2014年高考数学模拟新题分类汇编教案：专题二 函数与导数

专题二 函数与导数
函数﹑基本初等函数I 的图像与性质
函数的概念及其表示 1.（2014广州高三第二次质检）
【答案】B
【解析】由2110
x x ìï>ïíï->ïî得1x >，故函数的定义域是(1,)+?
2.
【答案】C
【解析】当转动角度不超过45°时，阴影面积增加的越来越快，图象下凸；当转动角度超过45°时，阴影面积增加的越来越慢，图象上凸，故选C 3.（2014成都高三月考）
【答案】D
【解析】()2210f --=，所以()22[2](10)lg102f f f ---===-
5.
【答案】A
【解析】因为14a =，所以由函数定义知：()()2141a f a f ===；
()()3215a f a f ===；()()4352a f a f ===；()()5424a f a f ===，……,数列
是以4为周期的数列，故201421a a == 二、填空题
6. （合肥市2014年第一次教学质量检测）函数1
1
ln
)(+=x x f 的值域是__________ 【答案】(,0]-? 【解析】因为0x ³，所以
1
(0,1]1
x Î+，所以11ln )(+=x x f (,0]??
7. （珠海市2013-2014学年度第一学期期末学生学业质量监测）定义在R 上的函数()f x 满足3log (1)
0()(1)(2)0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨
--->⎩
，则(2014)f = ．
【答案】3log 2
【解析】因为当0x >时，()()()12f x f x f x =---，所以()()()11f x f x f x +=--，所以()()12f x f x +=--，即()()3f x f x +=-，所以函数的周期为6，故
(2014)f =()4f =()()()()()32212f f f f f =-=--()()()101f f f 轾=-=---臌
()333log 1log 2log 2=--=
函数的性质及其应用
1.（浙江绍兴2014届高三月考） 同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是( )
A ．f (x )＝－x |x |
B ．f (x )＝x 3
C ．f (x )＝sin x
D ．f (x )＝ln x
x
【答案】A
【解析】：为奇函数的是A 、B 、C ，排除D. A 、B 、C 中在定义域内为减函数的只有A.
2. （汕头市2014年普通高中高三教学质量监控测评试题）设)(x f 为奇函数，当0>x 时，
x x x f +=2)(，则()=-1f
A.2-
B.0
C.2
D.1- 【答案】A
【解析】因为)(x f 为奇函数，所以()=-1f ()1f -=2-
3.
【答案】
【解析】()()lg 2sin lg 21
11lg sin lg 1
22
f f ì=+ïï
ï骣骣í
鼢珑ï=+鼢珑ï鼢珑桫桫ïïî
，所以()()11lg 2lg sin lg 2sin lg 222f f 骣骣鼢珑+=++鼢珑鼢珑桫桫，而sin y x =是奇函数，1
lg
lg 22
=-，所以()1lg 2lg 22f f 骣÷ç+=÷ç÷ç桫 4
【答案】C 【
解
析
】
当
0x <时，0x ->，又
所以
()()()()()33
ln 1ln 1f x f x x x x x 轾=--=--+-=--犏臌
5.
函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋3a ， x <0，a x ， x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是
( ) A ．(0,1)
B ．[13，1)
C ．(0，1
3
]
D ．(0，2
3
]
【答案】B
【解析】据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1，3a ≥a 0，
即1
3
≤a <1.
二、填空题
6.（成都外国语学院2014届高三月考）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >00，x ＝0
－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数
g (x )的递减区间是________．
【答案】[0,1)
【解析】由条件知，g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2，x >1
0，x ＝1
－x 2
，x <1.
如图所示，其递减区间是[0,1)．
7 （河南省商丘市2014届高三数学上学期期末统考试）
设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________ 【答案】{x |x <0，或x >4}
【解析】由于f (x )是偶函数，故当x <0时，f (x )＝2－x －4， 当x －2<0时，由f (x －2)＝2－(x －2)－4>0，解得x <0； 当x －2≥0时，由f (x －2)＝2x －2－4>0，解得x >4. 综上可知不等式解集为{x |x <0或x >4}．
8. （湖北省黄冈中学2014年高三数学期末考试）
．已知()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，12
()log (1)f x x =-，
则2011
()4
f -
=___________． 【答案】2
【解析】因为()f x 的周期为2，所以2011
()4
f -
33=50244f f 骣骣鼢珑--=-鼢珑鼢珑桫桫，又()f x 是偶函数，所以2011
()4
f -
一次函数与二次函数
1. （成都七中2014届高三上期中考试）函数3)1()(2
---=x a ax x f 在区间[)∞+-,1上
是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦
⎤ ⎝⎛
∞-31,
B ．(]0,∞-
C ．⎥⎦
⎤ ⎝⎛
31,
D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
31,
【答案】：D
【解析】当0a =时，()3f x x =-符合题意；当0a ¹时，由题意01
12a a a ì>ïï
ïí-ï?ïïî
，解得103a <?
，综上1
[0,]3
a Î 2. （山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学）若函数a ax x f 213)(-+=在区间
)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是
A ．51>
a B ．5
1
>a 或1-<a C ．5
1
1<
<-a D ．1-<a 【答案】B
【解析】要使函数在)1,1(-上存在一个零点，则有(1)(1)0f f -<，即(1)(51)0a a +-+<，所以(1)(51)0a a +->，解得1
5
a >
或1a <-，故选B. 3.
【答案】B
【解析】函数的对称轴为1x =-，而当03a <<时，
12111,22
2x x a
骣+-÷
ç=?÷ç÷
ç桫，故1x 比2x 离对称轴近，所以()()12f x f x <
4. （沈阳2014届高三上学期摸底）已知函数1
()(2)()2
f x x x =--的图象与x 轴的交点分
别为（a ， 0）和（b ，0），则函数()x
g x a b =-图象可能为
【答案】：C
【解析】由函数()f x 的图象知，212a b ì=ïïïíï=ïïî①或212b a ì=ïïïíï=ïïî
，当①成立时，C 符合题意；当②成立时，没有图象符合题意
5. （2014武昌模拟）.若不等式1||2
++x a x
≥0对11,22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[)2,-+∞
B ． []2,2-
C ．(],2-∞-
D ．5,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】不等式1||2++x a x ≥0对11,22x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
恒成立等价于2
10x a x ++?对10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，设()2
1f x x a x =++，只需
102f 骣÷ç³÷ç÷
ç桫，解得52
a ? 6. （石家庄2014届高三上学期月考）某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为21
5.060.15L x x =-和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）。

