
n
-?
=+
解得：
综上所述，当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，
19
1
3
n
≤≤．
③∵A（m?3，3m+3）， B（m，m+4） D（0，?5）且AD 沿直线 AB ⽅向平移得到线段BE，∴E点横坐标为：3
E点纵坐标为：﹣5+m+4－（3m+3）=﹣4－2m
∴E（3，﹣4－2m），
设DE：y=kx+b，把D（0，﹣5），E（3，﹣4－2m）代⼊y=kx+b
∴
3k+b=42m
b=5
﹣－
﹣
∴
1-2m
k=
3
b=-5
，
∴y=12m
－，
把y=﹣2代⼊解析式得：﹣2=12m
x5
3
－
－，
x=
9
12m
－
，
∴F
9
(,2) 12m
-
-
．
【点睛】
本题考查平⾯直⾓坐标系中点的平移计算及⼀次函数解析式求法，解题关键在于理解掌握平⾯直⾓坐标系中点平移计算⽅法以及⽤待定系数法求函数解析式⽅法的应⽤． 4．（1） 122°；（2）1
2
BEC α∠=；（3）0
1
902
BQC A ；（4）119，29 ；【解析】【分析】
（1）根据三⾓形的内⾓和⾓平分线的定义；
（2）根据三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个内⾓的和，⽤A ∠与1∠表⽰出2∠，再利⽤E ∠与1∠表⽰出2∠，于是得到结论；
（3）根据三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个内⾓的和以及⾓平分线的定义表⽰出
EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三⾓形的内⾓和定理列式整理即可得解；
（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．【详解】解：（1）
BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，
2PBC ABC ∴∠=∠，12
PCB ACB ∠=∠，
180()BPC PBC PCB ∴∠=?-∠+∠ 11
180()22
ABC ACB =?-∠+∠，
1
180()2
ABC ACB =?-∠+∠，
1
(180180)2A =?-?-∠，
1
180902
A =-?+?∠，
9032122，故答案为：122?；
（2）如图2⽰，
CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的⾓平分线，
112ACB ∴∠=∠，1
22
ABD ∠=∠，
⼜ABD ∠是ABC ?的⼀外⾓， ABD A ACB ∴∠=∠+∠，11
2()122
A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠，
2∠是BEC ?的⼀外⾓，
112111222
BEC A A α
∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=；
（3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1
()2
QCB A ABC ∠=∠+∠，
180BQC QBC QCB ∠=?-∠-∠， 11
180()()22A ACB A ABC =?-∠+∠-∠+∠，
11
180()22A A ABC ACB =?-∠-∠+∠+∠，
结论1
902
BQC A ∠=?-∠．
（4）由（3）可知，1190
90
64582
2
BQC A ，
再根据（1），可得180()BPC PBC
PCB
1
1
180
2
2
QBC QCB 1
180902Q 1180
90
582
119；
由（2）可得：
11
5829 22
R Q;
故答案为：119，29．
【点睛】
本题考查了三⾓形的外⾓性质与内⾓和定理，熟记三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个内⾓的和是解题的关键．5．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由⾯积公式可求出答案;
（2）作CH∥x轴,如图2,由平⾏线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出
∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;
（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．
【详解】
解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,
∵A（﹣2,2）、B（4,4）,
∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,
∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝1
2
×（2+4）×6﹣
1
2
×2×2﹣
1
2
×4×4＝8;
（2）作CH // x轴,如图2,
∵D （0,﹣4）,M （4,﹣4）, ∴DM // x 轴, ∴CH // OG // DM,
∴∠AOG ＝∠ACH,∠DEC ＝∠HCE, ∴∠DEC+∠AOG ＝∠ACB ＝90°, ∴∠DEC ＝90°﹣55°＝35°, ∴∠CEF ＝180°﹣
∠DEC ＝145°;
（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC ＝∠ACB ＝90°, ⽽∠HEC+∠CEF ＝180°,∠NEC+∠CEF ＝180°, ∴∠NEC ＝∠HEC,
∴∠NEF ＝180°﹣∠NEH ＝180°﹣2∠HEC, ∵∠HEC ＝90°﹣∠AOG,
∴∠NEF ＝180°﹣2（90°﹣∠AOG ）＝2∠AOG ．【点睛】
本题是三⾓形综合题,考查了坐标与图形的性质,三⾓形的⾯积,平⾏线的性质,三⾓形内⾓和定理,熟练掌握平⾏的性质及三⾓形内⾓和定理是解题的关键． 6．（1）①详见解析；②1
2
α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，102a 【解析】【分析】
（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆⼼，AB 为半径的圆上；
