电磁感应中的能量转化与守恒

面b、c(位于磁场中)和d时，线圈所受到的磁场力的大小分别为
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开拓视野 列车的自动控制 在现代列车自动控制系统中，车载控制器借助安装于轨道 上的应答器的数据信息来确定列车位置．车载控制器会有一个 轨道数据库，包含许可速度、应答器位置等信息，向列车提供 车站停车位置、道岔位置、限制速度等．当一辆列车驶过应答 器，它会收到一条标识应答器的消息，在检测到两个应答器 后，列车位置确定．如果只有一个应答器未被检测到，列车继 续运行．应答器间实际距离与测量距离不符且超出容限、连续 两个应答器未被检测到，车载控制器在信号机防护模式下都会 产生紧急刹车．
答案 C
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1．如图1－5－8所示，空间某区域中有一匀强磁场，磁感
应强度方向水平，且垂直于纸面向里，磁场上边界b和下边界d
水平．在竖直面内有一矩形金属线圈，线圈上下边的距离很
短，下边水平．线圈从水平面a开始下落．已知磁场上下边界之
间的距离大于水平面a、b之间的距离．若线圈下边刚通过水平
(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；
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图 1－5－3
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(2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8 W，求该速度的大小；
(3)在上问中，若R＝2 Ω，金属棒中的电流方向由a到b，求 磁感应强度的大小与方向．(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37 °＝0.8)
图1－5－7
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解析 本题考查了动生电动势的大小和方向．解题关键是 将一个实际问题简化成一个物理模型．当火车头中的磁场刚接 触线圈时，线圈中有一条边切割磁感线，产生的感应电动势为E ＝Blv；当磁场完全进入时，穿过线圈的磁通量不发生变化，无 感应电动势；当磁场要离开线圈时，线圈中又有一边在切割磁 感线，产生的感应电动势E＝Blv.根据右手定则判断知，两段产 生的感应电动势方向相反，也就是正负极相反．
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【典例1】 如图1－5－3所示，处于匀强磁场中的两根足够 长、电阻不计的平行金属导轨相距1 m，导轨平面与水平面成θ ＝37°角，下端连接阻值为R的电阻．匀强磁场方向与导轨平面 垂直．质量为0.2 kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导 轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25.
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【典例3】 铁路上使用一种电磁装置向控制中心传输信 号，以确定火车的位置．有一种磁铁能产生匀强磁场，被安装 在火车首节车厢下面，如图1－5－7所示(俯视图)，当它经过安 装在两铁轨之间的线圈时，便会产生一种电信号被控制中心接 收到．当火车以恒定的速度通过线圈时，表示线圈两端的电压 随时间变化的关系是图中的( )．
的功的代数和等于( )．
A．棒的机械能增加量
B．棒的动能增加量
C．棒的重力势能增加量
D．电阻R上放出的热量
图1－5－6
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解析 棒加速上升时受到重力、拉力F及安培力．根据功 能原理可知力F与安培力做的功的代数和等于棒的机械能的 增加量，A正确．
答案 A
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由于此时金属杆切割磁感线的速度为 vm，故 E＝BLvm，② 由欧姆定律得：I＝ER，③
由①②③可得：vm＝Bm2gLR2.
(2)金属杆在下落 h 的过程中，重力势能的减少转化为杆的动 能和整个回路的内能，由能量守恒得：mgh＝Q＋12mv2m，故 Q＝ mgh－12mv2m＝mgh－m23Bg42LR42.
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答案
mgR (1)B2L2
(2)mgh－m2B3g42LR42
借题发挥 求解最大速度问题，一般是从受力分析入手，
由牛顿第二定律列式，再经过分析得出：当a＝0时，速度最
大．这种思路是解题的一种方法，本题也可以通过该方法求
解．利用力学观点处理问题的方法往往繁琐，不如用能量观点
图 1－5－4
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解析 线圈在A、C位置时，不产生感应电流，线圈只受重 力作用，在B、D位置时穿过线圈的通量变化，产生感应电流从 而阻碍线圈的下落，并且在D点时线圈的速度大于线圈在B点的 速度，磁通量变化率较大，产生的感应电流也较大，从而受的 安培力也较B点大，所以有aA＝aC>aB>aD，选项B正确．
BLv.电路中的电流I＝
E－E′ R
减小，导体ab受到的安培力减小
了．所以反电动势阻碍了导体的运动．
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3．电动机运转时反电势：当电动机通电转动时，转子切割磁 感线产生反电动势，电流减小．动力矩减小，当动力矩等于阻力 矩时电动机带动负载稳定运转．如果电动机工作时由于机械阻力 过大而停止转动，这时没有了反电动势，电阻很小的线圈直接接 在电源两端，电流会很大，很容易烧毁电动机．
(1)金属杆的最大速度vm； (2)金属杆由静止开始下落至速度最大过程中，电阻R上产 生的热量Q.
