专题08 切线的判定与性质-2017年中考数学母题题源系列(第03篇)(解析版)
中考真题;切线的判定与性质(答案详解)
中考复习：切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）EM ＝FM 。
：【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
》【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
<（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
•例1图321MFOEDCB A例2图 EO D C B A •例3图321OD C BA探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。
（1）求∠G 的余弦值；!（2）求AE 的长。
【问题二】如图，已知△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。
,（1）求∠POQ ；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。
(|•问题一图 G F E O DCB A 问题二图NQ P EO DC BA答案精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
切线性质及判定未改完
切线的性质及判定1．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．证明一条直线是圆的切线有3种方法：（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）切线的判定定理：（1）如果直线和圆有交点：连结圆心与公共点，证垂直；（2）如果直线和圆没有交点：过圆心作垂直，证明垂线与半径相等证明圆的切线的两种类型类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”1．如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切.2. (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC.(1)求BC的长；(2)求证：PB是⊙O的切线.3. (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.4. (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.(1)证明：DE为⊙O的切线；(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.5．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；6．△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE．（1）求证：DE与圆O相切；类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线1．如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.2．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.求证：CD与⊙O相切.3. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3.（1）求证：AC是⊙D的切线;（2）求线段AC的长.圆的切线及判定针对性练习1．已知⊙O的半径为8cm，如一条直线和圆心O的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相离2．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）A．B．C．cm D（1）（2）（3）3．如图2，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，•2cm•为半径作⊙M，•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．4．已知：如图3，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）．5．如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC•交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．（4）（5）6．如图5，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O•的切线AD，BA⊥DA于A，BA交半圆于E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是________．7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x 轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为______．8．（2005年山西省）如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动．当⊙O 移动到与AC边相切时，OA的长为多少？9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，判定△DEF的形状（按角分类），并说明理由．能力提升：10．如图，直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．试探求：（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？•并说明理由．（2）当AD不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗？•为什么？①②11．如图，⊙O的直径AB=6cm，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交AB•的延长线于点C．求：（1）∠ADC的度数；（2）AC的长．12．在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10．（1）如图1，AB与⊙O相切于点C，试求OA的值；（2）如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点，试求tanA的值．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB•于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．形的内切圆半径与三边关系（1）（2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-2.切线长定理及切线性质的应用【例1】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点O 在BC 上，以O 为圆心的O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB a =，AC b =，则O 的半径为（）AB 、a b ab +C 、ab a b +D 、2a b+【例2】 如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的O 相切于点E ，9AB =，4CD =，OF ED C BACBA CBAcbacbaCFBA则四边形ABCD 的面积为。
数学复习课件：切线的性质和判定(共18张PPT)
直击中考
A
A
A
A
考点巩固
例1 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直, 垂足为D. 求证:AC平分∠DAB.
证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
思想方法归纳： ∴OC ⊥CD.
又∵AD⊥CD,
D C 1 A 2 O B 3
连半径， ∴OC//AD. ∴ ∠1=得垂直 ∠3. ∵OC=OA. ∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=∠2. ∴ AC平分∠DAB.
切线的判定考点梳理：
3、圆的切线的判定：经过 半径的 外端，并 且垂直于这条 半径 的直线是圆的切线。
切线需满足两条： ①经过半径外端. ②垂直于这条半径．
注意:定理中的两个条件缺 一不可．
考点训练
下列说法中,正确的是( D ) A. 垂直于半径的直线是的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线 是圆的切线
证明切线时如何作辅助线？
Ｏ
D A O E
B
Ａ
Ｂ
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点 和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂 直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O O O O
考点巩固
例2、(例1变式 )如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O
上点,若∠ BAC= ∠CAM, 过C点作直线垂直于射线 AM,垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙ O的位置关系，并说明理由； 思想方法归纳：
证明: 连结OC
∵OA=OC， ∴∠2=∠3
切线的性质定理和判定定理
A
D
第8页，此课件共19页哦
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端点,并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线.
B
如图 ∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A点,
且CD⊥OA,
●O
∴ CD是⊙O的切线.
C
A
D
切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据 ;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.