若该公司在这两
地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
A.45.606
B.45.6
C.45.56
D.45.51 【答案】B
【解析】设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售15-x 辆车.获得的利润为
,3006.315.0)15(215.006.52
2
++-=-+-=x x x x x y 当.2.10)
15.0(206
.3=-⨯-
=x 时，y 最大，但N x ∈，所以当10=x 时，.6.45306.3015max =++-=y 故选B.
二、填空题 7. （
2014
杭
州
第
一
次
统
测
）
【答案】
【解析】因为[
][]cos 1,1,2sin 1,2a b ?
-?，所以结合二次函数的图象可得()()1010f f ì-?ï
ïí
ï=ïî
，解得1
2
b = 8.
（
2014
浙江宁波市高三第一学期期末考试）设函数
2,1(),(1)(1)2,1x a x f x f a f a x a x +<⎧=-<+⎨--≥⎩
若，则实数a 的取值范围是 。

【答案】3
004
a a -
<<>或
【解析】显然0a ¹，当0,a <时1111a a ì->ïïíï+<ïî，所以由()()1221a a a a ---<++得3
04a -<<；当0,a >时1111
a a ì-<ïïí
ï+>ïî，由()()1221a a a a -+-<-+得0a >，综上实数a 的取值范围是3
004
a a -
<<>或 9. （西安2014届高三第二次诊断性测试数学）对于函数q px x x x f ++=||)(，现给出四个命题：
①0=q 时，)(x f 为奇函数 ②)(x f y =的图象关于),0(q 对称
③0,0>=q p 时，方程0)(=x f 有且只有一个实数根 ④方程0)(=x f 至多有两个实数根
其中正确命题的序号为 . 【答案】①②③ 【解析】若0=q ，则
()||()f x x x px x x p =+=+，为奇函数，所以①正确。

由①知，当
0=q 时，为奇函数图象关于原点对称，q px x x x f ++=||)(的图象由函数
()||f x x x px =+向上或向下平移q 个单位，所以图象关于),0(q 对称，所以②正确。