②由等腰三⾓形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数；（2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三⾓形，可得AC=BC ，∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；
（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三⾓形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直⾓三⾓形的性质和勾股定理可求10BO a =，
2OF OC a ==，即可求得BF
【详解】
（1）①连接AD，如图1．
∵点C与点D关于直线l对称，
∴AC = AD．
∵AB= AC，
∴AB= AC = AD．
∴点B，C，D在以A为圆⼼，AB为半径的圆上．②∵AD=AB=AC，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=1
2
α
故答案为：1
2α．
（2连接CE，如图2．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三⾓形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=1
2
α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三⾓形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，
∴△BCD ≌△ACE （SAS ）∴BD=AE ，
（3）如图3，取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，
，
F 是以AC 为直径的圆上⼀点，设AC 中点为O ，∵在△BOF 中，BO+OF≥BF ，当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；如图，过点O 作OH ⊥BC ，
∵∠BAC=90°，2a ，∴24BC AC a =
=，∠ACB=45°，且OH ⊥BC ，
∴∠COH=∠HCO=45°，∴OH=HC ，∴2OC HC =，∵点O 是AC 中点，AC 2a ，∴2OC a =
，
∴OH HC a ==，∴BH=3a ，∴10BO a =，
∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，∴∠AFC=90°，∵点O 是AC 中点，∴2OF OC a ==，
∴102BF a =
，
∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最⼤值为102)a ．【点睛】
本题是三⾓形综合题，考查了全等三⾓形的判定和性质，等腰三⾓形的性质，勾股定理，三⾓形的三边关系，灵活运⽤相关的性质定理、综合运⽤知识是解题的关键．
7．（1）
3
5,
2
；（2）2；（3）不是；（4）（6，
7
5
）
【解析】【分析】
（1）根据“⽩马有理数对”的定义，把数对
3
(2,1),5,
2
- ?
分别代⼊1
a b ab
+=-计算即
可判断；
（2）根据“⽩马有理数对”的定义，构建⽅程即可解决问题；（3）根据“⽩马有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“⽩马有理数对”的定义即可解决问题．
【详解】
（1）∵-2+1=-1，⽽-2×1-1=-3，
∴-2+1≠-3，
∴（-2，1）不是“⽩马有理数对”，
∵5+3
2
=
13
2
，5×
3
2
-1=
13
2
，
∴5+3
2
=5×
3
2
-1，
∴
3
5,
2
是“⽩马有理数对”，
故答案为：
3 5,
2
?
；
（2）若(,3)
a是“⽩马有理数对”，则a+3=3a-1，
解得：a=2，
故答案为：2；
（3）若(,)
m n是“⽩马有理数对”，则m+n=mn-1，那么-n+（-m）=-（m+n）=-（mn-1）=-mn+1，
∵-mn+1≠ mn-1
∴（-n，-m）不是“⽩马有理数对”，
故答案为：不是；
（4）取m=6，则6+x=6x-1，
∴x=7
5
，
∴（6，7
5
）是“⽩马有理数对”，
故答案为：（6，7
5
）．
【点睛】
本题考查了“⽩马有理数对”的定义，有理数的加减运算，⼀次⽅程的列式求解，理解“⽩马有理数对”的定义是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE，图③中，AE+BE=CE；（3）1.5或4.5
【解析】
【分析】
（1）在BE上截取BF DE
=，连接AF，只要证明△AED≌△AFB，进⽽证出△AFE为等边三⾓形，得出CE+AE= BF+FE，即可解决问题；
（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF，只要证明△ACE≌△AFB，进⽽证出△AFE为等边三⾓形，得出CE+BE= BF+BE，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，只要证明△AEB≌△AFC，进⽽证出△AFE为等边三⾓形，得出AE+BE =CF+EF，即可解决问题；
（3）根据线段CE，AE，BE，BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题．
【详解】
（1）证明：在BE上截取BF DE
=，连接AF，
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，
设∠EAC=∠DAE=x．
∵AD=AC=AB，
∴∠D=∠ABD=1
2
（180°-∠BAC-2x）=60°-x，
∴∠AEB=60-x+x=60°．
∵AC=AB，AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABF=∠ADE，
∵BF DE
=，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，BF=DE，
∴△AFE为等边三⾓形，
∴EF=AE，
∵AP是CD的垂直平分线，∴CE=DE，。