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y(km)
600
D
500
400
300
200
A
30°
P
B C
100
0 100 200 300 400 500 600 700
X(km)
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2.如图,OP是⊙O的半 径,∠POT=60°,
OT交⊙O于S点.
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判断 S是不是OQ的中点,并说明理由.
关于切线的性质定理和判定定 理
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直线与圆的位置关系量化揭密
r ●O ┐d
相交
• 直线和圆相交
直线和圆相切 直线和圆相离
r ●O
d ┐ 相切
d < r;
d = r;
d > r;
r ●O
d
┐ 相离
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切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径.
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
T
Q
S
O
P
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３.证明题：
如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC.
中考数学切线的性质
不记得哪年哪月，我去樊老师房里，问他时间，他指一下单车。我不明白他的意思。他笑着说手表变单车了。我还是没反应过来。他说他手表和单车只能有一样。他跟我们班的朱乐惠同学谈恋爱了， 从学校到小富丈母娘家往返四五十里路，单车的重要性远超手表了。
2015年5月中，我提议去湘潭看望樊老师和同学师母，戴方桥同意，说通知戴秋明和十四班戴爱平，一起开车去湘潭。八十高龄的樊老师我们差点不敢认了。朱乐惠倒是变化不大，不显老。这对师 生夫妻，如今买奔弛宝马不再话下了。唉，我们都是先苦后甜，很好的。
附图1：宽敞的操坪
附图2：气派的天井
附图3：古雅的窗户
பைடு நூலகம்
切线的判定与性质
B，两切线相交于点P,若∠P=420，求
∠ACB的度数。
A
A
mO
C
C
m
P
O
C
P
B
B
‘
切线的判定与性质
1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
注：已知切线、切点，
则连接半径，应用切线
的性质定理得到垂直关
系，从而应用勾股定理
计算。
切线的判定与性质
B OA P
2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不 同．解题时，灵活选切用线的其判定中与性质之一．
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线。
O
对定理的理解：
l A
切线必须同时满足两条：①经过半径外
端；②垂直于这条半径．
切线的判定与性质
直线与圆的 位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数 公共点名称
直线名称 圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个 交点
割线
Or d
l A
1个 切点
切线
d<r d=r 切线的判定与性质
Or d
l
没有
d> r
图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？
方法1：直线与圆有唯一公共点 O
方法2：直线到圆心的距离等于半径
l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种
方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判
定方法。
切线的判定与性质
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过 点A作直线l⊥OA。思考：
专题08 切线的判定与性质(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题
专题08 切线的判定与性质概念规律重在理解1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径，BC ⊥OA于A。
则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
2.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.证切线时辅助线的添加方法(1) 有交点，连半径,证垂直;(2) 无交点，作垂直,证半径.4.有切线时常用辅助线添加方法见切点，连半径，得垂直.5.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.6.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．直线l是⊙O 的切线，A是切点，直线l ⊥OA.说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.典例解析掌握方法【例题1】（2021吉林长春）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数．∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．【例题2】（2021广西玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．【答案】见解析。
中考数学复习----《切线》知识点总与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《切线》知识点总与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.点与圆的位置关系：OP=，则有：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离dd＞①点P在圆外⇔rd=②点P在圆上⇔rd＜①点P在圆内⇔r2.三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
3.直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线和圆的三种位置关系：d＞。
①相离：一条直线和圆没有公共点。
直线l和⊙O相离⇔r②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切d=。
线，唯一的公共点叫切点。