当
0,0>=q p 时，22
,0
()||,0x q x f x x x q x q x ⎧+≥⎪=+=⎨-+<⎪⎩，当()0f x =，得x =只有一解，
所以③正确。

取0,1q p ==-，2
2
,0
()||,0x x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨--<⎪⎩，由()0f x =，可得
0,1x x ==±有三个实根，所以④不正确，综上正确命题的序号为①②③。

指数与指数函数、幂函数
1. （山东省实验中学2014届高三第二次诊断性测试）已知幂函数)(x f 的图像经过（9，3），则)1()2(f f -=
A.3
B.21-
C.12-
D.1 【答案】C
【解析】设幂函数为()=f x x α，则(9)=9=3f α
，即23=3α，所以1
2=1=
2
αα，，即1
2
()=f x x (2)1f f -，故选C.
2.（ 广州2014届高三七校第二次联考）设函数()1f x x α
=+（α∈Q ）的定义域为
[][],,b a a b --U ，其中0a b <<，且()f x 在[],a b 上的最大值为6，最小值为3，
则()f x 在[],b a --上的最大值与最小值的和是 ( ) A. 5- B. 9 C. 5-或9 D. 以上不对
【答案】C
【解析】设()()1h x f x x a
=-=，则由题意知()h x 为奇函数或偶函数。

当()h x 为奇函数
时，由()f x 在[],a b 上的最大值为6，最小值为3得()h x 在[],b a --上的最大值与
最小值-2和-5，从而()f x 的最大值和最小值为-1和-4，其和为-5；当()h x 为偶
函数时，由()f x 在[],a b 上的最大值为6，最小值为3得()h x 在[],b a --上的最大值
与最小值5和2，从而()f x 的最大值和最小值为6和3，其和为9.
3. （成都七中2014届高三上期中考试）若函数()f x =，其定义域为
(]1,∞-，则a 的取值范围是（ ）
A ．9
4
-=a
B ．9
4-
≥a C ．9
4-
≤a D ．09
4
<≤-
a 【答案】：A
【解析】由题意得1390x x
a ++壮
的解集为(]1,∞-，即2
11
033
x x a 骣÷ç++?÷ç÷ç桫的解集为(]1,∞-。

设2
2
11111
()33324
x x x h x a a 骣骣鼢珑=++=++-鼢珑鼢珑桫桫，因为(,1]x ??，所以11[,)33x ??，故只需(1)0h =，所以9
4-=a 4. （武汉2014届高三11月月考）已知函数2()m
f x x -=定义在区间2
[3,]m m m ---上的
奇函数，则下面成立的是（ A ）
A ．()(0)f m f <
B ．()(0)f m f =
C ．()(0)f m f >
D ．()f m 与(0)f 大小不确定
【答案】：A
【解析】因为函数是奇函数，所以230m m m --+-=，解得31m =-或。

当3m =时，函数为()1
f x x -=，定义域不是[-6,6],不合题意；当1m =-时，函数为()3
f x x =在定义
域[-2,2]上单调递增，又0m <，所以()(0)f m f <
5. （2014届安徽省蚌埠市高三第一次质量检查考试）设0a >，且1a ≠，则“函数()x
f x a =”在R 上是增函数”是“函数()a
g x x =”在R 上是增函数”的（ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】D.
【解析】函数()x
f x a =在R 上是增函数，即1a >；但当2a =时,函数2
()g x x =在R 上不是增函数. 函数()a g x x =在R 上是增函数时,可有13
a =,此时函数()x
f x a =在R 上不是增函数.选D. 二、填空题. 6.
【答案】2
【解析】由幂函数定义知211m m --=，所以12m m =-=或，当1m =-时，函数为
0y x =在区间()0,+?
上不是减函数；当2m =时，函数为3y x -=在区间()0,+?上是
减函数，符合题意。

7.（厦门2014届高三11月诊断检测）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿. 【答案】
14
【解析】()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则140m ->，所以1
4
m <。

