专题六---几何探究题解题思路

专题六几何探究题的解题思路
一、方法简述
随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件----演绎----结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.
二、思想方法
1.分类讨论思想
分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。

分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。

正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。

2.数形结合思想
数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。

利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。

3.函数与方程思想
函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。

4.转化与化归思想
转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程
图 2
D
C
B
A
图 1
P D
C
B
A 实际上就是转化的过程。

转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。

三、典例分析
例1: 阅读理解：如图1，在直角 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠O
90B =, 点P 在BC 边上，当∠O
90APD =时，
易证ABP ∆∽PCD ∆，从而得到CD AB PC BP ⋅=⋅. 解答下列问题：
（1） 模型探究：如图2，在四边形ABCD 中， 点P 在BC 边上，当∠B =∠C =∠APD 时，
求证：CD AB PC BP ⋅=⋅； （2） 拓展应用：如图3，在四边形ABCD 中，
4,AB =6,CD 10,BC ==∠B =∠O
60C =,
AO ⊥BC 于点O ，以O 为原点，以BC 所在的直线
为x 轴，建立平面直角坐标系，点P 为线段OC 上一动点（不与端点O 、C 重合）．
① 当∠O
APD 60=时，求点P 的坐标；
② 过点P 作PE ⊥PD ，交y 轴于点E ，设x OP =，y OE =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
(1)证明：如图2，∵∠1=1800
-∠B -∠2 ∠3=1800
-∠APD -∠2 ∠B=∠APD ∴∠1=∠3 又∵∠B=∠C ∴ △ABP ∽△PCD
∴
CD
BP
PC AB = ∴CD AB PC BP ⋅=⋅
(2) ①如图3，当∠APD=600时
图 2
3
2
1
P D
C
B
A
设P 点坐标为（x ，0），（0< x <8）则BP=2+x ，PC=8-x ∵∠B=∠C=∠APD=600
∴CD AB PC BP ⋅=⋅ 即（2+x ）(8-x)=64⨯ 解得：x 1=2, 2x =4 ∴点P 的坐标为P （2，0）或P （4，0）
②解法一：如图3，过点D 作DM ⊥x 轴于点M 则CM=
32
1
=CD ，DM=33 ∴OM=5 (Ⅰ)当点P 在线段OM 上设为P 1，P 1M=x-5 (0<x ≤5) ∵∠E 1OP 1=∠DMP 1=∠E 1P 1D=900
∴OP 1•P 1M=OE •1•DM 即x x -5()=33⋅y ∴x x y 9
35932+-= (0<x ≤5) (Ⅱ) 当点P 在线段CM 上设为P 2, P 2M=x-5 (5<x<8)
∵∠1+∠3=900
∠2+∠3=900
∴∠1=∠2 ∴Rt △E 2OP 2∽Rt △P 2MD ∴DM OP M P OE 222= ∴DM OE M P OP ⋅=⋅222 即x(x-5)= 33⋅y ∴x x y 9
3
5932-=
(5<x<8) 解法二：如图3，过点D 作DM ⊥x 轴于点M
则CM=
32
1
=CD ，DM=33 ∴OM=5 ∴D(5，33) (Ⅰ)当点P 在线段OM 上设为P 1，P 1M=5-x (0<x ≤5) 连接DE ；
∵2
1
212
11D E D P P E =+ 即 x 5(2
2
++y -x)2
+ (33)2
=(33-y)2
+52
∴x x y 9
3
5932+-
= (0<x ≤5) (Ⅱ) 当点P 在线段CM 上设为P 2, P 2M=x-5 (5<x<8) 连接DE 2 ∵2222222D E D P P E =+ 即x x y (2
2
++-5)2
+ (33)2
=(33+y)2
+52
∴x x y 9
35932-=
(5<x<8)
图 3
图 2
图 1
F
E
O C B
A
评析:本题通过“阅读理解—模型探究—拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）①）上升到新背景中的“特殊”（问题（2）②），使学生经历了“特殊—一般—特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, ABP ∆∽PCD ∆”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.
例2. 已知菱形ABCD 的边长为1，0
60ADC ∠=，等边AEF ∆两边分别交边DC 、CB 于点E 、F .
（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边AEF ∆的外心；
（2）若点E 、F 始终在分别在边DC 、CB 上移动，记等边AEF ∆的外心为点P .
①猜想验证：如图2，猜想AEF ∆的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当AEF ∆面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点N ，交边DC 的延长线于点M ，试判断11DM DN
+是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由
解：（1）证明：如图1，分别连接OE 、OF ∵四边形ABCD 是菱形
∴AC ⊥BD ,BD 平分ADC ∠，BC DC AD == ∴O
AOD COB COD 90=∠=∠=∠
O O ADC ADO 30602
1
21=⨯=∠=
∠ 又∵E 、F 分别为DC 、CB 中点
图1
∴CD OE 21=
、BC OF 21=、AD AO 2
1
= ∴OA OF OE == ∴点O 即为AEF ∆的外心
（2）①猜想：外心P 一定落在直线DB 上
证明：如图2，分别连接PE 、PA ，过点P 分别作PI CD ⊥于I ，PJ AD ⊥于J . 则O
PJD PIE 90=∠=∠ ∵O
ADC 60=∠ ∴JDI PJD PIE IPJ O
∠-∠-∠-=∠360 ∴O
O
O
O
O
IPJ 120609090360=---=∠ ∵点P 是等边AEF ∆的外心， ∴O EPA 120=∠，PA PE = ∴EPA IPJ ∠=∠ ∴JPA IPJ ∠=∠ ∴PIE ∆≌PJA ∆ ∴PJ PI =∠
∴点P 在ADC ∠的平分线上，即点P 落在直线DB 上
分析：证点P 落在ADC ∠的平分线上，也就证明点P 到直线AD 、AC 的距离相等，如此便可构造两个直角三角形证明全等。