直线l和⊙O相切⇔r③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的d＜。
割线。
直线l和⊙O相交⇔r4.切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。
5.切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
练习题1、（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是．【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD ＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝45°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出⊙O的半径，即可解答．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，∴AD＝＝＝2，∴⊙O的半径是1，故答案为：1．2、（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为cm．【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ADB＝60°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，在Rt△ABD中，AD＝6cm，∴AB＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），故答案为：3．3、（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来．【分析】由网格利用勾股定理分别求解OA，OB，OC，OD，OE，根据三角形的外心到三角形顶点的距离相等可求解．【解答】解：由图可知：OA＝，OB＝，OC＝，OD＝，OE＝，∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．4、（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O 在格点上，则cos∠ACB的值是．【分析】先连接AD，BD，然后根据题意，可以求得cos∠ADB的值，再根据圆周角定理可以得到∠ACB＝∠ADB，从而可以得到cos∠ACB的值．【解答】解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，BD＝4，∴AD＝＝＝2，∴cos∠ADB＝＝＝，∵∠ACB＝∠ADB，∴cos∠ACB的值是，故答案为：．5、（2022•资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是度．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC＝55°，再根据切线的性质可得∠BAD＝90°，即可求解．【解答】解：∵AB为直径，∴∠C＝90°，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝55°，∵AD与⊙O相切，∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．故答案为：35．6、（2022•衢州）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C的度数为．【分析】连接OB，先根据切线的性质求出∠AOB，再根据OB＝OC，∠AOB＝∠C+∠OBC 即可解决问题．【解答】解：如图，连接OB．∵AB是⊙O切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC，∵∠AOB＝∠C+∠OBC，∴∠C＝25°．故答案为：25°．7、（2022•盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD ＝35°，则∠C＝°．【分析】连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD＝90°，从而求出∠BAE＝55°，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．【解答】解：连接OA并延长交⊙O于点E，连接BE，∵AD与⊙O相切于点A，∴∠OAD＝90°，∵∠BAD＝35°，∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，∴∠C＝∠E＝35°，故答案为：35．8、（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为．【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：如图，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，∴圆心O 就是三角形的内心，∴当⊙O 过点C 时，且在等腰直角三角形ABC 的三边上截得的弦相等，即CG ＝CF ＝DE ，此时⊙O 最大，过点O 分别作弦CG 、CF 、DE 的垂线，垂足分别为P 、N 、M ，连接OC 、OA 、OB ， ∵CG ＝CF ＝DE ，∴OP ＝OM ＝ON ，∵∠C ＝90°，AB ＝2，AC ＝BC ，∴AC ＝BC ＝×2＝，由S △AOC +S △BOC +S △AOB ＝S △ABC ，∴AC •OP +BC •ON +AB •OM ＝S △ABC ＝AC •BC ，设OM ＝x ，则OP ＝ON ＝x ，∴x +x +2x ＝×， 解得x ＝﹣1， 即OP ＝ON ＝﹣1，在Rt △CON 中，OC ＝ON ＝2﹣，故答案为：2﹣．9、（2022•泰州）如图，PA 与⊙O 相切于点A ，PO 与⊙O 相交于点B ，点C 在AmB ⌒上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为°．【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，由切线的性质得出∠OAP＝90°，由∠P ＝26°，求出∠AOP＝64°，由圆周角定理即可求出∠C＝∠D＝32°．【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，∵点C在上，且与点A、B不重合，∴∠C＝∠D＝32°，故答案为：32．10、（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为．【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，∵圆与AC相切于点A．