2015南京二模卷数学

2015届高三模拟考试试卷(一)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2015．5 参考公式：
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2
＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1
n
x i .
锥体的体积公式：V ＝1
3Sh ，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知复数z ＝2i
1－i
－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为________．
2. 经统计，某银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：
(第4题)
则该窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．
3. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，
则z ＝2x ＋y 的最大值是________．
4. 右图是一个算法流程图，则输出k 的值是________．
5. 如下图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)的茎叶图，则成绩较为稳定(方差较小)的运动员是________．
6. 记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合 B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．
7. 在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2
－y 2
3
＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l
与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．
8. 已知正六棱锥PABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为________．
9. 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________．
10. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝________．
11. 若将函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π
6(ω>0)的图象向左平移π9个单位后，所得图象对应的
函数为偶函数，则实数ω的最小值是________．
12. 已知x ，y 为正实数，则
4x 4x ＋y ＋y
x ＋y
的最大值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．
14. 已知a ，t 为正实数，函数f(x)＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t]，都有f(x)∈[－a ，a]．对每一个正实数a ，记t 的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA. (1) 求角A 的值；
(2) 求sinB ＋sinC 的取值范围．
在四棱锥PABCD 中，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ，E 为PA 的中点．求证： (1) BE ∥平面PCD ；
(2) 平面PAB ⊥平面PCD.
17. (本小题满分14分)
如图，摩天轮的半径OA 为50 m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240 m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60 m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ∈(0，π)．
(1) 当θ＝2π
3时，求点P 距地面的高度PQ ；
(2) 试确定θ的值，使得∠MPN 取得最大值．
在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m.
(1) 已知点⎝⎛
⎭
⎫
62，1在椭圆C 上，求实数m 的值；
(2) 已知定点A(－2，0)． ① 若椭圆C 上存在点T ，使得
TA
TF 1
＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围； ② 当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM 、BM 分别与椭圆C 交于另一点P 、Q ，若AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →
，求证：λ＋μ为定值．
已知函数f(x)＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g(x)＝lnx.
(1) 令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；
(2) 直线l 与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的非负实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由．
20. (本小题满分16分)
已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N *，都有(S m ＋n
＋S 1)2＝4a 2m a 2n .
(1) 求a 2
a 1
的值；
(2) 求证：{a n }为等比数列；
(3) 已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p(p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意的正整数k(1≤k ≤p)，c k ＝d k .
2015届高三模拟考试试卷(一)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，AB ，AC 是圆O 的切线，ADE 是圆O 的割线，求证：BE·CD ＝BD·CE.
B. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′：x
－y ＋2a ＝0.
(1) 求实数a 的值； (2) 求A 2.
C. (选修44：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π
4(ρ∈R )交于A ，B 两点，求以AB 为
直径的圆的极坐标方程．
D. (选修45：不等式选讲)
已知实数x ，y 满足x>y ，求证：2x ＋1
x 2－2xy ＋y 2
≥2y ＋3.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，BC ＝23
3，AB
＝1，BD ＝PA ＝2.
(1) 求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值； (2) 求二面角APDC 的余弦值．
23. 已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n}(n ≥3，n ∈N *)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f(n)．
(1) 求f(3)，f(4)；
(2) 求f(n)(用含n 的式子表示)．
2015届高三模拟考试试卷(一)(南京)
数学参考答案及评分标准
1. 5
2. 0.74
3. 4
4. 6
5. 甲
6. (－∞，－3]
7. 43
8. 12
9. 119 10. 9 11. 3
2
12. 4
3
13. ⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 14. (0，1)∪{2} 15. 解：(1) 因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，
即sin(A ＋C)＝2sinBcosA.
因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB.从而sinB ＝2sinBcosA.(4分) 因为sinB ≠0，所以cosA ＝1
2.因为0＜A ＜π，所以A ＝π
3.(7分)
(2) sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝⎛
⎭
⎫2π
3－B ＝sinB ＋sin 2π3cosB －cos 2π3sinB
＝32sinB ＋3
2cosB ＝3sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.(11分) 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6.
所以sinB ＋sinC 的取值范围为⎝⎛
⎦
⎤32，3.(14分)
16. 证明：(1) 取PD 的中点F ，连结EF ，CF. 因为E 为PA 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝1
2AD.
