2019届河南省洛阳市高三第一次统一考试数学(文)试题(解析版)

2019届河南省洛阳市高三第一次统一考试数学（文）试题
一、单选题
1．设集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】计算得到集合的元素，根据集合并集的概念得到结果.
【详解】
集合,，则，
故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了集合的并集的概念以及运算，题目很基础.
2．若复数为纯虚数，且（其中），则（）
A．B．C．2 D．
【答案】A
【解析】根据复数的除法运算得到z,由纯虚数的概念得到参数值，进而求得模长.
【详解】
复数为纯虚数,,,根据题干得到
.=
故答案为：A.
【点睛】
这个题目考查了复数的除法运算，以及复数的模的计算，也考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．
3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶
16,30图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[)内的人数为（）
A ．100
B ．160
C ．200
D ．280 【答案】B
【解析】由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×
8
20
＝160． 4．已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）
A ．5
B ．6
C ．9
D ．10 【答案】C
【解析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m ． 【详解】
将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m ﹣3＞11﹣m>0，即11>m ＞4，焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4，解得m ＝9. 故选：C ． 【点评】
本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系明了．
5．已知()()(]()
3,,1{
,1,x
a x x f x a x -∈-∞=∈+∞是R
上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．()1,3 C ．()1,+∞ D ．3,32
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】已知()()(]()
3,,1{ ,1,x
a x x f x a x -∈-∞=∈+∞是R
上的增函数，则1
{30 3a a a a
>->-≤ ，则3
32
a ≤<，选D. 6．在平行四边形
中，
与
相交于点，是线段的中点，
的延长线与
交
于点，若，，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF 与FC 之比，做FG 平行BD 交AC 于点G ，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果． 【详解】
作FG 平行BD 交AC 于点G ， ∵由题意可得△DEF ∽△BEA ，
∴ ，再由AB ＝CD 可得，
∴
∴
∴
∵
∴
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的，本题属于中档题．
7．函数()22sin f x x x =-,(02
x π
≤≤
)则函数()f x 的最小值为( )
A ．1
B
C ．2-
D ．【答案】C
【解析】整理函数的解析式有：
()1cos2
2cos212sin 2126x f x x x x x π-⎛
⎫=-⨯=+-=+- ⎪⎝
⎭， 70,22
6
6
6
x x π
π
π
π
≤≤
∴
≤+
≤
， 结合三角函数的性质可得，当726
6x π
π+=
时，函数取得最小值： 72sin
126
π
-=-. 本题选择C 选项.
点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求几何体外接球的半径和体积. 详解：由题得几何体原图为四棱锥P-ABCD,底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA ⊥底面ABCD,PA=2.
把几何体放在边长为2的正方体中，P,A,B,C,D 恰好是正方体的五个顶点， 所以正方体的外接球和四棱锥的外接球是同一个球，
所以四棱锥的外接球半径为
所以几何体外接球的体积为故答案为: B
点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体外接球体积的计算，意在考查学生对这些知识
的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的有直接法和模型法，本题选择的是模型法，简洁明了.