∴OA⊥AC，由题意可知：D点位置分为两种情况，①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径＝r，∴OA＝r，OC＝4﹣r，∵AC＝2，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，解得：r＝，即AD＝AO＝；②当∠ADC＝90°时，AD＝，∵AO＝，AC＝2，OC＝4﹣r＝，∴AD＝，综上所述，AD的长为或，故答案为：或．11、（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为cm．【分析】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD＝AC ＝6cm，AD＝BC＝8cm，设⊙O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．【解答】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，∵长边与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∵AC⊥BC，AD⊥OB，∴四边形ACBD为矩形，∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．设⊙O的半径为rcm，则OA＝OB＝rcm，∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，在Rt△OAD中，∵AD2+OD2＝OA2，∴82+（r﹣6）2＝r2，解得：r＝．故答案为：．12、（2022•湖北）如图，点P 是⊙O 上一点，AB 是一条弦，点C 是APB ⌒上一点，与点D 关于AB 对称，AD 交⊙O 于点E ，CE 与AB 交于点F ，且BD ∥CE ．给出下面四个结论： ①CD 平分∠BCE ；②BE ＝BD ；③AE 2＝AF •AB ；④BD 为⊙O 的切线．其中所有正确结论的序号是 ．【分析】根据题意可得AB 是CD 的垂直平分线，从而可得AD ＝AC ，BD ＝BC ，再利用等腰三角形和平行线的性质可得CD 平分∠BCE ，即可判断①；根据圆内接四边形对角互补和平角定义可得∠DEB ＝∠ACB ，再利用SSS 证明△ADB ≌△ACB ，然后利用全等三角形的性质可得∠ADB ＝∠ACB ，从而可得∠DEB ＝∠ADB ，即可判断②；根据等弧所对的圆周角相等可得∠AEF ≠∠ABE ，从而可得△AEF 与△ABE 不相似，即可判断③；连接OB ，交EC 于点H ，利用①②的结论可得BE ＝BC ，从而可得＝，然后利用垂径定理可得∠OHE ＝90°，最后利用平行线的性质可求出∠OBD ＝90°，即可解答．【解答】解：∵点C 与点D 关于AB 对称，∴AB 是CD 的垂直平分线，∴AD ＝AC ，BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ，∵BD ∥CE ，∴∠BDC ＝∠DCE ，∴CD平分∠BCE；故①正确；∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∵∠AEB+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝∠ACB，∵AD＝AC，BD＝BC，AB＝AB，∴△ADB≌△ACB（SSS），∴∠ADB＝∠ACB，∴∠DEB＝∠ADB，∴BD＝BE，故②正确；∵AC≠AE，∴≠，∴∠AEF≠∠ABE，∴△AEF与△ABE不相似，故③不正确；连接OB，交EC于点H，∵BD＝BE，BD＝BC，∴BE＝BC，∴＝，∴OB⊥CE，∵BD∥CE，∴∠OHE＝∠OBD＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BD为⊙O的切线，故④正确；所以给出上面四个结论，其中所有正确结论的序号是：①②④，故答案为：①②④．。
中考专题复习之切线的判定与性质
中考专题复习之切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）EM ＝FM 。
分析：（1）由于AC 为直径，可考虑连结EC ，构造直角三角形来解题，要证BC 是⊙O 的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF ∥BC ，考虑用比例线段证线段相等。
证明：（1）连结EC ，∵DE ＝CD ，∴∠1＝∠2 ∵DE 切⊙O 于E ，∴∠2＝∠BAC ∵AC 为直径，∴∠BAC ＋∠3＝900∴∠1＋∠3＝900，故BC 是⊙O 的切线。
（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC ⊥AC 又∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BC∴CDMFAD AM BD EM == ∵BD ＝CD ，∴EM ＝FM【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
分析：由于⊙O 与AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向AC 作垂线段OE ，证OE 就是⊙O 的半径即可。
证明：连结OD 、OA ，作OE ⊥AC 于E∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AO 是∠BAC 的平分线 ∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB 又∵OE ⊥AC ，∴OE ＝OD∴AC 是⊙O 的切线。
【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
切线性质
交.这与已知条件“直线CD与⊙O
相切”相矛盾. 所以Fra bibliotekB与CD垂直.
C
B ●O AM D
议一议
切线的性质定理
驶向胜利 的彼岸
参考小颖和小亮的说理过程,请你写出这个命题
定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 如图
∵CD是⊙O的切线,A是切点,
∴CD⊥OA.
●O
已知直线和圆相切时：常 C
连接切点与圆心。-----辅助线
A
D
随堂练习P117 12
切线的性质定理的应用
驶向胜利 的彼岸
1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距 离为5,求r的取值范围..
r ●O
● ●● ● ● ●●● ● ●● ● ●● ●
B
C
2.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离 是多少?.
驶向胜利 的彼岸
经过半径的外端并且垂直于这条半的直线是圆
的切线.
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
证明一条直线是圆的切线时
证明一条直线是圆的切线时（1）直线与圆 有交点时，连接交点与圆心，证垂直；
（2）直线与圆“无”交点时，过圆心作直线 的垂线，证明垂线段的长等于半径.
结束寄语
下课了!