因为BC ∥AD ，BC ＝1
2
AD ，
所以EF ∥BC ，EF ＝BC.
所以四边形BCFE 为平行四边形． 所以BE ∥CF.(4分)
因为BE Ì平面PCD ，CF Ì平面PCD ， 所以BE ∥平面PCD.(6分)
(2) 因为AB ＝PB ，E 为PA 的中点，所以PA ⊥BE. 因为BE ∥CF ，所以PA ⊥CF.(9分)
因为PA ⊥PD ，PD Ì平面PCD ，CF Ì平面PCD ，PD ∩CF ＝F ， 所以PA ⊥平面PCD.(12分)
因为PA Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD.(14分) 17. 解：(1) 由题意，得PQ ＝50－50cos θ .
从而，当θ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π
3
＝75.
即点P 距地面的高度PQ 为75 m ．(4分)
(2) (方法1)由题意，得AQ ＝50sin θ ，从而MQ ＝60－50sin θ ，NQ ＝300－50sin θ . 又PQ ＝50－50cos θ ，
所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ
5－5cos θ .(6分)
从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ)＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ
1＋tan ∠NPQ ·tan ∠MPQ
＝6－sin θ1－cos θ－
6－5sin θ
5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ×
6－5sin θ5－5cos θ＝12（1－cos θ）23－18sin θ－5cos θ .(9分)
令g(θ)＝12（1－cos θ）
23－18sin θ－5cos θ ，θ ∈(0，π)，
则g′(θ)＝
12×18（sin θ＋cos θ－1）
（23－18sin θ－5cos θ）2
，θ ∈(0，π)．
由g′(θ)＝0，得sin θ ＋cos θ－1＝0，解得θ ＝π
2
.(11分)
当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(θ )＞0，g(θ )为增函数；当θ ∈⎝⎛⎭⎫π
2，π时，g ′(θ )＜0，g(θ)为减
函数，
所以，当θ ＝π
2时，g(θ )有极大值，也为最大值．
因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜
π2，所以0＜∠MPN ＜π2
， 从而当g(θ)＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值． 即当θ＝
π
2
时，∠MPN 取得最大值．(14分) (方法2)以点A 为坐标原点，AM 为x 轴建立平面直角坐标系，
则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M(60，0)，N(300，0)．
设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 20＋y 2
0－100y 0＝0. 从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0 .(6分)
从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ)＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ
1＋tan ∠NPQ ·tan ∠MPQ
＝300－x 0y 0－60－x 0
y 01＋300－x 0y 0×
60－x 0y 0
＝24y 0
10y 0－36x 0＋1 800 .
由题意知，x 0＝50sin θ ，y 0＝50－50cos θ ，所以tan ∠MPN ＝＝12（1－cos θ）
23－18sin θ－5cos θ .(9
分)
(下同方法1)
18. (1) 解：设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．
由题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧a 2c ＝m ＋1，
（m ＋1）－c ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2
＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1.
所以椭圆的方程为x 2m ＋1＋y 2
m
＝1.
因为椭圆C 过点⎝⎛
⎭
⎫
62，1，所以32（m ＋1）＋1m ＝1，解得m ＝2或m ＝－12 (舍去)． 所以m ＝2.(4分)
(2) ① 解：设点T(x ，y)． 由
TA
TF 1
＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2.(6分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2
＝2，x 2m ＋1＋y 2
m
＝1，得y 2＝m 2－m.因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2. 所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈⎣⎡⎦⎤33
，2
2.(10分)
② 证明：(方法1)设M(x 0，y 0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．则AM →＝(x 0＋2，y 0)，AP →
＝(x 1
＋2，y 1)．
由AM →＝λAP →
， 得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝λ（x 1＋2），y 0＝λy 1. 从而⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝λx 1＋2（λ－1），y 0＝λy 1.(12分)
因为x 202＋y 2
0＝1，所以[λx 1＋2（λ－1）]22＋(λy 1)2＝1.