若考虑对角互补，便可联想到四点共圆， 从而利用圆的性质便有下面两种解法。

另解法一：分别连接PA 、PC 、PD ∵四边形ABCD 是菱形,O
ADC 60=∠
∴O
BCD 120=∠,CD AD =
∵点P 是等边AEF ∆的外心，
∴O
EAF 60=∠, ∴O
BCE EAF 180=∠+∠ ∴A 、F 、C 、E 四点共圆，∴PC PA = ∵DC DA = ∴CDP ∆≌ADP ∆
∴ADP CDP ∠=∠
∴P 落在ADC ∠的平分线上.即点P 落在直线DB 上.
另解法二：:分别连接PA 、PE 、PD ∵点P 是等边AEF ∆的外心 ∴O EPA 120=∠，PA PE = ∴O PEA 30=∠
∵O
EPA ADC 180=∠+∠ ∴A 、P 、E 、 D 四点共圆.
图2 J
图
3
图4
∵O
PEA PDA 30=∠=∠
∴P 落在ADC ∠的平分线上.即点P 落在直线DB
②
11DM DN
+为定值2 当AE DC ⊥时，AEF ∆面积最小， 此时点E 、F 分别为DC 、CB 中点 连接BD 、AC
交于点P ，由（1） 可得点P 即为AEF ∆的外心
解法一：如图，设MN 交BC 于点G
设,(0,0)DM x DN y x y ==≠≠，则1CN y =-
∵BC ∥DA ，且DA BC =，P 是BD 的中点 ∴GBP ∆≌MDP ∆ ∴x DM BG == ∴x CG -=1 ∵BC ∥DA ∴NCG ∆∽NDM ∆ ∴
DM CG DN CN = ∴x x y y -=-11 ∴xy y x 2=+ ∴21
1=+y
x 即211=+DN DM 分析：观察图形，得到结论CG AM =，把1用AD 或CD 代替，把要计算的线段或相关线段集中到两个相似的三角形NCG ∆，NDM ∆中，并把长度用字母表示，化简含字母的代数式从而得到结论。

依据此策略，可得到解法二、三、四。

解法二：如图，连接PE ∵点P 、E 分别为AC 、DC ∴2
1
21==
DA PE ，PE ∥DA ∴NEP ∆∽NDM ∴DM
EP
ND NE = 设,DM x DN y ==，则2
1
-
=y NE ∴x
y y 2121=-
∴y x xy 2121=-
∴21
1211=+=+DN
DM y x ，则 解法三：过点G 作直线GH ∥CD 交AD 于点H ，
∵GH ∥CD ∴HMG ∆∽DMN ∆
∴DM HM
DN HG = ∴DM DM DM DM AM DM DN )1(1--=-= ∴
211=+DN
DM 图5
M
图6
M
H 图7
D
解法四：过点C 作直线CK ∥MN 交BD 于点K ，过点A 作AH ∥MN 交BD 于H . ∵CK ∥MN ，AH ∥MN ∴DCK ∆∽DNP ∆，DMP ∆∽DAH ∆
∴
DP DK DN DC =，DP DH DM DA = ∴DP DK DN =1，
DM =1∴DP
DH DK DN DM +=+11
由CKP ∆≌AHP ∆得：HP KP =
∴DP DH DK 2=+ ∴
211=+DN DM 解法五：如图，过点P 作PI DC ⊥
于I ，PJ DA ⊥于J ，则PI PJ ==∵DMN DMP DNP S S S ∆∆∆=+
∴o DN DM PJ DM PI DN 60sin 2
12121⋅⋅=⋅+⋅ ∴2
32143214321⋅⋅=⋅+⋅DN DM DM DN ∴DN DM DN DM ⋅=+2 ∴
21
1=+DN
DM 分析：因为11DM DN
DM DN DM DN
++=•，而D M D N •正与DMN ∆的面积有关，其中DM ，
DN 也可以看成是将DMN ∆分为DNP ∆和DMP ∆后，计算面积过程中涉及的底边。

这种对
所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。

解法六：如图4，以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系 设直线MN 的解析式为y kx b =+
可求得点P 的坐标为3(4 ∴34k b +=
∴k b 4
3
43-=
∴直线MN 的解析式为k kx y 4
343-+
= 图8
M D
图9
求得直线DN
的解析式为y =
令344kx k +-=
，∴3k x = ∴3232360cos --==k k x DN o
令3044
kx k +-=
，∴34
4k x k = ∴k k DM 4343-= ∴
2)33(213
32
3233434311=--=-
-+-=+k k k k k k DN DM
评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。

试题
以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。

本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略——试验、发现、联想、推广。

其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。

本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。

其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点P 落在直线DB 上，证点P 落在∠ADC 的平分线上，也就证明点P 到直线AD 、AC 的距离相等（结论转换），如此便可构造两个直角三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第﹙2﹚小题第②以探究性问题让学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。

四、强化训练
1. 如图，在矩形ABCD 中，9AB =
，AD =P 是边BC 上的动点（点P 不与点B 、点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ． （1）求CQP ∠的度数；
（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？
（3）求y 与x 之间的函数关系式；
2.如图1，在A B C Rt ∆中，0
90=∠C ，6==BC AC ，D 是AB 边上一点，E 是在AC
边上的一个动点（与点A 、C 不重合），DE DF ⊥，DF 与射线CB 相交于点F 。