• 具有丰富知识和经验的人，比 只须一种知识和经验更容易产 生新的联想和独到的见解。
老师提示:硬币滚动一圈,圆心经过的路经是与直线平行 的一条线段,其长度等于圆的周长.
例题
驶向胜利 的彼岸
例2 PA、PB是⊙O的 切线，切点分别为A、B， C是⊙O上一点，若 P ∠APB=40°，
A OC
B
求∠ACB的度数.
专题08 切线的判定与性质-2017年中考数学母题题源系列(第03篇)(原卷版)
【母题来源一】2017四川省乐山市第24题【母题原题】如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，P A=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．【答案】（1）PD是⊙O的切线；（2）8．【分析】（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠P AD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CP A，进而可得CA CECP CA=，然后可得CE•CP的值．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Ab sin45°=22．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CP A，∴CA CECP CA=，∴CP•CE=CA2=（22）2=8．考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．【名师点睛】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．【母题来源二】2017四川省绵阳市第23题【母题原题】如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD 的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cos∠DF A=45，AN=210，求圆O的直径的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）503．【分析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DF A=45，AN=210，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．∵ME∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF．∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN．考点：切线的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．【名师点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC；（2）利用解直角三角形求出CH、AH的长度．【母题来源三】2017四川省达州市第23题【母题原题】如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB 延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）210．【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意得到AC•BQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE的长，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论．（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=2105，∴BE=6105，设OB=OD=R，∴OE=R﹣2105，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣2105）2+（6105）2，解得：R=210，∴⊙O的半径为210．考点：相似三角形的判定与性质；分式方程的解；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形；压轴题．【名师点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．【命题意图】这类试题主要考查切线的性质、判定以及直线和圆的位置关系．【方法、技巧、规律】切线的主要性质：①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三者只要有两个成立，第三个也成立．判定切线的方法：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径．【母题1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A．3步B．5步C．6步D．8步【母题2】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（）A．10B．82C．413D．241【母题3】已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【母题4】如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【母题5】如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是AC上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=45，则AE的长是（）A．3B．2C．1D．1.2【母题6】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（）A．12B．22C．32D．33【母题7】如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D 是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【母题8】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是（）A．52B．5C．52D．22【母题9】如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为．【母题10】如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是．【母题 11】如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= ．【母题 12】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O 和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．【母题13】如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA 于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为．【母题14】如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为．