若1a >，则函数x
y a =单调递增，此时有2
4,2a a ==，111
2
m a a -==
=，此时不成立，所以2a =不成立。

若01a <<，则函数x y a =单调递减，此时有11
4,4
a a -==，
2211()
416
m a ===，此时成立，所以1
4
a =.
对数与对数函数
1. （湖南长沙2014届高三第一次教学质量诊断）1
2lg 2lg 25
-的值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】：B 【解析】1
2lg 2lg
25
-=lg 4lg 25lg1002+==
2（陕西西安2014届高三上学期期中）若函数()
2
23
2log mx
mx y -+=的定义域为R ，则实数m
的取值范围是
A ．()0,3
B ．[)0,3
C ．(]0,3
D ．[]0,3
【答案】：B
【解析】由题意2
230mx mx -+>恒成立。

当0m =时符合题意；当0m ¹时只需
()202430
m m m ì>ïïíï=--?ïî
V ，解得03m <<，综上应选B
【答案】B
【解析】因为5log y x =在定义域内是单递增函数，所以b a <，又54log 41log 5<<，所以a c <
4. （山东省实验中学2014届高三第二次诊断性测试）若02log 2log <<b a ，则 A.10<<<b a B.10<<<a b C.1>>b a D.1>>a b 【答案】B
【解析】由02log 2log <<b a 得2211
log log a b <<，即22log log 0b a <<，所以
10<<<a b ，选B.
5. （2014届江西省师大附中、临川一中高三上学期1月联考）设a ，b ，c 依次是方程
212
20,log 2,log x x x x x x +==-=的根，则（ ）
A.a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >> 【答案】D 【解析】
6. （浙江省宁波市2014届高三上学期期末考试数学文试题）设函数()f x 定义在实数集R
上，(2)()f x f x -=，且当1x ≥时()f x =1nx ，则有 A ．11()(2)()32f f f << B ．1
1
()(2)()2
3f f f <<
C ．11
()()(2)23
f f f <<
D ． 11
(2)()()23
f f f <<
【答案】C
【解析】由(2)()f x f x -=可知函数关于直线1x =对称，所以
1315()(),()()2233f f f f ==，
且当1x ≥时，函数单调递增，所以35
()()(2)23f f f <<，即11
()()(2)23
f f f <<，即选C.
二、填空题、
7. （蚌埠市2014届高三年级第一次教学质量检查考试）
若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋
n ＝________． 【答案】12
【解析】由题意2,3m
n
a a ==，所以()2
22()2312m n
m n
a a a +=??
8. （2014届江西省南昌一中、南昌十中高三上学期联考）方程1
313313
x x
-+=-的实数解为__________________ 【答案】3log 4x =
【解析】两边同乘以3(31)x
-，整理得：2
14(3)3803
3
x x
⋅-
⋅-=，解得3log 4x =。

函数与方程﹑函数模型及其应用
函数的图象、函数与方程
1.（福建厦门2013-2014年度上学期高三第一次考试）函数()x
x f x 1
2-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0，
21）
B ．（2
1，1） C ．（1，
2
3
） D ．（
2
3
，2） 【答案】B
【解析】因为函数单调递增，且()1
121=220,12102f f 骣÷ç-<=->÷ç÷
ç桫，所以函数的零点在区间（
2
1
，1）内 2. （合肥市2014年第一次教学质量检测）函数1)(2
+-=ax x x f 在区间)3,2
1
(上有零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),2(+∞
B ．),2[+∞
C ．)25,2[
D ．)3
10,2[ 【答案】D
【解析】当()1
302f f 骣÷ç?÷ç÷
ç桫时，函数在区间)3,2
1
(上有且仅有一个零点时，解得
51023a <<；当()213224010230
a a f f ìïï<<ïïïïï=-?ï
í骣ï÷ïç>÷çï÷çï桫ïïï>ïïîV 时，函数在区间)3,21(上有一个或两个零点，解得
522a ?；当52a =时，函数的零点为122或符合题意，当10
3
a =时，函数的零点为
1
33
或，不符合题意，故选D 3.
【答案】A
【解析】函数为偶函数且当()000x f ==时，，故选A
4.（汕头市2014年普通高中高三教学质量监控测评试题）已知函数)0(sin >+=a b ax y 的
图象如左图所示，则函数)(log b x y a +=的图象可能是（ ）
【答案】C
【解析】由函数)0(sin >+=a b ax y 的图象知：01
01
a b ì<<ïïí
ï<<ïî，故函数)(log b x y a +=的图
象可以由log a y x =左移b 个单位得到，所以应选C
5. 湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考)已知()ln 2f x x x =+-，
()ln 2g x x x x =+-在()1,+∞上都有且只有一个零点，()f x 的零点为1x ，()g x 的
零点为2x ，则（ ）
A ．2112x x <<<
B ．1212x x <<<
C ．1212x x <<<
D ．212x x <<
【答案】A
【解析】 ()ln 2f x x x =+-的零点是函数ln 2y x y x ==-与的交点的横坐标，
()ln 2g x x x x =+-的零点是函数2
ln 1y x y x
==
-与的交点的横坐标，在同一个坐标系中画出这些函数的图象，可以看出2112x x <<<
6. （2014吉林一中高三年级11月教学质量检测）某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数()y f x = 图象大致为
（ ）
【答案】D
【解析】设原来森林蓄积量为a ，因为某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 9.5%，所以一年后，森林蓄积量为()19.5%a +，两年后，森林蓄积量为()2
19.5%a +，
经过y 年，森林蓄积量为()19.5%y
a +，因为要增长到原来的x 倍，需经过y 年， 所以() 1.09519.5%,log y
a ax y x +==即，所以答案应选D 。