（1）如图1，如果点D 是边AB 的中点，求证：DF DE =； （2）如图2，如果m DB AD =，求DF
DE
的值； （3）如果
2
1
=DB AD ，设x AE =，y BF =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； D
Q
C B
P
R
A 第1题图
B
A
D C （备用图1）
B
A
D C
（备用图2）
备用图
图 2
图 1
F
E
C
B
A F
E
D C B
A
3.四边形ABCD 是矩形，2=AB ，3=AD ，点M 是射线DC 上的一个动点（点M 不与点D 重合），N 是点M 关于AD 的对称点，射线AM 交射线BC 于E ，设m DM =，
n CE =，ANE ∆的面积为S .
(1)如图1，当点M 在DC 边上．．运动时，试用m 的代数式表示n ，并写出m 的取值范围； （2）当点M 在射线．．DC 上运动时，判断ANE ∆的面积S 是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请用m 的代数式表示S ，并写出m 的取值范围.
12 / 35 H
H
G
E
D
A G
E
D
A
图 2 （备用图）D
B A
图 1
A
4. 已知：在矩形ABCD 中，10=AB ，12=BC ，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，2=AE .
（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求GFC ∆的面积；
（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且a BF =时，求GFC ∆的面积（用含a 的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，GFC ∆的面积能否等于2？请说明理由.
13 / 35
5.已知，ABC ∆是等腰直角三角形，0
90=∠BAC ，2=BC ，D 是线段BC 上一点，以
AD 为边，在AD 的右侧作正方形ADEF ．直线AE 与直线BC 交于点G ，连接CF ． （1）如图1，当1<BD 时，求证：ACF ∆≌ABD ；
（2）如图2，当1>BD 时，请在图中作出相应的图形，猜测线段CF 与线段BD 的关系，并说明理由；
（3）连接GF ，判断线段BD 为何值时，GFC ∆是等腰三角形．
A
B
C
F
D
G
A
14 / 35 θ
θ
P
F
E C B A
F
E
C
B A
F E C
B
A
6．有公共顶点大小不等的正方形ABCD 与正方形AEFG ，两个正方形分别绕着点A 旋转
至下列图形的位置，其中θ=∠BAE ()1800(0
0<<θ.
(1) 如图1，连接BG 、DE ，判断线段BG 与DE 的数量及位置之间的关系，并说明理由； （2）连接BE 、DG ，过点A 的直线垂直DG 于H 交BE 于P .
①如图2，求证ABE ∆与ADG ∆的面积相等；
②如图3，试判断DG
AP
是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.
15 / 35 M
E
C
M
E
C
7. （1）如图1，在ABC ∆中，22==BC AC ，O
ACB 90=∠，点E 在AC 边上（不与点C A 、重合），过E 作AB DE ⊥于D ，连接BE CD 、，M 为BE 的中点，连接
DM CM 、.
①求证：CDM ∆是等腰直角三角形；
②若x AD =，CDM ∆的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）如果把图1中的ADE ∆绕着点A 逆时针旋转至图2的位置，其它的条件不变，那么
CDM ∆是否还是等腰直角三角形？请说明理由.
16 / 35
8.如图1，在菱形ABCD 中，AB =4，∠O
BAD 120=，M 是BC 边上的点，
∠α=BAM （O 0<α<O 60），点N 在CD 边上，∠O
MAN 60=，AM 、AN 分别与BD 相
交于P 、Q 两点，当∠MAN 绕着点A 旋转时，点M 、N 、P 、Q 也随之运动.请解答下列问题；
（1）求证：AMN ∆是等边三角形；
（2）在∠MAN 旋转的过程中，当α为何值时，四边形AMCN 的周长最小？求四边形AMCN 周长的最小值；
（3）如图2，当DQ BP 2=时，判断PQ 与DQ 之间的数量关系，并说明理由.
17 / 35
O P
Q
E D C
B A
9.如图，在ABC ∆中，5==BC AB ，6=AC ，过点A 作AD ∥CB ，点P 、Q 分别 是射线AD 、线段AB 上的动点，且BQ AP =，过点P 作PE ∥AC 交线段AQ 于O ，交BC 于E ，设POQ ∆的面积为y ，x AP =. （1）用x 的代数式表示PO ；
（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）连接QE ，若PQE ∆与POQ ∆相似，求AP 的长.
18 / 35
10.如图，ABC Rt ∆，0
90=∠C ，6=BC ，8=AC ．点P 、Q 都是斜边AB 上的动点，
点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，AQ BP =．点D ，E 分别是点
A ，
B 以Q ，P 为对称中心的对称点，AB HQ ⊥ 于Q 交A
C 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P 、Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，HDE ∆的面积为y ．
（1）求证：DHQ ∆∽ABC ∆；
（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，HDE ∆为等腰三角形？
19 / 35
图 3
图 2
图 1
F
E
N
M D C B A
F
E N
M
D C B A
N
F
E
D C B A(M)
11.（1）在正方形ABCD 中，点F 在AD 延长线上，且DC DF =，M 为AB 边上一点，N 为MD 的中点，点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.
①如图1，点M 、A 重合，E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及
BM
CE
的值， 并证明你的结论；
② 如图2，点M 、A 不重合，NE BN =，你在①中得到的两个结论是否成立， 若成立，请加以证明； 若不成立， 请说明理由；
（2）如图3，如果把（1）② 中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，其他条件不变，那么你在②中得到的两个结论是否成立，请直接写出你的结论.
20 / 35
（备用图）C B
A
C B A
12. 如图，在ABC ∆中，0
90=∠ACB ，点P 到ACB ∠两边的距离相等，且PB PA =．
（1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；
（2）设m PA =，n PC =，试用m 、n 的代数式表示ABC ∆的周长和面积；
（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BC CD
AC CD +
的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．
21 / 35
备用图 1
R Q P
D
C B
A
备用图 2
N M R Q
P
D C
B
A
图 1
F
E
D
C B
A
图 2
G
F
E
D
C
B
A
专题六 几何探究题
1.解：(1)∵PQ ∥BD ∴∠CQP=∠BDC 在Rt △BDC 种，∵∠C=90o
∴tan ∠BDC=33=
DC BC ∴∠CQP=∠BDC=30o
(2)如备用图1，点R 落在AB 上。