即λ2
⎝⎛⎭
⎫
x 2
12＋y 21＋2λ(λ－1)x 1＋2(λ－1)2－1＝0. 因为 x 212＋y 21＝1，代入得2λ(λ－1)x 1＋3λ2
－4λ＋1＝0. 由题意知，λ≠1，故x 1＝－3λ－12λ，所以x 0＝λ－3
2
. 同理可得x 0＝－μ＋32
.(14分)
因此λ－32＝－μ＋32，所以λ＋μ＝6.(16分)
(方法2)设M(x 0，y 0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 直线AM 的方程为y ＝y 0
x 0＋2(x ＋2)．
将y ＝y 0x 0＋2
(x ＋2)代入x 22＋y 2
＝1，得
⎣⎡⎦
⎤12（x 0＋2）2＋y 20
x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0
＋2)2 ＝0(*)． 因为x 202
＋y 20＝1，所以(*)可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 2
0－4x 0＝0.
因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 0
2x 0＋3，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3.同理x 2＝3x 0－42x 0－3.(14分)
因为AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →
，
所以λ＋μ＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－2
3x 0－4
2x 0－3－2
＝
（x 0＋2）（2x 0＋3）x 0＋2＋（x 0－2）（2x 0－3）－x 0＋2
＝6.
即λ＋μ为定值6.(16分)
19. (1) 证明：由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 2－x ＋t ＋lnx ，得h′ (x)＝2x －1＋1
x ，x ＞0.
因为2x ＋1
x
≥2
2x·1
x
＝22，所以h′(x)＞0, 从而函数h(x)是增函数．(3分) (2) 解：记直线l 分别切f(x)，g(x)的图象于点(x 1，x 21－x 1＋t)，(x 2，lnx 2)，
由f′(x)＝2x －1，得l 的方程为y －(x 21－x 1＋t)＝(2x 1－1)(x －x 1)，即y ＝(2x 1－1)x －x 2
1＋t. 由g′(x)＝1x ，得l 的方程为y －lnx 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1
x 2·x ＋lnx 2－1.
所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1＝1x 2，
－x 21＋t ＝lnx 2－1.
(*)
消去x 1得lnx 2＋（1＋x 2）2
4x 22
－(t ＋1)＝0 (**)．(7分)
令F(x)＝lnx ＋（1＋x ）24x 2－(t ＋1)，则F′(x)＝1x －1＋x 2x 3＝2x 2
－x －12x 3＝（2x ＋1）（x －1）
2x 3
，
x ＞0.
由F′(x)＝0，解得x ＝1.
当0＜x ＜1时，F ′(x)＜0，当x ＞1时，F ′(x)＞0，
所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)min ＝F(1)＝－t.(9分) 当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解， 即存在唯一一条满足题意的直线；(11分)
当t ＞0时，F(1)＜0，由于F(e t ＋1)＞ln(e t ＋
1)－(t ＋1)＝0， 故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解；(13分)
令k(x)＝lnx ＋1x －1(x ≤1)，由于k′ (x)＝1x －1x 2＝x －1
x 2≤0，故k (x)在(0，1]上单调递减，
故当0＜x ＜1时，k (x)＞k (1)＝0，即lnx ＞1－1
x
，
从而lnx ＋（1＋x ）24x 2 －(t ＋1)＞⎝⎛⎭⎫12x －122
－t.
所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12（t ＋1）＞⎝⎛⎭⎫t ＋122－t ＝t ＋14＞0. 又0＜
1
2（t ＋1）
＜1，
故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．
所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解． 即存在两条满足题意的直线．
综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1； 当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2.(16分)
20. (1) 解：由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 2
2. 因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2
a 1
＝2.(3分)
(2) 证明：(方法1)令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4， 令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4. 所以a 4＝4a 2＝8a 1.
因为a 2
a 1
＝2，所以a 3＝4a 1.(6分)
由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4. 两式相除，得（S n ＋2＋S 1）2（S n ＋1＋S 1）2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1
S n ＋1＋S 1
＝a 4
a 2
＝2. 即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)，从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．
所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列．
因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2n －
1，n ∈N *.
显然，a n ＝a 1·2n －
1满足题设，
因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列．(10分) (方法2)在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中， 令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n .①
令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ，② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2.③
②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )，④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )，⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2.⑥ (8分)
⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1
a 2n ＝2.