二、填空题
7.（福建周宁一中、政和一中2014届高三第四次联考）已知函数22 (0),
()log (0),
x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若
直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m
的取值范围是 . 【答案】()0,1
【解析】在坐标系中画出函数22 (0),
()log (0),
x x f x x x ⎧<=⎨>⎩的图象，可见当01m <<时，直线
y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点
8.
（中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试）
已知函数221,(20)
()3,(0)
ax x x f x ax x ⎧++-<≤=⎨->⎩有3个零点，则实数a 的取值范围
是 . 【答案】3(,1)4
【解析】因为二次函数最多有两个零点，所以函数3(0)y ax x =->必有一个零点，从而
0a >，所以函数221(20)y ax x x =++-<?必有两个零点，故需要()()2202000440
a f f
a ìïï-
<-<ïïïï
ï->íïï>ïïïï=->ïîV ，
解得3
14
a <<
导数及其应用
导数运算及其几何意义的应用
1.（ 2014吉林一中高三年级11月教学质量检测）函数2
2
21
x y x =+的导数是
（ ）
A ．22
22
4(1)4(1)x x x y x +-'=+
B ．23
22
4(1)4(1)
x x x y x +-'=+
C ．23
22
4(1)4(1)x x x y x +-'=+
D ．2
22
4(1)4(1)
x x x y x +-'=+
【答案】B
【解析】因为2221x y x =+，所以()()
222241221
x x x x y x +-⋅'==+23
224(1)4(1)x x x
x +-+，因此选B 。

2. （湖北省襄阳市四校2014届高三数学上学期期中联考试题） 函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( )
A 、
4π B 、0 C 、4
3π
D 、1
【答案】A 【解析】
3.
【答案】D 【解析】由()1=
111x f x x x =----得：()()
'2
11f x x =-，所以()()'
2=2,21f f -=，
所以()()
'222f f =-
4. （2014长沙教学质量检测）若曲线4
()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．（—1，2） B ．（1，—3） C ．（1，0） D ．（1，5）
【答案】C
【解析】设点P 的坐标为()00,x y ，因为3
()41f x x '=-，所以3000()413,1f x x x '=-==即，
把01x =代入函数4
()f x x x =-得00y =，所以点P 的坐标为（1，0）。

