高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
1.以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线与椭圆有相同的焦点；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．
其中真命题的序号为 _________．
【答案】②③
【解析】①中没有规定k的范围，所以动点P的轨迹不一定是椭圆；②正确；③也正确，因为该方程的两个根一个大于1，一个大于零小于1；根据双曲线的第二定义可知④不正确.
【考点】本小题主要考查圆锥曲线的定义的应用，考查学生的推理能力和运算求解能力.
点评：圆锥曲线的定义中都有一些限制条件，解题时要特别注意.
2. F
1、F
2
是定点，|F
1
F
2
|=6，动点M满足|MF
1
|+|MF
2
|=6，则点M的轨迹是（）
A．椭圆B．直线C．线段D．圆
【答案】C
【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。

解：因为|MF
1|+|MF
2
|=6=|F
1
F
2
|，所以点M的轨迹是线段，故选C。

3.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质。

解：椭圆焦点在x轴，排除A,B。

将分别代入C,D方程中知选D。

4.过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x
1, y
1
) ，B(x
2
, y
2
)两点，如果x
1
+ x
2
=6，那么
|AB|= （）
A．8B．10C．6D．4
【答案】A
【解析】由抛物线的焦半径公式得=，故选A。

【考点】本题主要考查抛物线的焦半径表达式应用。

点评：基础题，关键是记熟抛物线的焦半径公式。

5.过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【解析】因为点M（2，4）在抛物线y 2=8x上，所以应考虑两种情况，一是过点M与抛物线相切的直线；二是过点M平行于轴的直线，共有两条，故选C。

【考点】本题主要考查直线与抛物线的位置关系。

点评：解答此题，关键是注意分类讨论。

6.抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为
【答案】
【解析】因为抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，所以抛物线的焦点为
（），顶点为（0,0），开口向左，且，所以抛物线方程为。

【考点】本题主要考查椭圆及抛物线的标准方程、几何性质。

点评：小题综合化的典范，不难，但考查知识点全面。

7.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）
【答案】
【解析】设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，
【考点】本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质，考查抛物线标准方程求法---待定系数法。

点评：本题突出考查了抛物线的标准方程、几何性质，，通过布列方程组，运用待定系数法，使
问题得解。

8.椭圆M: 左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且最大值取
值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设为点P的横坐标，则，
， (-a≤≤a)
所以取值范围是[],
而最大值取值范围是，所以
于是得到，
故椭圆的离心率的取值范围是，选B。

【考点】主要考查椭圆的几何性质及不等式性质。

点评：解答中灵活运用了椭圆的焦半径公式，从已知出发，建立了关于的不等式，达到解题目的。

9.椭圆上一点到两个焦点的距离分别为6.5，3.5则椭圆的方程
为 .
【答案】
【解析】依题意，设焦点坐标为(－c,0)， (c,0) （c>0）
因为|P| = 6.5， |P| =3.5，由椭圆定义得 2a =|P| + |P| = 10， a=5；
，---- (1)
， ---- (2)
(1)－(2) 得：12c =" 30" ，c = ；
因此=
故椭圆方程为。

【考点】主要考查椭圆的标准方程及几何性质。

点评：利用椭圆定义求得a的值，再利用方程思想建立c的方程，要求学生熟悉定义，运算灵活。

10.若且，则的最大值为 __ _ ，最小值为 ___ .
【答案】3，2
【解析】利用数形结合思想。

表示椭圆上的点到原点距离的平方，最大值为=3，最小值
为=2.
【考点】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质。

点评：利用数形结合思想，结合椭圆的几何性质是解题的关键。

11.（12分）设椭圆,F是它的左焦点，Q是右准线与x轴的交点，点
满足向量与PQ数量积为0，N是直线PQ与椭圆的一个公共点，当时，求椭圆
的方程.
【答案】
【解析】由方程，F（-c,0），Q(,0) ， P(0,3) 向量=(-c,-3)，
=(,-3)，因为=0
所以-c·+（-3）×（-3）=0，=9；
设N（x,y）,因为|PN|:|NQ|=1:8
所以|NQ|=8|PN|，，
，又，三个方程消去可得=1，所以=8，所求椭圆方程为。