∵∠CPQ=90o
-∠CQP=60o ∴∠RPQ=∠CPQ=60o
∴∠RPB=60o
∴BP=
21PR=21CP=x 21
则332
1
=+x x ∴32=x
（3）有两种情况：①当320≤<x 时，2
2
3x y =
②当3332<<x 时，如备用图2。

∵PB=x -33 ∴PN=2PB=x 236- ∴RN=363-=-x PN x
633
3
-==
x RN RM ∴3181832
1
2322-+-=⋅-=
x x RM RN x y 2.（1）证明：连接CD 如图1.
∵△ABC 是直角三角形，∠C=90o
，AC=BC 点D 是AB 的中点
∴CD ⊥AB,CD=DB ∠FCD=∠B=45o ∠BDF=90o
-∠FDC ∵∠EDF=90o
∴∠CDE=90o -∠FDC ∴∠BDF=∠CDE ∴△CDE ≌△BDF ∴DE=DF （2）过D 作DG ⊥AB 交AC 于G 如图2. 则AD=DG ，∠EGD=∠B=45o
又∵∠EDG=∠FDB
备用图
G
F
E D C
B
A
m 图 1N
M D
C B A
∴△GDE ∽△BDF ∴
DB DG DF DE = ∴m DB
AD
DF DE == （3）AB=26
∵AD ∶DB =1∶2 ∴DG=AD=
223
1
=AB BD=24 ∴AG=
42
2
2
230cos ==o AD
有两种情况：①如图2，当40≤<x 时。

由△GDE ∽△BDF 得：
DB
DG
FB EG = ∴2
4224=
-y x x y 28-= ②如备用图，当64<<x 时。

由△GDE ∽△BDF 得：
DB
DG
FB EG = ∴
2
42
24=
-y x 82-=x y 3.解：（1）如图1，当20<<m 时
∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD ∥BC ∴AD ∥CE ∴AMD ∆∽EMC ∆ ∴
CM DM EC AD = ∴m m
n -=23 ∴m
m n 36-= 20<<m
当2=m 时 0=n
（2）S 为定值6，分三种情况：
①当20<<m 时，如图1：
方法一： mn m CE MN AD MN S S S EMN AMN +=⋅+⋅=+=∆∆32
1
21
由（1）得：m m n 36-= ∴6363=-⋅
+=m
m
m m S
n m
图 2N M
E
D
C B A
图 1
M
H
G
F
E
D
C
B
A 方法二： BE A
B CE CN B
C CN AB S S S S ABE NCE ABCN ⋅-⋅+⋅+=-+=∆∆2
1
21)(21梯形 =)3(221
)2(213)22(21n n m m +⨯⨯-⋅++⨯++
=mn m 21
233++
由（1）得：m m
n 36-=
∴63621233=-⋅
++=m
m
m m S ②当2=m 时，点M 、E 、C 重合。

6232
122=⨯⨯⨯==+=∆∆∆ACD AND ACD S S S S ③当2>m 时，如图2：
方法一：
∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD ∥BC ∴AD ∥CE ∴AMD ∆∽EMC ∆ ∴
CM DM EC AD = ∴23-=m m n ∴m
m n 6
3-= EC MN AD MN S S S EMN AMN ⋅-⋅=-=∆∆2
1
21
n m m ⋅⨯-⨯⋅=22
1
3221 66
333=-⋅-=-=m
m m m mn m
方法二：∵四边形ABCD 是矩形 ∴DC ∥AB ∴CM ∥AB
∴MEC ∆∽ AEB ∆ ∴AB MC AE ME = ∴AB
AB
MC AE AE ME +=+ ∴
m
m AB MC AB AM AE 2
2)2-(2=+=+= 又∵
AM
AE S S AMN AEN =∆∆ ∴63221
2=⨯⋅⋅=⋅=∆m m S AM AE S AMN 综上所述：S 为定值6。