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图 1－5－5
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解析 (1)金属杆在下落的过程中其内部将产生向右的感应电 流，故它要受到向上的安培力，只要重力大于安培力，金属杆就 会一直向下加速，直至重力与安培力相等，金属杆达到最大速度， 此时有 mg＝BIL①
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2．克服安培力做功与产生电能关系的特例论证
图 1－5－2 如图 1－5－2 所示，矩形闭合金属线框 abcd 电阻为 R，置于 有界的匀强磁场 B 中，现在拉力 F 的作用下，以速度 v 匀速拉出 磁场，设 ad、bc 边的长度为 L，则线框被匀速拉出的过程中：
(1)线框里产生的感应电动势：E＝BLv，感应电流 I＝BRLv (2)线框 ad 边所受安培力：F 安＝BIL＝B2RL2v (3)克服安培力的功率：P 安＝F 安 v＝B2LR2v2
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分析：因线框匀速运动，有 F＝F 安，而产生的电能终因线框 有电阻而转变为内能，线框的电功率(等于发热功率)，P 电＝I2R＝ B2LR2v2.可见 PF＝P 安＝P 电．
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【变式1】
如图1－5－4所示，线圈由A位置开始下落，在磁场中受到
的磁场力如果总小于重力，则它在A、B、C、D四个位置时，加
速度大小关系为( )．
A．aA>aB>aC>aD B．aA＝aC>aB>aD C．aA＝aC>aD>aB D．aA>aC>aB＝aD
处理方便．像本例题求最大速度问题，尽管达最大速度前运动
为变速运动，感应电流(电动势)都在变化，但达最大速度之后，
感应电流及安培力均恒定，计算热量可用Q＝I2Rt，也可以利用
能量守恒，这样，对不少题目通过抓住速度最大之后速度不变
这一关键条件出发，运用能量观点处理，运算过程得以简捷．
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答案 B
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【典例2】 如图1－5－5所示，平行光滑的金属导轨竖直放 置，宽为L，上端接有阻值为R的定值电阻．质量为m的金属杆 与导轨垂直放置且接触良好，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感 应强度为B.导轨和杆的电阻不计，金属杆由静止开始下落，下 落h时速度达到最大，重力加速度为g，求：
由⑥⑦两式解得 B＝
vPlR＝
8×2 10×1
T＝0.4 T
磁场方向垂直导轨平面向上．
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答案 (1)4 m/s2 (2)10 m/s (3)0.4 T，垂直于导轨平面向上 借题发挥 电磁感应中与力学相关的综合问题，还须按照 力学问题的解题思路和处理方法，从受力分析到过程分析，从 列出方程到解出结果，只是多出安培力而已．牛顿第二定律和 平衡条件仍是列方程的基本依据．
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【变式2】如图1－5－6所示，竖直放置的两根平行金属导
轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保
持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装
置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直．棒在竖直向上
的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做
结论：在电磁感应现象中，克服安培力做多少功，就有多少
电能产生．本例中， 这些电能又通过电流做功使电阻发热转变成 了内能．
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3．关于电磁感应的能量问题，要注意以下分析程序： (1)准确应用电磁感应定律确定感应电动势的大小；准确应 用楞次定律或右手定则，判定感应电动势的方向． (2)画出等效电路，求解电路中各相关参量． (3)研究导体机械能的变化，利用能量转化与守恒关系，列 出机械运动功率变化与电路中电功率变化的守恒关系式． 二、含反电动势电路中的能量转化关系 电动机正常工作时产生反电动势，方向与电源电动势的方 向相反，这时需要电源克服反电动势做功，使电源提供的总能 量一部分通过线圈的电阻产生焦耳热，另一部分转化为机械 能，总能量是守恒的．
mgsin θ－μmgcos θ－F＝0③
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻 R 消耗的 电功率：P＝Fv④
由③④两式解得
v＝FP＝0.2×10×（0.86－0.25×0.8） m/s＝10 m/s⑤ (3)设电路中电流为 I，两导轨间金属棒的长为 l，磁场的磁感
应强度大小为 B，I＝BRlv⑥ P＝I2R⑦
去分析电磁感应相关问题． 2．楞次定律和法拉第电磁感应定律是 能的转化和守恒 定律
在电磁感应现象中的反映．要维持感应电流的存在，必然要克服 安培力做功，即由其它形式的能转化为电能．产生的感应电流通
过用电器、导体棒等，电能又转化为其它形式的能(如机械能、内 能等)．
3．安培力对导体做负功(即外力克服安培力做功)的过程，是 将 机械能 转化为电能；安培力对导体做正功的过程，是将 电能 转 化为机械能．
解析 (1)金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律 mgsin θ－μmgcos θ＝ma① 由①式解得 a＝10×(0.6－0.25×0.8)m/s2＝4 m/s2②
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(2)设金属棒运动达到稳定时，速度大小为 v，所受安培力大 小为 F，棒在沿导轨方向受力平衡
三、含反电动势电路中的能量转化
在含有反电动势的电路中，电流 I＝E－RE′或写成 IR＝E－E′. 两边同乘以 I 得 I2R＝EI－E′I.此式表明电源消耗的总能量克服 反电动势做功，一部分通过电阻产生焦耳热，另一部分转化为机 械能.
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一、电磁感应中的能量转化 1．电磁感应的本质——能量转化 电磁感应的过程，实质上是一个能量转化与守恒的过 程．可以说它是能量转化与守恒定律在电磁现象中的一个特 例．通过克服安培力做功，将其他能量(非电能)转化为电能，克 服安培力做多少功，就有多少其他能转化为相应量的电能；当 产生的电流通过用电器后，同时将转化来的电能进一步转化成 其他非电能．因此，电磁感应过程总伴随着能量转化．
5 电磁感应中的能量转化与守恒
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1．理解电磁感应中的能量转化与守恒，理解安培力做功 与电能单位关系．(重点)
2．理解反电动势的概念．(难点) 3．了解含反电动势电路中的能量转化.
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一、电磁感应中的能量转化 1．能量的转化和守恒定律是自然界的普遍规律，电磁感应现 象中也伴随着 能量 的转化和守恒，所以，要善于从功和能的角度
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二、反电动势 1．定义：在电路中与电流方向 相反 的电动势叫做反电动 势．
2．作用：反电动势的出现要抵消一部分外加电压，使电路 中的电流减小，导体所受的安培力减小．
在如图1－5－1所示的电路中，导体ab在安培力F安作用下
运动的通电导体
图1－5－1
向右运动切割磁感线产生的感应电动势——反电动势E′＝