【母题15】如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为．【母题16】如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=2，DF=2BF，求AH的值．【母题 17】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（1）∠1=∠BAD；（2）BE是⊙O的切线．【母题 18】如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．【母题19】如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．（1）求证：A E•BC=AD•AB；（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=35，求AF的长．【母题20】如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=35，CQ=5，求AF的值．名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！11。
2017年初中数学会考专题-切线的性质与判定
2017年初中数学会考专题-切线的性质与判定题型五切线的性质与判定针对演练类型⼀等腰三⾓形模型1. 如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂⾜分别为点E、F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DF＝35，cosA＝23，求⊙O的直径．第1题图2. (2016葫芦岛12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂⾜为F，线段FD、AB的延长线相交于点G.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若CF＝1，DF＝3，求图中阴影部分的⾯积．第2题图3. (2016⽢孜州10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作的⊙O 与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)求证：H 为CE 的中点；(3)若BC ＝10，cosC ＝55，求AE 的长．第3题图4. 已知：如图，在△ABC 中，BC ＝AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂⾜为点E .(1)求证：点D 是AB 的中点；(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (3)若⊙O 的直径为3，BD ＝1，求DE 的长．第4题图5. (2017原创)如图，半⊙O 是△ABD 的外接圆，AB ＝AC ，延长BD 与AC 交于点C ，过点D 作DE ⊥AC ，垂⾜为点E ，延长ED ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)求证：△FDB ∽△F AD ；(3)如果⊙O 的半径为5，AE AD ＝45，求BF 的长．第5题图类型⼆弦切⾓模型1. (2016常德8分)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BC＝3，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．第1题图2. (2016宿迁8分)如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．第2题图3. (2016来宾12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC 于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径．(1)判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)求证：△ABD∽△DBE；(3)若cosB＝223，AE＝4，求CD.第3题图4. (2016黔南州12分)如图，AB是⊙O的直径，点D是上⼀点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BD平分∠ABE，求证：DE2＝DF·DB；(3)在(2)的条件下，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长．第4题图5. (2016柳州10分)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上⼀点，点E在圆上且满⾜PE2＝P A·PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D.(1)求证：△P AE∽△PEC；(2)求证：PE为⊙O的切线；(3)若∠B＝30°，AP＝12AC，求证：DO＝DP.第5题图类型三直⾓三⾓形模型1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．(1)求证：BC2＝BD·BA；(2)判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．第1题图2. (2016永州10分)如图，△ABC是⊙O的内接三⾓形，AB为直径，过点B 的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．第2题图3. (2016呼伦贝尔8分)如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O 相交于点D，在AC上取⼀点E，使得ED＝EA.(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OE＝10时，求BC的长．第3题图4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE 于点P.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求tan∠ABE的值；(3)若OA＝2，求线段AP的长．第4题图5. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对⾓线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．第5题图类型四⾓平分线模型1. (2016宁波10分)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．第1题图2. (2016张家界6分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的⼀点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂⾜为点D，且AC平分∠BAD.(1)求证：直线MN是⊙O的切线；(2)若AD＝4，AC＝5，求⊙O的直径．第2题图3. (2016武汉8分)如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂⾜为D ，AD 交⊙O 于点E .