4．解：（1）如图1，过点G 作GM BC ⊥于M . 在正方形EFGH 中，
90,HEF EH EF ∠==.
图 2
M
H
G
F E
D
C
A 90.
90,.
AEH BEF AEH AHE AHE BEF ∴∠+∠=∠+∠=∴∠=∠
又∵90A B ∠=∠=，
∴⊿AHE ≌⊿BEF.
同理可证：⊿MFG ≌⊿BEF. ∴GM=BF=AE=2.
∴FC=BC-BF=10.
（2）如图2，过点G 作GM BC ⊥于M.连接HF.
//,.
//,.AD BC AHF MFH EH FG EHF GFH ∴∠=∠∴∠=∠ .AHE MFG ∴∠=∠
又90,,A GMF EH GF ∠=∠== ∴⊿AHE ≌⊿MFG.
∴GM=AE=2.
11
(12)12.
22
GFC
S
FC GM a a ∴=
⋅=-=- （3）⊿GFC 的面积不能等于2.
∵若2,GFC
S
=则12- a =2，∴a =10.
此时，在⊿BEF 中，
EF ==
在⊿AHE 中，
12AH .
∴AH ＞AD .
即点H 已经不在边AB 上.故不可能有 2.GFC
S
=
解法二：⊿GFC 的面积不能等于2. ∵点H 在AD 上，∴菱形边长EH
的最大值为∴BF
的最大值为又因为函数12GFC
S
a =-的值随着a 的增大而减小，
O
E C
B
θ所以GFC
S
的最小值为12-
又∵122-，∴⊿GFC 的面积不能等于2.
5．解：（1）∵四边形ADEF 是正方形，△ ABC 是等腰直角三角形，
∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90º ∴∠BAD ＝∠CAF ，∴△ABD ≌△ACF （2）作图如右： 猜测：CF ＝BD ，CF ⊥BD 理由是：同（1）可得△ABD ≌△ACF
∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠ABD ＝∠ACB ＝45º ∴∠FCB ＝90º，∴CF ⊥BD （3）连接GF
∵AE 是正方形ADEF 的对角线 ∴∠FAE ＝∠DAE ＝45º 又AD ＝AF ，AG ＝AG
∴△AFG ≌△ADG ∴FG ＝DG 若Rt△CFG 是等腰三角形，则CG ＝CF 设CF ＝x ，得CG ＝CF ＝BD ＝x
①如图1，当BD ＜1时，FG ＝DG ＝2－2x
在Rt△CFG 中，，根据勾股定理得 FG 2
＝CG 2
＋CF 2
∴（2－2x ）2
＝2x 2
解得：x 1＝2＋ 2 ＞1（舍去），x 2＝2－ 2 ②如图2，当BD ＞1时，∵CG ＝BD ∴FG ＝DG ＝BC ＝2
在Rt△CFG 中，，根据勾股定理得 FG 2
＝CG 2
＋CF 2
，22
＝2x 2
解得：x 1＝－ 2 （舍去），x 2＝ 2
综上所得，当BD 等于2－ 2 或 2 时，△CFG 是等腰三角形 6. 解：（1）DE BG = DE BG ⊥
理由： 方法一：∵四边形ABCD 与四边形AEFG 都是正方形
∴AB AD = AG AE = 090=∠=∠EAG DAB ∴θ+=∠=∠0
90BAG DAE
∴DAE ∆≌BAG ∆ BAG ∆可以看作由DAE ∆顺时针旋转0
90得到的（或DAE ∆可以看作
由BAG ∆逆时针旋转0
90得到的），故DE BG =，
DE BG ⊥
方法二：连接BD 如图.
图 2
N
M
G F
E D C
B
A
M
P
E
C
B
图 3
P
M
H G
E
C
B
A
证DAE ∆≌BAG ∆得DE BG =，
ABG ADE ∠=∠
∴)()(ABG ABD ADE ADB OBD ODB ∠+∠+∠-∠=∠+∠
=090=∠+∠ABD ADB ∴0
90=∠BOD ∴ DE BG ⊥
(2) ①方法一：过E 作M AB EM 于⊥,
过N DA GN G 的延长线于
作⊥. 则ME ∥AN ∴EAN AEM ∠=∠
∵AEM MAE ∠-=∠0
90，EAN NAG ∠-=∠0
90 ∴NAG MAE ∠=∠
又∵AE AG = 0
90=∠=∠ANG AME
∴AME ∆≌ANG ∆ ∴GN EM = ∵EM AB S ABE ⋅=
∆21 GN AD S ADG ⋅=∆2
1
，AD AB = ∴ADG ABE S S ∆∆=
方法二：①过B 作BM ∥AE 交直线HP 于M . 则MAE BMA ∠=∠
∵GAH MAE ∠-=∠090，GAH AGD ∠-=∠0
90 ∴AGD MAE ∠=∠
∴AGD BMA ∠=∠ 同理：ADG BAM ∠=∠ 又∵AD AB = ∴ABM ∆≌DAG ∆ ∴DAG ABM S S ∆∆= AG BM =
∵AG AE = ∴AE BM =
又∵EPA BPM ∠=∠ ∴BPM ∆≌EPA ∆ ∴EPA BPM S S ∆∆= ∴ABE ABM S S ∆∆= ∴ADG ABE S S ∆∆=
② ∵ABM ∆≌DAG ∆ ∴DG AM = ∵BPM ∆≌EPA ∆ ∴AP MP =
∴AP AM 2= ∴DG AP 21=
所以DG AP 为定值2
1 方法三：①过A 作M BE AM 于⊥交N DG 于. ∵DAH BAP ∠-=∠0
90，DAH ADN ∠-=∠0
90
图 3
P
N M H
G
F
E
C
B
A
6
5
4
32
1M
E C
∴ADN BAP ∠=∠
∵BAM ABP ∠-=∠0
90,BAM DAN ∠-=∠0
90 ∴DAN ABP ∠=∠ 又∵DA AB = ∴ABP ∆≌DAN ∆ ∴DNA ABP S S ∆∆=
同理可证：GNA APE S S ∆∆= ∴G NA D AN APE ABP S S S S ∆∆∆∆+=+ 即ADG ABE S S ∆∆=
②∵ABP ∆≌DAN ∆，∴DN AP = ∵ APE ∆≌GNA ∆ ∴GN AP = ∴DG AP 21=
所以DG AP 为定值2
1 方法四：①过B 作BM ⊥直线HP 于M ，过E 作BN ⊥直线HP 于N ∵BAM ABM ∠-=∠0
90，BAM DAH ∠-=∠0
90
∴DAH ABM ∠=∠ 又∵0
90=∠=∠DHA AMB
DA AB = ∴ABM ∆≌DAH ∆ ∴DAH ABM S S ∆∆= AH BM = 同理可证: AEN ∆≌GAH ∆
∴G AH AEN S S ∆= AH EN =
∴EN BM = 又∵0
90=∠=∠ENP BMP ，EPN BPM ∠=∠
∴BPM ∆≌EPN ∆ ∴EPN BPM S S ∆∆= ∴AEN ABM ABE S S S ∆∆∆+= 又∵AEN ABM G AH D AH AD G S S S S S ∆∆∆∆∆+=+= ∴ADG ABE S S ∆∆=
②由①得ABM ∆≌DAH ∆，AEN ∆≌GAH ∆ ∴DH AM =，GH AN = ∴DG AN AM =+， 又∵BPM ∆≌EPN ∆ ∴NP MP = ∴AP AN AM 2=+ DG AP 21= 所以DG AP 为定值2
1 7. （1）方法一：如图1-1.
∵O
ACB EDB 90=∠=∠，MB EM =
∴BM EB DM CM ===2
1
∴42431∠=∠+∠=∠ 62652∠=∠+∠=∠
F
图 1-2
M
E C
B
A
H
M
E
C A
又∵BC AC = ∴O
ABC 45=∠
∴O ABC 90264221=∠=∠+∠=∠+∠）（
即O
CMD 90=∠ ∴CDM ∆是等腰直角三角形 方法二：如图1-2.
把ACD ∆绕着点C 逆时针旋转O
90，点A 落在点B 处，点D 落在点F 处，连接MF .
则AD BF =， CD CF = ，ACD BCF ∠=∠，AD BF ⊥ ∵DE AD ⊥ O
A 45=∠
∴DE AD = ∴DE BF = BF ∥DE ∴四边形DBFE 是矩形. 又∵MB EM = ∴点M 是矩形DBFE 的中心 MF DM = ∴ 点D 、M 、F 在同一直线上.且MF DM = 又∵O
ACD DCB BCF DCB DCF 90=∠+∠=∠+∠=∠
∴DM CM = O
CMD 90=∠ 所以CDM ∆是等腰直角三角形
方法三：如图1-2.
延长DM 到F ，使得MF DM =，连接BF 、EF 、CF .
∵AB DE ⊥于D ∴O
EDB 90=∠
又∵MB EM = ∴四边形DBFE 是矩形. ∴A ABC CBF O
∠==∠-=∠45900
又∵AC BC =，AD DE BF ==
∴BCF ∆≌ACD ∆ ∴ACD BCF ∠=∠，CD CF = ∴O
ACD DCB BCF DCB DCF 90=∠+∠=∠+∠=∠
∴O
CMD 90=∠ DM CM = 所以CDM ∆是等腰直角三角形 ②方法一：
在ADE Rt ∆中 ∵O ADE 90=∠ O
A 45=∠ x AD =
∴x AE 2= ∴x AE AC CE 222-=-=
又∵O
ECB 90=∠，22=BC
∴8)2(2)222()22(222222+-=-+=+=x x CE BC BE
∴1)2(4
1
8121222+-===
x BE CM S （20<<x ） 方法二：如图1-3.过点C 作AB CH ⊥于H .
∵22==BC AC ，O
ACB 90=∠ ∴422=+=
BC AC AB ∴22
1
==
=AB CH AH
图 2-1
F
M
E
D
C
B
A α
图 2-2
4
321
M
F
E
D
C
B
A
x DH -=2 ∴4)2(2222+-=+=x CH DH CD
又∵DM CM = O
CMD 90=∠
∴22
21CD CM
=
∴1)2(4
1
4121222+-===x CD CM S （20<<x ） (2)方法一：如图2-1.
把ACD ∆绕着点C 逆时针旋转O
90，点A 落在点B 处，点D 落在点F 处，连接MF 、EF . 则AD BF =， CF CD = ，ACD BCF ∠=∠ AD BF ⊥，
∵DE AD ⊥ O
EAD 45=∠ ∴DE AD = ∴DE BF = BF ∥DE
∴四边形DBFE 是平行四边形.
又∵MB EM = ∴点M 是平行四边形DBFE 的中心 ∴ 点D 、M 、F 在同一直线上.且MF DM = 又∵O
ACD DCB BCF DCB DCF 90=∠+∠=∠+∠=∠
∴O
CMD 90=∠， DM CM =
所以CDM ∆是等腰直角三角形
方法二：如图2-2. 延长DM 到F ，使得MF DM =，连接BF 、EF 、CF 、MF . 则四边形DBFE 是平行四边形.
∴DE BF = ∵DE AD ⊥ O
EAD 45=∠
∴DE AD = ∴AD BF = ∵213∠+∠=∠，O
AED 45=∠ ∴2145345∠+∠+=∠+=∠O
O
AEB 设ADE ∆绕点A 逆时针旋转角α=∠DAB 则α-=∠o 454，α+=∠O
EAB 45
∵245∠-=∠O ABE ，O
ABE EAB AEB 180=∠+∠+∠
∴O
O O O 180)245()45()2145(=∠-+++∠+∠+α ∴41∠=∠
又∵AC BC = ∴BCF ∆≌ACD ∆ ∴ACD BCF ∠=∠ ∴O
ACD DCB BCF DCB DCF 90=∠+∠=∠+∠=∠
∴O
CMD 90=∠， DM CM = 所以CDM ∆是等腰直角三角形
8.（1）连接AC 如图1.
∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=1200
∴∠ACB=∠ABC=∠CAB=∠ACN=600
'
B
D P
A
∴AC=AB 又∵∠MAN=600 ∴∠BAM=∠CAN=600
-∠MAN ∴△BAM ≌△CAN ∴AM=AN ∴△AMN 是等边三角形
(2) ∵△BAM ≌△CAN ∴BM=CN ∴CM+CN=BC=AB=4
∵四边形AMCN 的周长=AM+CM+CN+AN
∴四边形AMCN 的周长=2AM+4 ∴当AM 最小时，四边形AMCN 的周长最小
即 当AM ⊥BC ，α=300
时，四边形AMCN 的周长最小.
此时∵∠AMB=900，∠BAM=α=300
∴BM=2
1AB=2
∴ 322-4BM -AB AM 2222=== 四边形AMCN 的周长最小值为：434+
（3）DQ 3PQ =
理由：方法一:把△ABM 绕着点A 顺时针旋转， 使得点B 与点D 重合，点P 落在点'
P 处如图. 则BP=D '
P =2DQ ，∠'
P DA=∠PBA=∠ADQ=300
∴∠'
P DQ=600，连接'P Q ，记'
P D 的中点为T ， 连接TQ. 又∵TD=DQ=
'DP 2
1
∴△DTQ 是等边三角形
∴TQ=TD=T 'P ∴∠D 'P Q=∠'P QT=300
，
∵∠DQT=600 ∴∠DQ 'P =900
∴'P Q 22'2DQ -D P ==32DQ
∴DQ 3Q P '=
∵∠PAQ=600，∠BAD=1200
∴∠PAB+∠DAQ=600
∵∠'P AD=∠PAB ∴∠'P AQ=∠PAQ=600
又A '
P =AP ，AQ=AQ
∴△'P AQ ≌△PAQ ∴PQ='P Q ∴DQ 3PQ =
方法二：作点D 关于直线AN 的对称点'
D ，
连接'D Q 、P 'D 、A 'D ，取P '
D 的
中点T ，连接QT.则DQ ='D Q 、AD= A '
D .
证△'D AP ≌△BAP 得P '
D =BP ，其它步骤与
方法一类似。