【考点】考查了椭圆的标准方程、几何性质、向量的数量积。

点评：本题综合性较强，较好地考查了考生的运算能力
12.（12分）设,是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P, ,是一个直角三
角形的三个顶点且,求的值.
【答案】
【解析】由已知，=6，=，
若为直角，则由可得，=，此时，=；
若为直角，则由可得，=2，此时，=2；综上知的
值为。

【考点】主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。

点评：注意P, ,是一个直角三角形的三个顶点，并没明确那个顶点是直角顶点，因此，要注意分类讨论。

13.（12分）设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率，已知到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P距离为的点Q坐标.
【答案】
【解析】设所求椭圆的方程为 (a>b>0)
由= = ，得= ，。

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
=
如果b<，,则当y=－b时,取得最大值。

由=7解得
b=－>与b<矛盾。

故b≥。

当y=－时,取得最大值，由解得b="1,a=2"
所求椭圆方程为，由y=－可求得到点的距离等于的坐标为。

【考点】主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及二次函数的图象和性质。

点评：首先从已知条件出发，建立关于距离的二次函数式，利用二次函数的图象和性质，明确距离取到最值的条件。

运用函数方程思想解题，是高考考查的重点之一。

14.（12分）在面积为1的中，,,以MN所在直线为x轴，MN中点为原点建系，求出以M,N为焦点且过P点的椭圆方程.
【答案】
【解析】以MN所在直线为x轴，MN中点为原点建系，M,N关于原点对称
，由解得，因为是锐角，所以。

根据焦点三角形面积公式 b²=1得b²=3。

设三角形高为h，则，
将数据代入得h²=，又，所以c²=，a²=b²+c²=
故过P点的椭圆方程为。

【考点】主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，考查求椭圆方程的基本方法。

和其它知识综合考查，是此类解答题的特点之一。

点评：考生应注意充分利用图形特征，特别是图形的对称性，本题中明确了建系方法，降低了难度。

应学会充分利用图形特征，建立适当坐标系。

解答中一个面积，三种表述，充分体现多角度解答问题的灵活性。

15.动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为动点与点与点满足，且,所以轨迹为焦点在y 轴的双曲线的一支（下支），故选D。

【考点】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程。

点评：准确二全面的理解定义是解答本题的关键，属基础题。

16.过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先确定双曲线y2-x2=1的两条渐近线方程，再根据过原点的直线l与双曲线y2-x2=1有两个交点，可确定直线l的斜率的取值范围．
双曲线的渐近线方程为，向量分别为1，－1。

结合图形可知，要使过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率应该满足或，故选B。

【考点】本题主要考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系。

点评：求出双曲线的渐近线方程是解题的关键，注意数形结合有助于直观理解。

17.定长为l (l>)的线段AB的端点在双曲线b2x2－a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为
【答案】；
【解析】主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系。

当AB过右焦点时，M的横坐标最小.经计算最小值为。

思路拓展：考虑“极端（极限）位置”，化难为易。

18.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方
程是（）
A．y 2=-2x B．y 2=-4x
C．y 2=2x D．y 2=-4x或y 2=-36x
【答案】B
【解析】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，所以可设抛物线方程为，其焦点为（），准线为，那么由抛物线定义知（-5，m）到焦点距离是6，即（-5，m）到准线距离是6，所以+5=6，=2，y 2=-4x，故选B。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。

点评：明确抛物线的焦点、准线，将“抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6”转化为“（-5，m）到
准线距离是6”是简化解题过程的关键。

19.过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x
1, y
1
) ，B(x
2
, y
2
)两点，如果x
1
+ x
2
=6，那么
|AB|= （）
A．8B．10C．6D．4
【答案】A
【解析】由抛物线的焦半径公式得=，故选A。

【考点】本题主要考查抛物线的焦半径表达式应用。

点评：基础题，关键是记熟抛物线的焦半径公式。

20.抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．
【答案】（）
【解析】设弦方程为，代入抛物线方程整理得，判别式。

由韦达定理得弦中点为（），所以为常数，由知。

【考点】本题主要考查直线与抛物线的位置关系。

点评：解法中巧妙地利用根与系数的关系，确定得到中点坐标，明确了弦中点的轨迹方程，本题易错漏掉这一限制条件。

21.抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为
【答案】
【解析】因为抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，所以抛物线的焦点为
（），顶点为（0,0），开口向左，且，所以抛物线方程为。