(1)求证：AC 平分∠DAB ;(2)连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝45，求AFFC 的值．第3题图4. (2015西宁)如图，已知BC 为⊙O 的直径，BA 平分∠FBC 交⊙O 于点A ，D 是射线BF 上的⼀点，且满⾜BD BA ＝BABC .过点O 作OM ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点M ，连接BM ，AM .(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若sin ∠ABM ＝35，AM ＝6，求⊙O 的半径．第4题图5. (2016巴彦淖尔12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB，垂⾜为H，求证：CD＝HF；(3)若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．第5题图答案类型⼀等腰三⾓形模型1. (1)证明：如解图，连接OD、BD，∵BC是⊙O的直径，第1题解图∴∠BDC＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴AD＝CD，∵OB＝OC，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，⼜∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，在Rt△CFD中，cosC＝CFCD＝cosA＝23，设CF＝2x，则CD＝3x，∴DF＝（3x）2－（2x）2＝5x，∴5x＝35，解得x＝3，∴CD＝9，在Rt△BCD中，∵cosC＝CDBC＝23，∴BC＝32×9＝272，即⊙O的直径为27 2.2. (1)证明：如解图，连接AD、OD.∵AB是⊙O的直径，第2题解图∴∠ADB＝90°，⼜∵AC ＝AB ，∴CD ＝BD ，⼜∵OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，⼜∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD ，⼜∵OD 是⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线；(6分)(2)解：∵在Rt △CDF 中，tan ∠CDF ＝CF DF ＝13＝33，∴∠CDF ＝30°，∴∠C ＝60°，则△ABC 为等边三⾓形，∴∠ODB ＝60°，⼜∵OD ＝OB ，∴△BOD 为等边三⾓形，∴∠DOB ＝60°，OD ＝BD ＝CD ＝CF 2＋DF 2＝12＋（3）2＝2，∴S 扇形OBD ＝60π×22360＝23π，∵在Rt △ODG 中，∠DOG ＝60°，∴DG ＝3OD ＝23，∴S △DOG ＝12DG ·OD ＝12×2×23＝23，∴S 阴影＝S △DOG －S 扇形OBD ＝23－23π.(12分) 3. (1)解：DH 与⊙O 相切．理由如下：第3题解图如解图，连接OD、AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，(2)证明：连接DE，如解图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝CD，∵DH⊥CE，∴CH＝EH，即H为CE的中点；(7分)(3)解：在Rt△ADC中，CD＝12BC＝5，∵cosC＝CDAC＝55，∴AC＝55，在Rt△CDH中，∵cosC＝CHCD＝55，∴CH＝5，∴CE＝2CH＝25，∴AE＝AC－CE＝55－25＝3 5.(10分) 4. (1)证明：如解图，连接OD，第4题解图∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵BC＝AC，∴∠A＝∠B，∴∠ODB＝∠A，∴OD∥AC，∵OB＝OC，∴BD＝AD，即点D是AB的中点；(2)解：DE与⊙O相切．证明如下：∵OD∥AC，DE⊥AC，∴DE⊥OD，⼜∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；(3)解：连接CD，如解图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，sinB＝CDBC＝223，∴sinA＝DEAD＝sinB，∵AD＝BD＝1，∴DE1＝223，∴DE＝22 3.5. (1)证明：如解图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，第5题解图∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，⼜∵OD为半⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；(2)证明：∵EF是⊙O的切线，∴∠ODB＋∠BDF＝90°，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＋∠BDF＝90°，⼜∵∠DAB＋∠OBD＝90°，∴∠DAB＝∠BDF，∵∠BFD＝∠DF A，∴△FDB∽△F AD；(3)解：∵∠DAC＝∠DAB，∠AED＝∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD，∴sin∠ADE＝AEAD＝45＝sin∠ABD，∵sin∠ABD＝AD5，AB＝10，∴AD＝8，∴AE＝32 5，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴ODAE＝FOFA，即5325＝BF＋5BF＋10，∴BF＝90 7.类型⼆弦切⾓模型1.(1)证明：如解图，连接OB，第1题解图∵BD＝BC，∴＝，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD＝90°，∵OA＝BO，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．(4分)(2)解：如解图，连接CD，交OB于点F，设圆的半径为R，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝52，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE ＝∠ACB ，∵∠DBE ＝∠CAB ，∴△DBE ∽△CAB ，∴DB AC ＝DE BC ，即35＝DE 3，∴DE ＝32，R 2＝3，∵∠OBE ＝∠OFD ＝90°，∴DF ∥BE ，∴OF OB ＝OD OE ，∴52R ＝R R ＋35，∵R >0，∴R ＝3，∴AD ＝2R ＝6，∵∠DBE ＝∠BAE ，∠DEB ＝∠BEA ，∴△BDE ∽△ABE ，∴BE AE ＝DE BE ，∴BE ＝DE×AE ＝35×（2×3＋35）＝3115.(8分)2. (1)证明：如解图，连接OA ，OD .设∠ABD ＝x ，第2题解图∵∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1∶2∶3，∴∠ADB ＝3x ，∠ACB ＝2x ，∴∠DAC ＝x ，∠AOD ＝2∠ABC ＝2x ，∴∠OAD ＝180°－2x2＝90°－x ，∴∠OAC ＝90°－x ＋x ＝90°，∴OA ⊥AC ，⼜∵OA 为⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线；(4分) (2)解：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1∶2∶3, ∠ABC ＋∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＋3∠ABC ＝90°，解得∠ABC ＝22.5°，∴∠ADB ＝67.5°，∠ACB ＝45°，∴∠CAD ＝22.5°.