9.解（1）如图2，∵OE ∥AC
图 3
M
O E D Q P
C
B
A
图 4
O
E
D Q P
C
B
A ∴BOE ∆∽BAC ∆，AOP ∆∽BAC ∆
∴
CA PO BC AP BA AO == 即6
55PO
x AO ==. ∴x AO =，x PO 5
6
=
（2）如图3，在等腰ABC ∆中，5==BC AB ，6=AC 则AC 边上的高为4.
所以12=∆ABC S .由AOP ∆∽BAC ∆ 得
2
)(BC
AP S S BAC AOP =∆∆ 即2)5(12x S AOP =∆
所以2
25
12x S AOP =
∆. 又∵AOP ∆与POQ ∆是同高三角形，
所以
x
x
AO OQ S S AOP
POQ 25-=
=
∆∆ 于是x x x x x S y POQ 512252425122522+-=⋅-=
=∆，2
5
0<<x （3）如图4，∵x AQ -=5，x BO BE -==5 ∴BO AQ = 又∵AP ∥BC ∴B PAQ ∠=∠ ∴PAQ ∆≌QBE ∆
∴QE PQ = ∴PQE ∆是等腰三角形 ∵PQE ∆与POQ ∆有一个公共的P ∠， 而且PEQ POQ ∠>∠
∴只存在PEQ POQ ∠=∠的情况。