【考点】本题主要考查椭圆及抛物线的标准方程、几何性质。

点评：小题综合化的典范，不难，但考查知识点全面。

22.若且，则的最大值为 __ _ ，最小值为 ___ .
【答案】3，2
【解析】利用数形结合思想。

表示椭圆上的点到原点距离的平方，最大值为=3，最小值为=2.
【考点】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质。

点评：利用数形结合思想，结合椭圆的几何性质是解题的关键。

23.（12分）设椭圆,F是它的左焦点，Q是右准线与x轴的交点，点
满足向量与PQ数量积为0，N是直线PQ与椭圆的一个公共点，当时，求椭圆的方程.
【答案】
【解析】由方程，F（-c,0），Q(,0) ， P(0,3) 向量=(-c,-3)，
=(,-3)，因为=0
所以-c·+（-3）×（-3）=0，=9；
设N（x,y）,因为|PN|:|NQ|=1:8
所以|NQ|=8|PN|，，
，又，三个方程消去可得=1，所以=8，所求椭圆方程为。

【考点】考查了椭圆的标准方程、几何性质、向量的数量积。

点评：本题综合性较强，较好地考查了考生的运算能力
24.（12分）如图，AB是过椭圆左焦点F的一条弦,C是椭圆的右焦点，已知,
,求椭圆方程.
【答案】
【解析】因为,，所以由勾股定理得|BC|=，由椭圆定义
，所以。

在直角三角形AFC中，AF=-AC=，所以FC=2c=2。

=6，=-=
故所求椭圆方程为。

【考点】主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。

点评：本题借助勾股定理结合椭圆定义，巧妙的求得，达到解题目的。

25.（12分）在面积为1的中，,,以MN所在直线为x轴，MN中点为原点建系，求出以M,N为焦点且过P点的椭圆方程.
【答案】
【解析】以MN所在直线为x轴，MN中点为原点建系，M,N关于原点对称
，由解得，因为是锐角，所以。

根据焦点三角形面积公式 b²=1得b²=3。

设三角形高为h，则，
将数据代入得h²=，又，所以c²=，a²=b²+c²=
故过P点的椭圆方程为。

【考点】主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，考查求椭圆方程的基本方法。

和其它知识综合考查，是此类解答题的特点之一。

点评：考生应注意充分利用图形特征，特别是图形的对称性，本题中明确了建系方法，降低了难度。

应学会充分利用图形特征，建立适当坐标系。

解答中一个面积，三种表述，充分体现多角度解答问题的灵活性。

26.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为．
【答案】
【解析】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以= ，其离心率
=。

【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，考查了直线倾斜角的概念、三角函数同角公式。

点评：题目虽小，但考查知识全面，不但考查了双曲线的标准方程及几何性质，而且考查了直线倾斜角的概念、三角函数同角公式，是一道不错的小综合题。

27.若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个
交点，则的值为．
【答案】
【解析】因为椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，所以由椭圆、双曲线定义得到，= ，两式两边分别平方并相减得。

【考点】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆与双曲线的定义。

点评：解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，根据椭圆和双曲线的定义，
，= ，两式两边分别平方并相减得整理得到结论。

28.（12分）已知抛物线的弦AB与直线y=1有公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离
为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程．
【答案】
【解析】主要考查直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力。

解：设、，中点
当AB直线的倾斜角90°时，AB直线方程是（2分）
当AB直线的倾斜角不为90°时，相减得
所以（4分）
设AB直线方程为：，由于弦AB与直线y=1有公共点，故当y=1时，
所以，
故
故当。

思路拓展：建立关于的函数关系式，是解答此题的关键。

巧妙利用“弦长公式”及均值定理，达到解题目的。

29.已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离
是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】主要考查椭圆的第二定义、椭圆的几何性质。

解：椭圆的右准线方程为，左准线方程为，离心率为，设P横坐标为x，则，x=4，所以P到左准线距离为4＋=，由椭圆的第二定义，点
到左焦点的距离是×=，故选B。

30.若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质。

解:a=,b=1,c=1由椭圆的定义得，=2，由勾股定理得,所以（，，故的面积是1，选B。