又a 2a 1
＝2，从而a n ＝a 1·2n －
1，n ∈N *. 显然，a n ＝a 1·2n －
1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列．(10分)
(3) 证明：由(2)知，a n ＝a 1·2n －
1.
因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －
1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p . 若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，
则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －
1－1)＝a 1＞0.
R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －
1－1)＝－a 1＜0. 这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p . 从而T p －1＝R p －1.
由上证明，同理可得c p －1＝d p －1.如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3.…，c 1＝d 1. 即对任意正整数k(1≤k ≤p)，c k ＝d k .(16分)
2015届高三模拟考试试卷(一)(南京) 数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 证明：因为AB 是圆O 的切线，所以∠ABD ＝∠AEB. 因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△BAD ∽△EAB. 所以BD BE ＝AB
AE .(5分)
同理，CD CE ＝AC AE
.
因为AB ，AC 是圆O 的切线，所以AB ＝AC. 因此BD BE ＝CD
CE
，即BE· CD ＝BD· CE.(10分)
B. 解：(1) 设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l′上点M(x ，y)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0.(3分) 代入l′方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0，即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0. 因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a
a －1
＝4，解得a ＝2.(6分) (2) 由A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2112，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5445.(10分)
C. 解： 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得
圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 直线l 的直角坐标方程为y ＝x.(4分)
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或 ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以A(0，0)，B(2，2)． 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y.(7分) 将其化为极坐标方程为ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(10分) D. 证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而 左边＝(x －y)＋(x －y)＋
1（x －y ）2
＋2y ≥33（x －y ）×（x －y ）×1
（x －y ）2
＋2y ＝2y ＋3＝右边．
即原不等式成立．(10分)
22. 解：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，
所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又AD ⊥AB ，
故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD ＝ 3.
所以B(1，0，0)，D(0，3，0)，C ⎝⎛⎭⎫
1，233，0，P(0，0，2).
从而BD →＝(－1，3，0)，PC →＝⎝⎛⎭⎫1，233，－2.(3分) 设异面直线BD ，PC 所成角为θ ， 则cos θ＝|cos 〈BD →，PC →
〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD →·PC →|BD →|·
|PC →|
＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪（－1，
3，0）·
⎝
⎛⎭
⎫1，233，－22×
193
＝57
38. 即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为
57
38
.(5分) (2) 因为AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为 AB →
＝(1，0，0). 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z),
由n ⊥PC →，n ⊥PD →，PC →＝⎝⎛⎭⎫1，233，－2，PD →＝(0，3，－2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，
3y －2z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2
3z ，y ＝233z.
不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)．(8分)
设二面角APDC 的大小为φ，
则cos φ＝cos 〈AB →
，n 〉＝AB →
·n |AB →|×|n |＝（1，0，0）·（2，23，3）1×5
＝25.
即二面角APDC 的余弦值为2
5.(10分)
23. 解：(1) f(3)＝1，f(4)＝2.(2分) (2) 设A 0＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫m ⎪
⎪m ＝3p ，p ∈N *，p ≤n 3，
A 1＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
m ⎪⎪m ＝3p －1，p ∈N *，p ≤
n ＋13， A 2＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
m ⎪
⎪m ＝3p －2，p ∈N *，p ≤
n ＋23， 它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣.(4分) ① 当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k.
k ＝1，2时，f(n)＝(C 1k )3＝k 3
； k ≥3时，f(n)＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k. 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋1
3
n ，n ＝3k ，k ∈N *.(6分)
② 当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k.
k ＝2时，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4；
k ＝3时，f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20；
k ＞3时，f(n)＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1(C 1k )2＝32k 3－3k 2
＋52k －1； 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n －4
9，n ＝3k －1，k ∈N *.(8分)
③ 当n ＝3k －2时，∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝k －1，∣A 2∣＝k.
k ＝2时，f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2； k ＝3时，f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13；
k ＞3时，f(n)＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2C 1k ＝32k 3
－92k 2＋5k －2； 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n －2
9
，n ＝3k －2，k ∈N *.
所以f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧118n 3－16n 2＋1
3
n ，n ＝3k ，k ∈N *，118n 3
－16n 2
＋13n －4
9，n ＝3k －1，k ∈N *
，118n 3
－16n 2
＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N *
.
(10分)。