当PQE ∆∽POQ ∆时，POQ ∆也是等腰三角形，OQ OP = ∴
x x 2556-=，解得：16
25
==x AP
10.（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，
∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ， ∴A HDQ ∠=∠，
∴△DHQ ∽△ABC ．
（2）①如图1，当5.20≤<x 时，
ED =x 410-，QH =x A AQ 4
3
tan =
∠， 此时x x x x y 4
15
2343)410(212+-=⨯-=．
当45=x 时，最大值3275
=y ．
②如图2，当55.2≤<x 时，
ED =104-x ，QH =x A AQ 4
3
tan =
∠， 此时x x x x y 4
15
2343)104(212-=⨯-=． 当5=x 时，最大值475=
y ． ∴y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+-=).
55.2(415
2
3),
5.20(415
2322x x x x x x y
y 的最大值是4
75
． （3）①如图1，当5.20≤<x 时，
若DE =DH ，∵DH =AH =x A QA 4
5
cos =∠， DE =x 410-，
∴x 410-=
x 45
，21
40=x ． 显然ED =EH ，HD =HE 不可能；
②如图2，当55.2≤<x 时， 若DE =DH ，104-x =
x 45
，11
40=x ； 若HD =HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，5=x ；
若ED =EH ，则△EDH ∽△HDA ，
∴AD DH DH ED =，x x x x 24
54
5104=
-，103320=x ． ∴当x 的值为103320,5,1140,2140时， △HDE 是等腰三角形.
图 1
3
2
1
G A(M)F
E
D
C
B
图 2H N
M F
E D
C
B A
11.解：（1）BN 与NE 的位置关系是NE BN ⊥；
2
2
=
BM CE . 证明：如图1，过点E 作AF EG ⊥于G , 则0
90=∠EGN ．
∵ 矩形ABCD 中, BC AB =，∴ 矩形ABCD 为正方形.
∴ CD AD AB ==,0
90=∠=∠=∠DCB ADC A ． ∴ EG //CD , A EGN ∠=∠, 0
90=∠CDF ．
∵ E 为CF 的中点，EG //CD ,
∴ CD DF DG GF 2121=== ∴ CD CE 2
1= ∵N 为MD (AD )的中点， ∴CD AD ND AN 2
1
21===
∴AN GE = ,AB AD DG ND NG ==+= . ∴ NGE ∆≌BAN ∆ ∴ 21∠=∠.
∵ 09032=∠+∠ ∴ 09031=∠+∠ ∴ 0
90=∠BNE ∴NE BN ⊥． ∵ 090=∠CDF , DF CD = ∴0
45=∠=∠FCD F
，
CF
CD
= .
于是 2
221=
===CD CF
CD CE BA CE BM CE . （2）在（1）中得到的两个结论均成立.
证明：如图2，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作CE EH ⊥，交CD 于点H ．
∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ AB ∥CG ∴ DGN MBN ∠=∠，GDN BMN ∠=∠ ∵ N 为MD 的中点 ∴ DN MN =
∴ BMN ∆≌GDN ∆ ∴DG MB = ，GN BN = ∵NE BN = ∴GN NE BN == ∴0
90=∠BEG
∵GE EH ⊥ ∴ 0
90=∠GEH ∴ CEH BEG ∠=∠
∴ GEH BEC ∠=∠
由（1）得0
45=∠DCF ∴ 0
45=∠=∠HCE CHE ．
∴EH EC = ，0
135=∠EHG
∵0
135=∠+∠=∠HCE DCB ECB ∴EHC ECB ∠=∠ ∴ ECB ∆≌EHG ∆． ∴ EG EB =， HG CB = ∵ NG BN = ∴ NE BN ⊥
图 2
∵CE CH HD CD HD BC HD HG DG BM 2==-=-=-==
∴
CE
BM
. （3）NE BN ⊥
；CE
BM
12. 解：（1）依题意，点P 既在ACB ∠的平分线上， 又在线段AB 的垂直平分线上.
如图1，作ACB ∠的平分线CD ，
作线段AB 的垂直平分线MN ，CD 与MN 的 交点即为所求的P 点。