9．正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．
【详解】
连结A1C，AC，B1C，D1C，
分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．
由中位线定理可得PE平行且等于A1C，QF平行且等于A1C，RG平行且等于A1C．
又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．
∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题．10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，直径的一个近
似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：由V=，解得d=,设选项中的常数为，则π=; 选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；
选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857
由于D的值最接近π的真实值;
故选：D．
【考点】进行简单的演绎推理．
11．在中，已知，，则为（）A．等腰直角三角形B．等边三角形
C．锐角非等边三角形D．钝角三角形
【答案】A
【解析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cos C的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．
【详解】
将已知等式2a cos B＝c，利用正弦定理化简得：2sin A cos B＝sin C，
∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，
∴2sin A cos B＝sin A cos B+cos A sin B，即sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，
已知第二个等式变形得：sin A sin B（2﹣cos C）＝（1﹣cos C）+＝1﹣cos C，
﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cos C）＝1﹣cos C，
∴﹣（﹣cos C﹣1）（2﹣cos C）＝1﹣cos C，
即（cos C+1）（2﹣cos C）＝2﹣cos C，
整理得：cos2C﹣2cos C＝0，即cos C（cos C﹣2）＝0，
∴cos C ＝0或cos C ＝2（舍去）， ∴C ＝90°，
则△ABC 为等腰直角三角形． 故选：A ． 【点睛】
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 12．已知函数()()2
3,3{
3,3
x x f x x x -≤=-->，函数()()3g x b f x =--，其中b R ∈，若
函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．11,4⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭ B ．113,4⎛⎫-- ⎪⎝
⎭ C ．11,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．()3,0-
【答案】B
【解析】分析：构造新函数()()()3F x f x f x =+-，画出函数()F x 的图象与y b =有四个交点，即可求得实数b 的取值范围.
详解：由题意得，令()()()()30y f x g x f x f x b =-=+--=，即
()()3
f x f x b +-=
， 构造函数()()()223,0
3{3,03 715,3
x x x F x f x f x x x x x ---<=+-=-≤≤-+->，
画出函数()F x 的图象如图所示，其中,A B 的坐标分别为111711,,,2424⎛⎫⎛⎫--
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故当113,4b ⎛⎫
∈--
⎪⎝⎭
时，与y b =有四个交点，故选B.
点睛：本小题主要考查分段函数的图象与性质,考查零点问题的求解方法，题目所给函
数()f x 是一个分段函数，那么函数()3f x -也是一个分段函数，所以两个结合起来，将函数分成三个部分，将三段函数解析式求解出来后画出图象，即可得到b 的范围，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想方法的应用.
二、填空题 13．已知向量，
，若
，则实数
__________．
【答案】-2
【解析】根据向量的坐标运算得到（1+t,1）,
,再由向量平行的坐标
表示得到结果. 【详解】 向量
，
，
（1+t,1）,
,根据
得到：（1+t ）
=1-t 解得t=-2. 故答案为：-2. 【点睛】
这个题目考查了向量的坐标表示，以及向量的坐标运算，和向量平行的坐标运算，题目较为基础.
14．已知，则__________．
【答案】
【解析】根据正切的两角和公式展开得到，再将原式上下同除角的余弦值得到
正切的式子，再代入即可. 【详解】
已知,展开得到，
则=
故答案为：.
【点睛】
这个题目考查了三角函数的化简求值，应用到了弦切互化的公式，三角函数求值与化简
必会的三种方法：(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,a sin2x+b sin x cos x+c cos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换
法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.
15．已知点，又是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则
的最小值为__________．
【答案】9
【解析】试题分析：不妨设双曲线的右焦点为，则根据双曲线的定义知
，如图所示，根据三角形性质得
，当点在于双曲线的交点上时等号成立．
【考点】1、双曲线的定义；2、三角形性质．
【思路点睛】对于本题的解题思路，关键是要灵活的理解和运用双曲线的定义及性质，
把点到点及点的距离之和转化成点到点及点的距离之和的形式，即，这样就把问题转化成了三角形两边之和最小值的问题，在根据三角形的性质就能够解题．
16．已知函数，且，则当时，的取值范围是__________．
【答案】
【解析】试题分析：∵，∴f（x）是奇函数，
∵，∴，由
，∴函数单调递增．
∴，即，∴，
∵，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．设则
，即．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离
，即，解得．此时直线斜率最大．当直线kx-y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k-1+k=0，即4k=1，解得，
∴．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
三、解答题
17．在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列
的前项和.
（1）求；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）或；（2）55.
【解析】(1)根据题意将式子化为首项和公差的表达式，进行求解即可得到通项；（2）根据d<0得到数列通项，由等差数列求和公式得到前n项和，配方可得到最值.
【详解】
（1）由题意得：，
∵，
∴，
化简得，解得：或，
∴或.