5.
已知函数3
21()223
f x x x x =
++，若存在满足003x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[6,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．[2,6] D ．[5,6] 【答案】C
二、填空题
6. （江西省2014届高三新课程适应性考试） 已知函数()y f x =的图象在(1,(1))M f 处的
切线方程是22
1
+=x y ,则(1)(1)f f '+= . 【答案】3
【解析】
7（2014广东清远高三月考）
【解析】由
导数的几何意义，切线的斜率为123|3(3)9n x nx -==⨯=，所以，由直线方程的点斜式得直线l 的方程为9630x y --=.
8. （2014山东省实验中学高三适应训练）已知)1('2)(2
xf x x f +=，则=)0('f .
【答案】4-
【解析】函数的导数为()()()()''''221,121f x x f f f =+∴=+，解得()'12f =-，所以
()'24f x x =-，故()'04f =-
9.（湖北省武昌区2014届高三1月调考数学）
设x x f sin )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n
∈N *
若ABC ∆的内角A 满足2
2)(...)()(201421=+++A f A f A f ，则A tan 的值是 . 【答案】23-- 【
解
析
】
因
为
()()()()()''12132sin ,cos ,sin f x x f x f x x f x f x x =====-，()()()()''4354cos ,sin f x f x x f x f x x ==-=L L
，，
所
以
()()12+f A f A 2
sin cos A A =+=
,所以ABC ∆的内角A =
712π，故7tan tan
2312
A π
==-
导数在研究函数性质中的应用
1. （河南省郑州市2014届高三数学第一次质量预测试题）设函数2()34,f x x x '=+- 则
()1y f x =+的单调减区间为（ ）
A.()4,1-
B.()5,0-
C.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D.5,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】由2()34,f x x x '=+-得函数的单调减区间是()4,1-，所以()1y f x =+的单
调减区间是()5,0-
2. （四川内江市高中2014届第三次模拟考试题）
已知函数f(x)=31x 3-2
1
x 2+cx+d 有极值，则c 的取值范围为
A.c<41
B. c ≤ 41
C. c ≥ 41
D.c>4
1
【答案】A
【解析】由题意()'2140f x x x c c =-+=->V 中，解得c<
4
1
3.（成都高新区2014届高三10月统一检测）函数()f x 是定义域为R 的函数，对任意实数
x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，
4
()3
b f =，(3)
c f =，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．b a c >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．b c a >> 【答案】：A
【解析】因为对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立，所以函数的图象关于1x =对称，又
由于若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，所以函数在()1,+∞上单调递减，所以
4()3b f =()()30.532a f f f ⎛⎫>==> ⎪⎝⎭
4.（湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试）已知函数()3
2
3f x x tx x =-+，
若对于任意的[]1,2a ∈，(]2,3b ∈，函数()f x 在区间[]
,a b 上单调递减，则实数t 的取值范围是 （ ） A.(],3-∞ B.(],5-∞ C.[)3,+∞ D.[
)5,+∞ 【答案】D
5. (河南省周口市2014届高三数学上学期期末抽测调研试题)
已知函数()()2
1323++++=x n m mx x x f 的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点(,)p m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图像上存在
区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1,3]（
B.1,3（）
C.3+∞（，）
D.[3+∞，）
【答案】B
【解析】易知2
02
m n
y x mx +'=++
=的两根x 1，x 2满足x 1(0, 1)，x 2(1, +)，所以002
,320102
m n
m n m n m n m +⎧>⎪+>⎧⎪⎨⎨
+++<⎩
⎪++<⎪⎩即，画出其表示的可行域D ，因为log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，所以()log 1413a a -+><，即，所以实数a 的取值范围为(1,3)。