(8分) 3. (1)解：BC 与⊙O 相切．证明：如解图，连接OD ，第3题解图∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，⼜∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∵∠C＝90°，∴∠BDO＝90°，(3分)∵OD是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切；(4分)(2)证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ADO＝∠BDE，∵∠DAO＝∠ADO，∴∠DAB＝∠BDE，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△DBE；(8分)(3)解：设BE＝x，则OB＝x＋2，AB＝x＋4，在Rt△BOD中，cosB＝BDOB＝BDx＋2＝223，∴BD＝223x＋423，由△ABD∽△DBE，得BDBA＝BEBD，即BD2＝BE·BA，。
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如果我是一棵小树，那么书就是灿烂的 阳光， 它照耀 着我， 让我快 乐地成 长；如 果我是 一条小 鱼，那 么书就 是清清 的溪流 ，它滋 润着我 ，让我 快乐的 成长； 如果我 是一只 小鸟， 那么书 就是碧 蓝的天 空，它 支撑着 我，让 我快乐 的成长! 从小，我就很喜欢看书。记得还在幼儿 园时， 我便早 早地学 起了a、 o、e。 为什么 只是为 了能早 点捧起 我心爱 的书本 ，在书 的世界 中翱翔 。小学 生读书 心得。 那时， 书就像 一个缤 纷世界 ，让我 流连忘 返。在 书中， 我和小 鸟一齐 飞上蓝 天，和 小精灵 一齐唱 歌跳舞 ，和蝴 蝶们一 齐玩 捉迷藏 随着时 光的流 逝，我 一天天 地长大 ，一本 本书更 是成了 我的好 伙伴:我 捧起了 童话故 事，捧 起了科 幻小说 ，捧起 了百科 全书， 捧起了 世界名 著。我 常常静 静地坐 在书桌 旁，时 而深思 ，时而 幻想， 时而快 乐，时 而忧伤 。在《 水浒传 》里， 我结识 了忠义 宽容的 宋江； 在《三 国演义 》里， 我认识 了足智 多谋的 诸葛亮 ；在《 鲁滨逊 漂流记 》里， 我懂得 了遇事 要坚强 ；在《 钢铁是 怎样炼 成》里 ，我汲 取了战 胜困难 的力量!读《中 华国宝 》和《 中华国 恨》， 让我明 白了中 华民族 以前有 过的辉 煌历史 ，也让 我明白 了中华 民族以 前遭受 的屈辱!更让我 在心中 立下了 和周恩 来总理 一样的 志愿为 中华之 崛起而 读书!努力读 书，振 兴中华!书是无 穷的宝 藏，为 我增添 了丰富 的知识 ；书是 快乐的 天堂， 让我忘 记了所 有的忧 伤。书 犹如冬 日里的 阳光， 带给我 春的温 暖；书 又似沙 漠里的 绿洲， 给予我 新的期 望!就这 样，书 陪伴我 度过了 一年又 一年， 我在书 香中渐
初中几何圆切线题目解析
列位同窗：
大家好！
今天我们讲有关圆切线的标题,在讲题之前我们先大致把圆切线的有关界说和定理回想一下：
1)直线与圆相切界说：假如一条直线和圆只有一个公共点,那么就说这条直线与圆相切.
2)切线剖断定理：经由半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3)切线的性质定理：圆的切线垂直于经由切线的半径
当我们求证直线与圆相时,我们把问题总归纳为三点：
1）直线与圆订交（交点）
2）圆心到交点的连线=r （等径）
3）圆心到该交点的连线该直线;（垂径）
三要素
(次序可倒)
3垂径可以经由过程：一.全等/类似.二.射线或线段平行.三.角互余道理
先举一例：
一、证全等/类似：
1.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,若PA⊥AB,PO过AC的中点M.求证：PC是⊙O的切线.
1)交点C
2)OC=r
3)OC PC （证PAB PCO）
2（类似）.
二.证平行：
证平行例题之2：
三、证角互余：
四.未厚交点的圆切线证实：
回想三要素：交点.等径.垂径
好,今天给大家分享了圆切线的三种证实办法,我以前常在平台里讲到大家最好是学会归类和细分,尽量形成一种模式,比方圆切线,我们扩大下去,它有几种解法,我们给它归类,可扫失落盲区.下面给大家留几道题....这几道题包含我们适才讲的几种解题思绪,有不清晰的可以平台上问,我们再交换,好的,同窗们,今天的课就讲到这里,同窗们再会！。
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【母题来源一】2017四川省乐山市第24题
【母题原题】如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，P A=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
【答案】（1）PD是⊙O的切线；（2）8．
【分析】（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠P AD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CP A，进而可得
CA CE
CP CA
=，然后可得CE•CP的值．
（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，
∵AB=4，AC=Ab sin45°=22．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CP A，∴CA CE
CP CA
=，∴CP•CE=CA2=
（22）2=8．
考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．
【名师点睛】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．学科.网
【母题来源二】2017四川省绵阳市第23题
【母题原题】如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD 的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DF A=4
5
，AN=210，求圆O的直径的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）50
3
．
【分析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；
（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DF A=4
5
，AN=210，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，
则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．。