ABP △是等腰直角三角形. 理由：过点P 分别作AC PE ⊥、CB PF ⊥， 垂足为E 、F 如图2.
∵PC 平分ACB ∠，AC PE ⊥、CB PF ⊥，垂足为E 、F ，∴PF PE =.
又∵ PB PA =，∴ APE ΔRt ≌BPF ΔRt . ∴ BPF APE ∠=∠.
∵︒=∠90PEC ，︒=∠90PFC ，︒=∠90ECF ， ∴︒=∠90EPF ， 从而︒=∠90APB . 又PB PA = ∴ ABP △是等腰直角三角形. （2）如图2，在PCE ΔRt 中，︒=∠90PEC ，
PB PA =，m PA =. ∴m AB 2=由APE ΔRt ≌BPF ΔRt ，PCE △≌PCF △， 可得BF AE =，CF CE =.
∴CE CF CE CB EA CE CB CA 2=+=++=+.
在PCE ΔRt 中，︒=∠90PEC ，︒=∠45PCE ，n PC =，
∴n PE CE 2
2
==. ∴n CE CB CA 22==+. 所以ABC △的周长为：n m CA BC AB 22+=++.
因为ABC △的面积=PAC △的面积+PBC △的面积PAB △-的面积
=PB PA PF BC PE AC ⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅212121=2
2
1)(21PA PE BC AC -⋅+
=
2222
1212122221m n m n n -=-⋅（m n >）. 或 []
)(2
1
)()(412122222m n BC AC BC AC BC AC S ABC -=+-+=⋅=
∆. （3）方法一：过点D 分别作AC DM ⊥、BC DN ⊥，垂足为M 、N 如图3.
图 4
N
D C
B
A G
图 5
D C
B
A
H
G
C
易得 CD CD DN DM 2
2
45sin =︒⋅==. 由DN ∥AC 得 AB
DB AC DN = ①；
由DM ∥BC 得
AB
AD
BC DM =
② ①+②，得
AB AD DB BC DM AC DN +=+，即 1=+BC
DM
AC DN .
∴ 1)(22=+BC
CD AC CD ， 即 2=+BC CD
AC CD .
方法二：（前面同法1）又 BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+= ，BC AC S ABC ⋅=
∆2
1
. ∴ CD BC AC DN BC DM AC S S BCD ACD 2
2
)(212121⋅+=⋅+⋅=
+∆∆ ∴
BC AC CD BC AC ⋅=⋅+2
1
22)(21. ∴
2)(=⋅+BC AC CD BC AC ，即 2=+BC
CD
AC CD .
方法三：过点D 作BC DN ⊥，垂足为N 如图4. 在CDN ΔRt 中，︒=∠45DCN ，CD CN DN 2
2
=
= 由DN ∥AC 得AB DB AC DN = ①； AB AD BC CN = ②
①+②，得
AB AD DB BC CN AC DN +=+，即 1=+BC
CN
AC DN .
∴
1)(22=+BC
CD AC CD ，即 2=+BC CD AC CD .
方法四：过点B 作BG ∥DC ，交射线AC 于点G 如图5.
易得 ︒=∠=∠=∠=∠45CBG BCD ACD G ，
CG BC BG 22==.
∵BG ∥DC ，∴
AC
AG
CD BG =
. ∴ AC
BC AC CD BC +=2，2)(=
⋅⋅+BC AC CD
BC AC .
K
图 7
D C
B
A
即 2=+BC
CD
AC CD . 方法五：过点A 作CB 的平行线，交射线CD 于点K 如图6.
得AC CK 2=，CD AC CD CK DK -=-=2，
又
AK DK
BC CD =， 即 AC CD AC BC CD -=
2， 所以 AC CD BC CD -=2，2=+BC
CD AC CD
方法六：分别过点A 、B 分别作CD 的平行线， 交射线BC 于点H ，交射线AC 于点G 如图7.
得AC AH 2=，BC BG 2=
又
AB AD BG CD =，AB BD
AH CD =
∴ 1=+BG CD AH CD ，
即122=+BC
CD AC CD ，2=+BC CD AC CD。