6. (湖南常德市2013-2014学年度上学期高三检测考试)
定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x '>恒成立，若12x x <，则12()x e f x 与21()x e f x 的
大小关系为
A ． 1221()()x x e f x e f x > B. 1221()()x x
e f x e f x <
C. 1221()()x x e f x e f x =
D. 1221()()x x
e f x e f x 与的大小关系不确定 【答案】A
【解析】设()()()()()
()()''
'2
(),x
x x x
x f x f x e f x e f x f x g x g x e e e --===则，由题意()'0g x >，所以
()g x 单调递增，当12x x <时，()12()g x g x <，即()()
12
12,x x f x f x e e
<所以1221()()x x e f x e f x > 二、填空题
7.
【答案】
【解析】由题意()'2234f x x ax a =-+的两个零点12,x x 满足122x x <<，所以
()'221280f a a =-+<，解得26a <<
利用导数研究函数的单调性
1. （广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三数学上学期期末联考）对于集合M ，定义函数1,()1,M M
M x f x x -∈⎧=⎨
∉⎩
，对于两个集合M 、N ，定义集合
{}
()()1M N M N x f x f x ⊗=⋅=-．已知{}1,2,3,4,5,6A =，{}1,3,9,27,81B =． （Ⅰ）写出(2)A f 与(2)B f 的值， （Ⅱ）用列举法写出集合A B ⊗；
【解
析
】
2．（河南省郑州市2014届高三数学第一次质量预测试题）已知函数f （x ）是R 上的奇函数，
且当x ＞0时，f （x ）=x 2
﹣2x ﹣3，求f （x ）的解析式．
（2）已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣3，3]，且在区间[﹣3，0]内递增，求满足f （2m ﹣1）
+f （m 2
﹣2）＜0的实数m 的取值范围．
【解析】（1）当x ＜0时，﹣x ＞0，f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2（﹣x ）﹣3=x 2
+2x ﹣3，
又f （x ）为奇函数，所以f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣（x 2+2x ﹣3）=﹣x 2
﹣2x+3， 而f （﹣0）=﹣f （0），即f （0）=0，
所以f （x ）=．
（2）因为f （x ）为奇函数，且在[﹣3，0]内递增，所以在[0，3]内也递增， 所以f （x ）在定义域[﹣3，3]内递增，
f （2m ﹣1）+f （m 2﹣2）＜0，可化为f （m 2
﹣2）＜﹣f （2m ﹣1），
由f （x ）为奇函数，得f （m 2
﹣2）＜f （1﹣2m ）， 又f （x ）在定义域[﹣3，3]内递增，
所以，解得﹣1≤m＜1．
故满足f （2m ﹣1）+f （m 2
﹣2）＜0的实数m 的取值范围为：[﹣1，1）．
利用导数研究函数的极值与最值 1. （成都七中2014届高三上期中考试）已知函数a x x x f --=2)(2
. （1）当0=a 时，画出函数)(x f 的简图，并指出)(x f 的单调递减区间； （2）若函数)(x f 有4个零点，求a 的取值范围．
【解析】：（1）当0=a 时，2
2
2
(1)1,
(0)()2(1)1,
(0)
x x f x x x x x ⎧--≥⎪=-=⎨+-<⎪⎩,
由图可知，)(x f 的单调递减区间为()1,-∞-和()1,0………………6分
（2）由0)(=x f ，得a x x =-22
,
∴曲线x x y 22
-=与直线a y =有4个不同交点, ∴根据(1)中图像得01<<-a ………………12分
2． 【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学（文）】
已知函数)1,0)(1(log )(),1(log )(≠>-=+=a a x x g x x f a a 且其中 （Ⅰ）求函数
)()(x g x f +的定义域；
（Ⅱ）判断函数)()(x g x f -的奇偶性，并予以证明；
（Ⅲ）求使
0)()(<+x g x f 成立的x 的集合.
【解析】（Ⅰ）)()(x g x f +)1(log )1(log x x a a -++=
由⎩⎨
⎧>->+010
1x x 11x -<<得
………………2分
所求定义域为{}R x x x ∈<<-,11| ………………3分 （Ⅱ）令)
()()(x g x f x h -=1
log (1)log (1)log 1a a a
x x x x +=+--=- ………………4分
定义域为{}R x x x ∈<<-,11|
()()x h x
x a x x x x a x h -=-+-=-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+=+-=-11
log
111log 11log
∴ ()()f x g x -为奇函数 ……………8分
（Ⅲ）()
1
log 01log )1)(1(log )()(2
a a a x x x x g x f =<-=-+=+
……………9分 2101-x 1,-1001a x x ∴><<<<<<当时，得或
当2
011a <<>时，1-x . 不等式解集为空集
综上： {}
1101a x x >-<<<<当时，不等式的解集为或0 当01a <<时， 不等式的解集为空集 ……………14分
3. 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日出租自行车的总收入减去管理
费用后的所得）
（1） 求函数)(x f y =的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【解析】（1）当6≤x 时，11550-=x y 令011550>-x ，解得3.2>x
*,
,63,3*,N x x x N x ∈≤≤∴≥∴∈Θ ………2分
当6>x 时， ,115)]6(350[---=x x y
0115683,0115)]6(350[2
<+->---x x x x 令 上述不等式的整数解为*),(202N x x ∈≤≤ *)
(206N x x ∈≤<∴
故
⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-=*)
,206(115683*),63(115
502
N x x x x N x x x y 定义域为*)
,203|{N x x x ∈≤≤ ………6分
（2）对于*),63(115
50N x x x y ∈≤≤-=，
显然当6=x 时，185max =y （元） ………8分
对于
*),206(3
811
)334(311568322
N x x x x x y ∈≤<+--=-+-= 当11=x 时，270max =y （元） ………10分
185270>Θ，
∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多.
导数研究函数的性质
1.（ 湖北省黄冈中学2014届高三数学上学期10月月考试题 ）已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋
bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(0,0)，(2,0)．
(1)求a ，b 的值；
(2)求x 0及函数f (x )的表达式．