（2）∵，∴，，
,
∴等于10或11时，取得最大值55.
【点睛】
这个题目考查了等差数列通项公式的求法，以及等差数列前n项和公式，求等差数列通项公式关键是求出首项和公差，数列求和根据公式计算即可，常见的数列求和方法有：错位相减，倒序相加，累加，累乘等方法.
18．通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：
（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；（2）根据以上列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？
下面的临界值表供参考：
参考公式：，其中.
【答案】ⅠⅡ见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅱ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值表得出结论．
解析：
Ⅰ根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A、B、C，
不挑同桌有2人，记为d、e；
从这5人中随机选取3人，基本事件为
共10种；
这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为
，共7种；
故所求的概率为；
Ⅱ根据以上列联表，计算观测值
，
对照临界值表知，有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．19．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.
（1）设是上一点，求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）3
【解析】试题分析：（1）推导出⊥平面，由此能证明平面⊥平面．（2）取中点为，则是四棱锥的高，由此能求出四棱锥的体积．
试题解析：
（1）在三角形中由勾股定理，
又平面平面，平面平面
所以平面
又平面.
所以平面平面.
（2）取中点为，则是四棱锥的高，底面的面积是三角形面积的
，即，所以四棱锥的体积为
20．已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切.
（1）求抛物线的方程；
（2）点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明解析.
【解析】(1)根据圆和抛物线的位置关系，以及圆和准线相切这一条件得到方程，
，从而得到结果；（2）求出两条切线方程，再抽出方程，其两根为切
点的横坐标，,通过韦达定理得到结果即可.【详解】
（1）∵圆与抛物线准线相切，
∴.
又圆过和原点，
∴.
∴，解得.
∴抛物线的方程为.
（2）设，，方程为.
∴，
∴抛物线在点处的切线的斜率，
∴切线的方程为，
即，
化简得：，
又因过点，故可得，
即.
同理可得：.
∴为方程的两根，
∴，.
∴
∴.
【点睛】
本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查了方程思想、转化思想，考查了运算能力，属于难题．
21．已知函数.
（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；
（2）若，求证：当时，的图像恒在轴上方.
【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据导数的几何意义得到，求解即可；（2）的图像恒在
轴上方，即>0恒成立，分两种情况当时，当时，讨论函数的单调性，求得函数的最值，是的最小值大于0即可.
【详解】
（1），
∴，
∴.
（2），
令，，
（ⅰ）当时，，单调递增，，
单调递增，，满足题意.
（ⅱ）当时，，解得.
当，，单调递减；
当，，单调递增，
此时，
∵，，即，
∴单调递增，，满足题意.
综上可得：当且时，的图象恒在轴上方.
【点睛】
这个题目考查了导数的几何意义，以及函数的恒成立问题，解决恒成立的问题常见方法：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数
不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立
；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，
的公共点为.
（Ⅰ）求直线的斜率；
（Ⅱ）若点分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；
（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线CD（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线CD的距离，则四边形ACBD的面积可求．
【详解】
（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2y=0． (1)
将曲线C2：ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0． (2)
由（1）﹣（2）化简得y=2x，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为2；
（Ⅱ）由C1：x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，
由C2：x2+y2﹣4x=0知曲线C2：是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆．
∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，
∴当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线CD上，
∴直线CD（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．
∵O到直线CD的距离为，即|AB|=
又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+，
∴四边形ACBD的面积．
【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
23．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（I）当，不等式为，分类讨论，即可求解不等式的解集.
（II）由题意的解集包含，转化为当时，
恒成立，即，再利用绝对值的定义，即可求解.【详解】
解：（I）当时，，
由解得，综合得；
当时，，
由解得，综合得；
当时，，
由解得，综合得.
所以的解集是.
（II）∵的解集包含，
∴当时，恒成立
原式可变为，即，
∴即在上恒成立，
显然当时，取得最小值10，
即的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．同时注意绝对值不等式有时与函数以及不等式恒成立等知识点相互交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。