【解析】：(1)由题设可得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b .
∵f ′(x )的图象过点(0,0)，(2,0)，
∴⎩⎨
⎧
b ＝0，
12＋4a ＋b ＝0
解得a ＝－3，b ＝0.
(2)由f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0，
∴在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0,2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x＝2处取得极小值，所以x0＝2，由f(2)＝－5，得c＝－1，∴f(x)＝x3－3x2－1.
2.（2014届江西省南昌一中、南昌十中高三上学期联考）设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，e x＞x2－2ax＋1.
【解析】 (1)由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故()的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，
极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)．
(2)设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为
g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.
于是对任意x∈R都有g′(x)＞0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．
而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.
3. （山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）函数32111)(x
x x x f ++=
; (1)求)(x f y =在⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--2
14，上的最值;
(2)若0≥a ,求3221)(x
a
x x x g ++=
的极值点
条件求值、条件求角
1.（四川省泸州市2014届高三数学第一次教学质量诊断性考试试题）设函数f（x）=+xlnx，
g（x）=x3﹣x2﹣3．
（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围.. 【解析】（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M
∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴
∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增
∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1
∴g（x）max﹣g（x）min=
∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．
由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1
∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立
记h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0
∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）max=h（1）=1
∴a≥1
2．（山西省太原市2014届高三数学模拟考试试题）已知函数()1x a
f x x e
=-+
(a R ∈，e 为自然对数的底数)．
(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；
(2)求函数
()f x 的极值；
(3)当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线
()y f x =没有公共点，求k 的
最大值．
(1)a ＝e.(2)当a ≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．
(3)当a ＝1时，f(x)＝x －1＋1
e x .直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点，
等价于关于x 的方程kx －1＝x －1＋1
e
x 在R 上没有实数解，即关于x 的方程：
(k －1)x ＝1e x (*)在R 上没有实数解．①当k ＝1时，方程(*)可化为1
e x ＝0，在R 上没有实数
解．②当k ≠1时，方程(*)化为
1k －1
＝xe x .令g(x)＝xe x ，则有g ′(x)＝(1＋x)e x
. 令g ′(x)＝0，得x ＝－1，当x 变化时，g ′(x)，g(x)的变化情况如下表：
当x ＝－1时，g(x)min ＝－1
e ，同时当x 趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范围为
－1e ，＋∞.所以当1
k －1∈⎝
⎛⎭⎫－∞，－1e 时，方程(*)无实数解．
解得k 的取值范围是(1－e ，1)．综上①②，得k 的最大值为1.
3. （山东省青岛一中2013届高三调研考试文科数学）已知函数
),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .
(1)求函数)(x f 的解析式;
(2)若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ,都有c x f x f ≤-|)()(|21,求实数c 的
最小值;
(3)若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.
【解析】:(1)323)(2-+='bx ax x f Θ
根据题意,得⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f 即⎩
⎨⎧=-+-=-+,0323,
23b a b a
解得⎩⎨
⎧==.
0,
1b a .3)(3x x x f -=∴
(2)令33)(2
-='x x f 0=,解得1±=x
f(-1)=2, f(1)=-2,2)2(,2)2(=-=-f f [2,2]x ∴∈-当时,max min ()2,() 2.f x f x ==-
则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值12,x x ,都有
12max min |()()||()()|4f x f x f x f x -≤-= 所以 4.c ≥所以c 的最小值为4
(3)设切点为3
00000(,),3x y y x x =-则
200()33f x x '=-Q , ∴切线的斜率为203 3.x -
则3
2000
03332
x x m
x x ---=-
即32
002660x x m -++=,
因为过点(2,)(2)M m m ≠,可作曲线()y f x =的三条切线
所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解
即函数32
()266g x x x m =-++有三个不同的零点, 则2
()612.g x x x '=-
令()0,0 2.g x x x '===解得或
⎩⎨⎧<>∴0)2(0)0(g g 即⎩⎨⎧<->+0
20
6m m ,∴26<<-m 4.。